平行四边形知识点与经典例题-.doc

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平行四边形
一、 基础知识平行四边形

平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
定
义
有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。
两腰相等的梯形是等腰梯形。

性

质
1、对边平行且相等。
2、对角相等，邻角互补。
3、对角线互相平分
1、四个角都是直角。
2、对角线相等。
1、四条边都相等。
2、两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
具有平行四边形、矩形、菱形的所有特征。
1、两腰相等两底平行
2、同一底上的两角相等
3、两条对角线相等

判

定
1、定义：
2、判定定理：
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
1、定义：
2、判定定理：
（1）对角线相等的平行四边形是矩形。
（2）有三个角是直角的四边形是矩形。
1、定义：
2、判定定理：
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形。
1、先证明是矩形再证明一组邻边相等。
2、先证明是菱形再证一个角是直角。
1、定义：先判断是梯形在证明两腰相等。
2、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
3、对角线相等的梯形是等腰梯形。
对称性

轴对称图形
轴对称图形
轴对称图形
轴对称图形
二、1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。
2、由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、例题
（图1）
C
A
B
D
E
F
例1、如图1，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F. 求证：∠BAE =∠DCF.

O
A
B
C
D
E
F
（图2）

例2、如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.求证：BE = CF.

例3、已知：如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，点E、F分别在AB、CD上，且BE = 2EA，CF = 2FD. 求证：∠BEC =∠CFB.
A

B

C

D

图3

E

F

例4、如图6，E、F分别是 平行四边形ABCD的AD、BC边上的点，且AE = CF.
A
D
B
C
E
F
(图6)
M
N
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若 M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论.

例5、如图7 的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.，求证：四边形AFCE是菱形.
图7

A

B

C

D

E

F

O

例6、如图8，四边形ABCD是平行四边形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点.
（1）如果 ，则△DEC≌△BFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）；
（2）证明你的结论.
图8

B

C

D

A

E

F

A

B

C

D

图9

E

G

O

F

例7、如图9，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点C.
（1）求证：四边形EFOG的周长等于2OB；
（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.

备用图（1）

备用图（2）

图13

例8、有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图13(1)、(2)上），并给予合理的解释.

四、练习
一、选择题
1.下列命题正确的是（ ）
(A)、一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 (B)、对角线相等的四边形一定是矩形
(C)、两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 (D)、在两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形
2. 已知平行四边形ABCD的周长32, 5AB=3BC,则AC的取值范围为( )
A. 6<AC<10； B. 6<AC<16； C. 10<AC<16； D. 4<AC<16
3.两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（　　）
　（A）1　　　　　　（B）2　　　　　（C）3　　　　　　（D）4
4．延长平形四边形ABCD的一边AB到E，使BE＝BD，连结DE交BC于F，若∠DAB＝120°,∠CFE＝135°，AB＝1，则AC 的长为（ ）（A）1　　　　　　（B）1.2　　　　　（C）　　　　　　（D）1.5
5．若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，则BD的长是（ ）
（A）1cm　　　　　　（B）2cm　　　　　（C）3cm　　　　　（D）4cm
6.若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线(　　　)
（A）互相垂直　　（B）相等　 （C）互相平分　（D）互相垂直且相等
7. 如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF∥AB，AB=5那么四边形AFDE的周长是 （ ）
（A）5 （B）10 （C）15 （D）20

(第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8.如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）．
（A）3cm （B）4cm （C）5cm （D）6cm
9. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AC将梯形分成两个三角形，其中△ACD是周长为18 cm的等边三角形，则该梯形的中位线的长是( )．
(A)9 cm (B)12cm (c)cm (D)18 cm
10.如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　）
(A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm
A
B
C
D
E
F
图 2
R
P
D
C
B
A
E
F
第12题图
11. 如图2，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于 （　　）
（A）　（B）　　（C） （D）８　　
12.如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是
AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论
成立的是 （ )
A、线段EF的长逐渐增大 B、线段EF的长逐渐减小
C、线段EF的长不变 D、线段EF的长与点P
13. 在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD，且，BD=12c m，则梯形中位线的长等于（ ）
黄
蓝
紫
橙
红
绿
A
G
E
D
H
C
F
B
第14题
A. 7.5cm B. 7cm C. 6.5cm D. 6cm
14. 国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是
平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．
如果有，，那么下列说法中错误的是（ ）
A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等
C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等
二、 填空题
1.如果四边形四个内角之比1：2：3：4，则这四边形为＿＿＿＿形。 2.若正方形的对角线长为2cm，则正方形的面积为＿＿＿。
3.若矩形一个内角的平分线，把另一边分为4cm,5cm两部分，则这个矩形周长是＿＿＿
4.已知：平行四边形ABCD的周长是30cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长5cm ，则这个平行四边形的各边长为＿＿＿＿＿。
5. 已知：平行四边形ABCD中， AE⊥BC交CB的延长线于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F，AB＋BC＋CD＋DA＝32cm，BC＝AB，∠EAF＝2∠C，则BE长为＿＿＿，则∠C＿＿＿.
6. 在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是 ．
第10题图

