线性代数第三章线性方程组33.ppt

线性方程组有无解的等价提法 线性方程组 可以分别写为 线性方程组有无解的等价提法 线性方程组 可以分别写为 Axb和x1a1x2a2 xnanb 因此 线性方程组Axb是否有解 就相当于是否存在一组数 x1k1 x2k2 xnkn 使线性关系式 k1a1k2a2 knanb成立 例如 b(2,1,1)a1(1,0,0)a2(0,1,0)a3(0,0,1)则有 b2a1a2a3 即b是向量组a1 a2 a3的线性组合 或者说b可由a1 a2 a3线性表示 一、向量组的线性组合定义35(线性组合与线性表示)对于给定向量b a1 a2 as 如果存在一组数k1 k2 ks 使关系式bk1a1k2a2 ksas成立 则称向量b是向量组a1 a2 as的线性组合 或称向量b可以由向量组a1 a2 as线性表示 一、向量组的线性组合定义35(线性组合与线性表示)对于给定向量b a1 a2 as 如果存在一组数k1 k2 ks 使关系式bk1a1k2a2 ksas成立 则称向量b是向量组a1 a2 as的线性组合 或称向量b可以由向量组a1 a2 as线性表示 定理33(判断方法)设b a1 a2 an是m维列向量组 则向量b可由向量组a1 a2 an线性表示的充分必要条件是 以a1 a2 an为列向量的矩阵与以a1 a2 an b为列向量的矩阵有相同的秩 提示 根据方程x1a1x2a2 xn anb有解的充要条件 定理33(判断方法)设b a1 a2 an是m维列向量组 则向量b可由向量组a1 a2 an线性表示的充分必要条件是 以a1 a2 an为列向量的矩阵与以a1 a2 an b为列向量的矩阵有相同的秩 定理的另一叙述 设b a1 a2 an是m维行向量组 则向量b可由向量组a1 a2 an线性表示的充分必要条件是 以a1T a2T anT为列向量的矩阵与以a1T a2T anT bT为列向量的矩阵有相同的秩 定理33(判断方法)设b a1 a2 an是m维列向量组 则向量b可由向量组a1 a2 an线性表示的充分必要条件是 以a1 a2 an为列向量的矩阵与以a1 a2 an b为列向量的矩阵有相同的秩 例1 任何一个n维向量a(a1,a2,an)都是n维向量组e1(1,0,0)e2(0,1,0)en(0,0,1)的线性组合 这是因为aa1e1a2e2 anen 向量组e1 e2 en称为Rn的初始单位向量组 例2 零向量是任何一组向量的线性组合 这是因为o0a10a2 0 as 例3 向量组a1 a2 as中的任一向量ai(1is)都是此向量组的线性组合 这是因为ai0a1 1ai 0 as 例4 判断向量b1(4,3,1,11)与b2(4,3,0,11)是否各为向量组a1(1,2,1,5)a2(2,1,1,1)的线性组合 若是 写出表示式 设x1a1x2a2b1 解 秩(a1T a2T b1T)秩(a1T a2T)且存在x12 x21使2a1a2b 所以b1可由a1 a2线性表示 因为 二、线性相关与线性无关定义36(向量组的线性相关性)对于向量组a1 a2 as 如果存在一组不全为零的数k1 k2 ks 使关系式 k1a1k2a2 ksaso成立 则称向量组a1 a2 as线性相关 如果上式当且仅当k1k2 ks0时成立 则称向量组a1 a2 as线性无关 定理34(判断方法)设a1 a2 an是m维列向量组 则a1 a2 an线性相关的充分必要条件是 以a1 a2 an为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n 提示 根据方程x1a1x2a2 xn ano有非零解的充要条件 定理34(判断方法)设a1 a2 an是m维列向量组 则a1 a2 an线性相关的充分必要条件是 以a1 a2 an为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n 定理的另一叙述 设a1 a2 an是m维行向量组 则a1 a2 an线性相关的充分必要条件是 以a1T a2T anT为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n 定理的另一叙述 设a1 a2 an是m维列向量组 则a1 a2 an线性无关的充分必要条件是 以a1 a2 an为列向量的矩阵的秩小等于向量的个数n 定理34(判断方法)设a1 a2 an是m维列向量组 则a1 a2 an线性相关的充分必要条件是 以a1 a2 an为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n 推论1 设n个n维向量ai(a1i a2i ani)(i1 2 n)则向量组a1 a2 an线性相关的充分必要条件是 提示 此时齐次线性方程组x1a1x2a2 xnano总有非零解 定理34(判断方法)设a1 a2 an是m维列向量组 则a1 a2 an线性相关的充分必要条件是 以a1 a2 an为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n 推论1 设n个n维向量ai(a1i a2i ani)(i1 2 n)则向量组a1 a2 an线性相关的充分必要条件是 推论2 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时 此向量组线性相关 提示 此时齐次线性方程组x1a1x2a2 xnano总有非零解 例5 Rn中的初始单位向量组e1 e2 en是线性无关的 这是因为行列式所以e1 e2 en线性无关 例6 一个零向量线性相关 而一个非零向量线性无关 因为当ao时 对任意k0 都有kao成立当且仅当k0时kao才成立 而当ao时 例5 Rn中的初始单位向量组e1 e2 en是线性无关的 这是因为行列式所以e1 e2 en线性无关 例7 判断向量组 