平行四边形知识点及典型例题.doc

一、知识点讲解：
1．平行四边形的性质：
四边形ABCD是平行四边形Þ

2.平行四边形的判定：
.
3. 矩形的性质：
因为四边形ABCD是矩形Þ
(4)是轴对称图形，它有两条对称轴．
4矩形的判定：
(1)有一个角是直角的平行四边形；
(2)有三个角是直角的四边形；
(3)对角线相等的平行四边形；
(4)对角线相等且互相平分的四边形． Þ四边形ABCD是矩形.
两对角线相交成60°时得等边三角形。
5. 菱形的性质：
因为ABCD是菱形Þ
6. 菱形的判定：
Þ四边形ABCD是菱形.
菱形中有一个角等于60°时，较短对角线等于边长；
菱形中，若较短对角线等于边长，则有等边三角形；
菱形中，两对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，每个直角三角形的斜边是菱形的边，两直角边分别是两对角线的一半。
菱形的面积等于两对角线长积的一半。

7.正方形的性质：
四边形ABCD是正方形Þ

8. 正方形的判定：
Þ四边形ABCD是正方形.
9. 1．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。
2．由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
二、例题
（图1）
C
A
B
D
E
F
例1：如图1，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F. 求证：∠BAE =∠DCF.

O
A
B
C
D
E
F
（图2）
例2如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.
求证：BE = CF.

例3．已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DFGE是平行四边形．

图7

A

B

C

D

E

F

O

例4如图7， ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.
求证：四边形AFCE是菱形.
例5、顺次连接四边形各边中点，所得的图形是 ；
顺次连结矩形四边中点所得四边形是_________；
顺次连结菱形四边中点所得四边形是_________；
A
B
C
D
M
N
E
(第6题)
例6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形
ADCE是一个正方形？并给出证明．

例7.如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，
PE⊥BC，垂足为E， PF⊥CD，垂足为F，
求证：EF＝AP

例8. 如图所示，E为□ABCD外，AE⊥CE,BE⊥DE，

求证：□ABCD为矩形

D
C
B
A
F
E
G
例9、如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9cm，宽AB＝3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为 ，折痕EF的长为 。

例10. 18.①如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且 DP=OC，连结CP，试判断四边形CODP的形状．并证明。
②如果题目中的矩形变为菱形，则四边形CODP的形状是______________
③如果题目中的矩形变为正方形，则四边形CODP的形状是____________
B
A
D
C
P
O
B
A
D
C
P
O
B
A
D
C
P
O

例11. 如图所示，.四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．

（1）求证：AE=CG；
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，
并证明你的猜想．