D
A
B
C
P
M
N
C
F
D
B
E
A
P
（第9题）
A
B
C
D
E
F
O
图8
7.已知：如图8，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F分别是边AB、BC上的点，若AE＝4cm，DF＝3cm，且OE⊥OF，则EF的长为 。
（1）
（2）
图9

8． 如图9（1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图10(2)所示的一个菱形．对于图10(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论： ．
9．如图，在四边形中，是对角线的中点，分别是的中点，，则的度数是 ．
10．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_____________．
11. 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是 。

（12题） （13题） （14题）
12、 如图所示，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分∠ADC交AC于E，BC于F，∠BDF=15°，则∠COF=______．
13. 如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点E、F，，则图中阴影部分的面积为　　　　　．
14、如图，矩形的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形，再顺次连结四边形四边中点得到四边形，依此类推，求四边形的面积是　　。
A
D
B
C
F
E
⑷
15、如图⑴已知O是□ABCD的对角线交点，AC＝24，BD＝38，AD＝14，那么△OBC的周长等于＿＿＿＿＿。
A
B
D
C
O
⑵
A
B
D
C
E
⑶
A
B
D
C
O
⑴

16、在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D,则∠A＝＿＿＿，∠D＝＿＿＿。
17、一个平行四边形的周长为70cm，两边的差是10cm，则平行四边形各边长为＿＿＿＿cm。
18、已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为__________cm。
19、菱形ABCD中，∠A＝60o，对角线BD长为7cm，则此菱形周长＿＿＿＿＿cm。
20、如果一个正方形的对角线长为，那么它的面积＿＿＿＿＿＿。
21、如图2矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠AOB＝60o,AB＝8,则矩形对角线的长＿＿＿。
22、如图3,等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，BC＝8，AB＝6，AD＝5则△CDE周长＿＿＿。
21、正方形的对称轴有＿＿＿条
22、如图4，BD是□ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是＿＿＿＿＿＿
23、要从一张长为40cm，宽为20cm的矩形纸片中，剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸片，最多能剪出＿＿＿＿＿＿张。
三、 解答题
1.如图，在四边形ABCD中，∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求AB的长。

2.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=2,∠BAD=120°,对角线AC平分∠BCD，求等腰梯形ABCD的周长。

A
B
C
D
E
F
D′
3.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF．
（1）求证：△ABE≌△AD′F；
（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论

4．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于点E，
∠ADB=60°，BD=10，BE∶ED=4∶1，求梯形ABCD的腰长.

5. 如图，菱形ABCD，E，F分别是BC，CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，
∠BAE＝18°求∠CEF的度数。

A
B
C
D
M
N
E
(第6题)
6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形
ADCE是一个正方形？并给出证明．

7. 如图，四边形ABCD中，一组对边AB=DC=4，另一组对边AD≠BC，对角线BD与边DC互相垂直，M、N、H分别是AD、BC、BD的中点，且∠ABD=30°求：（1）MH的长（2）MN的长。

8. 如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥B,BE平分∠ABC,EF∥BC,那么AE=CF吗？证明你的结论。

9. 如图，ABCD是正方形，CE∥BD，BE＝BD，BE交DC于点F，
求证：（1）∠BEC＝30°　（2）DE＝DF

10.如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，
PE⊥BC，垂足为E， PF⊥CD，垂足为F，
求证：EF＝AP

11. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E,交BC于点F。若PE=PF,且AP+AE=CP+CF
（1）求证：PA=PC;
（2）若AD=12,AB=15,∠DAB=60°,求四边形ABCD的面积.