a1(1,2,1,5)a2(2,1,1,1)a3(4,3,1,11)是否线性相关 解 因为 秩(A)23 所以向量组a1 a2 a3)线性相关 解 因为 例8 判断向量组 a1(1,2,0,1)a2(1,3,0,1)a3(1,1,1,0)是否线性相关 秩(A)3 所以此向量组线性无关恰等于向量组中向量的个 证 设x1b1x2b2x3 b3 o 即 例9 证明 如果向量组a1 a2 a3线性无关 则向量组b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1也线性无关 x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)o 整理得 (x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a3o 因为向量组a1 a2 a3线性无关 所以必有 即只有x1x2x30时 x1b1x2b2x3b3 o才成立 从而b1 b2 b3线性无关 定理35 如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关 则整个向量组线性相关 定理的另一叙述 线性无关的向量组组中任何一部分组皆线性无关 设向量组a1 a2 as中有r个(rs)向量的部分组线性相关 不妨设a1 a2 ar线性相关 则存在不全为零的数k1 k2 kr使 k1a1k2a2 kraro 因而存在一组不全为零的数k1 k2 kr 0 0 0使 k1a1k2a2 krar0ar1 0aso 即a1 a2 as线性相关 证 定理35 如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关 则整个向量组线性相关 例10 含零向量的向量组线性相关 因零向量线性相关 由定理35 该向量组也线性相关 定理35 如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关 则整个向量组线性相关 定理36 向量组a1 a2 as(s2)线性相关的充分必要条件是 向量组中至少有一个向量是其余s1个向量的线性组合 定理37 如果向量组a1 a2 as b线性相关 而a1 a2 as线性无关 则向量b可由向量组a1 a2 as线性表示且表示法唯一 例如 任何一个n维向量a(a1,a2,an)都可由n维初始单位向量组e1(1,0,0)e2(0,1,0)en(0,0,1)唯一地线性表示 即 a a1e1a2e2 anen 向量组间的线性表示 设有两个向量组 A a1 a2 as 和 B b1 b2 bt 如果向量组A中每一向量都可由向量组B线性表示 则称向量组A可由向量组B线性表示 定理38 如果向量组A可由向量组B线性表示 而向量组B可由向量组B线性表示 则向量组A可由向量组C线性表示 定理39 设有两个向量组 A a1 a2 as 和B b1 b2 bt 向量组B可由向量组A线性表示 如果st 则向量组B线性相关 定理39 设有两个向量组 A a1 a2 as 和B b1 b2 bt 向量组B可由向量组A线性表示 如果st 则向量组B线性相关 定理的另一叙述 向量组B可由向量组A线性表示 如果B线性无关 则ts 推论 向量组A与B可以互相线性表示 如果向量组A与B都是线性无关的 则st 向量组A线性无关且可由向量组B线性表示 则st向量组B线性无关且可由向量组A线性表示 则ts 证明于是st 例如 已知二维向量组 a1(0,1)a2(1,0)a3(1,1)a4(0,2)向量组a1(0,1)a2(1,0)线性无关 且能表示其它向量所以向量组a1 a2是向量组a1 a2 a3 a4的一个极大无关组 同样a2 a4也是一个极大无关组 全体n维向量构成的向量组记作Rn 则初始单位向量组是它的一个最大无关组 三、向量组的秩定义37(极大无关组)设S是含m个n维向量的向量组 Sr是由S的r个线性无关的向量构成的向量组 如果S的任意r1个向量都线性相关 则Sr称为S的一个极大线性无关部分组 简称极大无关组 三、向量组的秩定义37(极大无关组)设S是含m个n维向量的向量组 Sr是由S的r个线性无关的向量构成的向量组 如果S的任意r1个向量都线性相关 则Sr称为S的一个极大线性无关部分组 简称极大无关组 定理310 如果Sr是S的线性无关部分组 则它是极大无关组的充分必要条件是 S中的每一个向量都可由Sr线性表示 定义38(向量组的秩)向量组a1 a2 as的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩 记为 r(a1 a2 as)规定 只含零向量的向量组的秩为0 显然 向量组线性无关的充分必要条件是它所含向量个数等于它的秩 矩阵A的行向量组的秩称为矩阵的行秩 列向量组的秩称为矩阵的列秩 定义38(向量组的秩)向量组a1 a2 as的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩 记为 r(a1 a2 as)规定 只含零向量的向量组的秩为0 定理311 设A为mn矩阵 则r(A)r的充分必要条件是 A的列(行)秩为r 推论 矩阵A的行秩与列秩相等 例11 求向量组a1(2 4 2)a2(1 1 0)a3(2 3 1)a4(3 5 2)的一个极大无关组 并把其余向量用该极大无关组线性表示 对矩阵A(a1T a2T a3T a4T)施以初等行变换 解 并可得方程由最后一个矩阵可知a1 a2为一个极大无关组x1a1x2a2x3a3x4a4o 例11 求向量组a1(2 4 2)a2(1 1 0)a3(2 3 1)a4(3 5 2)的一个极大无关组 并把其余向量用该极大无关组线性表示 对矩阵A(a1T a2T a3T a4T)施以初等行变换 解 并可得方程由最后一个矩阵可知a1 a2为一个极大无关组x1a1x2a2x3a3x4a4o 令x30 x41 得x11 x21 于是a4a1a2