10．如图所示，已知在□ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：MN∥BC．

11．已知：如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE
分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB＝2OF．

12.如图，在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm，点A处有一动点E以1cm∕s的速度由点A向点B运动，同时点C处也有一动点F以2cm∕s的速度由点C向点D运动，设运动的时间为x（s），四边形EBFD的面积为y（cm2），求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。

21，如图16，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G.
（1）线段AF与GB相等吗？
图16
（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三角形,并说明理由.
图17
O
F
D
B
E
C
A
·
图18

22，如图17，已知□ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点E.
（1）试说明线段CD与FA相等的理由；
（2）若使∠F＝∠BCF，□ABCD的边长之间还需再添加一个什么条件？请你补上这个条件，并说明你的理由(不要再增添辅助线).　
23，如图，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求证：四边形是正方形．
E
C
D
B
A
O

24，已知：如图19，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE＝BF.请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）.
（1）连结____________；（2）猜想：______=______；（3）证明：
25，如图20，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F.
(1)试说明OE＝OF；
O
C
图19
D
A
B
E
F
图21
E
F
O
C
M
D
A
B
图20
E
M
F
C
O
D
B
A
(2)如图21，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗?如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由.

13.如图在直角梯形ABCD中, AD∥BC, ∠B=90°AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动,动点Q从C开始沿CB向B以3cm/s的速度运动,P,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间t,t分别为何值时,四边形PQCD为平行四边形,等腰梯形?
A
B
Q
C
D
P

14A
P
B
DD
Q
C
已知：如图，在直角梯形ABCD中，∠B＝90o,AD∥BC，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从A点开始沿AD边向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形？等腰梯形？

.在△ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF，沿着中位线EF一刀剪切后，用得到的△AEF和四边形EBCF可以拼接成平行四边形EBCP，接切线与拼图过程如图所示，依照上述方法，安要求完成下列操作设计，并画出图形说明。
（1）在△ABC中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成矩形。
（2）在△ABC中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成菱形。
（3）在△ABC中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成正方形。
（4）在△ABC（AB≠AC）中，一刀剪切后也可以拼接成等腰梯形，画出切线与拼图示意图。

15如图把一个正方形割去四分之一，将余下的部分分成3个全等的图形（图甲）；将余下的部分分成4个全等的图形（图已）仿照示例，请你将一个正三角形割去四分之一后余下的部分。（1）分成3个全等的图形（在图一中画出示意图）；
（2）分成四个全等的图形（在图二中画出示意图）；
（3）你还能利用所得的4个全等的图形拼成一个平行四边形吗？若能，画出大致的示意图。

16.如图是 王大爷的一块四边形菜地，在A处有一口井，王大爷要想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分.请你为王大爷设计一条引水渠的方案，画出图形,并简要写出作图的主要步骤.
解:作图步骤：

17. (1)如图25-1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD.求证:EF＝BE＋FD;
(2) 如图25-2在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？不用证明.
(3) 如图25-3在四边形ABCD中，AB＝AD，
∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

18. 将边长OA=8，OC=10的矩形放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点
C、A分别在轴和y轴上.在、OC边上选取适当的点、F，连接EF，将△EOF沿EF折叠，使点落在边上的点处．

图① 图② 图③
（1）如图①，当点F与点C重合时，OE的长度为 ；
（2）如图②，当点F与点C不重合时，过点D作DG∥y轴交EF于点，交于点.
求证：EO=DT；
（3）在（2）的条件下，设，写出与之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ；
（4）如图③，将矩形变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且OC=10，OC边上的高等于8，点F与点C不重合，过点D作DG∥y轴交EF于点，交于点，求出这时的坐标与之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）．

19. (1)如图10－1所示，BD, CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD, AG⊥CE,垂足分别为F，G，连结FG，延长AF, AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么？即：FG＝ （AB＋BC+AC） （直接写出结果即可）
（2）如图10－2，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与
ΔABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
（3）如图10－3，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与ΔABC三边又有怎样的数量关系？
直接写出你的猜想即可．不需要证明。

20.已知正方形ABCD和等腰Rt按图1放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连EG 、CG. (1)探索EG、CG的数量关系，并说明理由； （2）将图1中绕B 点顺时针旋转得图2，连结DF, 取DF的中点G，问（1）中的结论是否成立，并说明理由；
（3）将图1中绕B点转动任意角度（旋转角在0到之间）得图3，连结DF，取DF的中点G ，问（1）中的结论是否成立，请说明理由；

.