数学分析多元函数的微分学.doc

第14章 多元函数的微分学14.1 可微性与全微分定义1：设函数在的某个领域内有定义,对于中的点的点,若函数在的全增量：(1)A，B 是与无关的常数，则称在可微，例1：求在处的微分.解：由定义可得： 定义2：若在的某个领域有定义： 若下面的极限存在： 称在的偏导数存在，记，若在内点点偏导数存在，记为：.例1：设求例2：设求定理1：（可微的必要条件）若二元函数在其定义域内一点可微，则在 的偏导数存在，.例1：讨论：在原点的可微性.解： 而上述极限不存在，可见偏导数存在，但不一定可微分.定理2：（可微的充要条件）设函数在的某个领域内有定义 且在处连续，则在可微.证明：定理3：（二元函数中值定理）条件如定理2，则函数连续、偏导数、可微分的关系连续 3，连续可微 1 2 ，存在 4在上述关系中，反方向均不成立.下面以点为例，逐一讨论.42 ，43 例1：均存在，但在点不可微，且不存在，即在点不连续.34 ，32例2：，这是上半圆锥，显然在点连续， 但 故不存在.由的对称性，不存在.从而，在点不可微（否则，均存在）. 21 例3： ，由的对称性，. （）故在点可微.取点列，显然故不存在，从而在点不连续.由的对称性，在点也不连续.对一元函数，可微与可导是等价的，即：可微可导.但对二元函数，可微与偏导存在并不等价，即：可微偏导存在，反之未必.应特别引起注意.例4：设 讨论在原点的连续性，偏导数的存在性，可微分性.解：例5：讨论下列函数在原点的连续性，偏导数的存在性，可微分性，偏导数存在性.解：例3：设，求142 复合函数微分法 设，且：定理1：设时可微，可微，则 在可微.且： 思考：推广元函数的链锁求导法则.一般若例1：，求解：例2：设可微，证明：证明：例3：，求解：例4：求解：多重复合函数的求导：设，求求解道路图：143 复合函数的全微分不变性.设可微，则，又若，则因此上式关于一阶全微分形式的不变性.144方向导数和梯度定义1：设三元函数在点的一个领域内，从出发的射线，为上的一点，设 若存在，则此极限称为在点沿的方向导数.记为方向导数和偏导数的关系.定理1：若三元函数在点可微，则在点沿的方向导数存在，若设的方向余弦，则证明：P是上任意一点，又因为在点可微，则：例1：设，求在点沿方向导数.解：定义2（梯度）设在点存在所有自变量的偏导数，则为函数在点的梯度，记为当夹角为0，达到最大值.当夹角为达到最小值-对多元函数，前面曾讨论了它在某点的可微、偏导数、连续之间的关系.下面进一步讨论方向导数与这些概念之间的关系.如下图连续 2 ，,存在可微 1 3 5，存在，存在 414 课本定理 35 由偏导数定义和方向导数定义即得.43，53 例：函数在点沿任意方向的方向导数存在， z特别地，沿坐标轴正、负向的方向导数为 ， . y 但 不存在.同理，不存在. 从上面的讨论不难看出，关于3、5有以下结论：，存在，存在，且，这时有 ，. 41 否则有43，与43矛盾42 例： 故在点不连续.但任意方向，当时，当时， ，即在点沿任意方向的方向导数都存在52 否则有42，与42矛盾.或否则与 32矛盾.24 例： 设，显然在点连续，但沿任意方向的方向导数不存在，事实上 不存在.34 例： 设，则，但时， 不存在.例3：设可微，为的一个确定向量，若，求解：假设：所以因此在任何平行于的直线上函数值都为常数.例4：设可微，为上一组线性无关的向量，若，证明证明：由于为上一组线性无关的向量，由例3得知，在为常数，由于可微分，因此连续，所以144 高级偏导数 定义并记：， 例1：设证明证明：定理1：若在连续，则证明：推广高阶混合偏导数相等的条件.复合函数的高阶偏导数求解方法：设则 进一步：求复合函数与隐函数的偏导数，关键在于搞清楚各变量之间的关系.在求复合函数的高阶偏导时，尤其要搞清楚偏导函数各变量之间的关系.只有明确了变量之间的关系，才可能正确使用链式法则.例1：设，求所有的二阶偏导数.解：例2：，求所有的二阶偏导数.解：例1 设为常数，函数二阶可导，证明 证 变量之间的关系为 注意这里是某变量的一元函数，而. 因为 ， 由的对称性得 ， 而 ， ，由的对称性得 ， ， .于是 又因为 ， 故 .注1 在求时，要特别注意的函数关系仍然是注2 在求时，注意正确使用导数符号，不要写成，也不要写成或 .事实上，.注3 上面的证明简洁清楚，所要求证的微分方程的左边是，函数作为自变量的函数，是由中间变量复合而成，利用， 我们得到了 这样把求对自变量的偏导数转化为对中间变量的偏导数，从而使计算简单了.试比较直接求的情形. 由的对称性得则 .例2 设的所有二阶偏导数都连续， ， 试求，.证 注意，是对求偏导数之后，令所得的函数，而不是作为的一元函数对的导函数.在 两边对求导，得 将 代入，得 上式两边对求导，得 在两边对求导，得 因为有连续的二阶偏导数，则，又已知，将上两式联立解得 ， .即 ， . 例3 若函数对任意正实数满足关系，则称为次奇次函数.设可微，试证明为次齐次函数的充要条件是 证 令 ，则 ，故与无关，从而，即 方程 两边分别对求导，得 ， ，将前面三式代入第四式即得 .或在上面四式中令，得，即 .变换微分方程例4 设，变换方程 （假设出现的导数都连续）.解 这里既有自变量的变换，也有函数的变换.自变量由原来的变换为，函数由原来的变换为.为了把原来的函数变换为函数，可以把原来的函数视为如下的复合 ， ， ， 即 则 故 即 例5 设，求.证 方程确定了函数，在方程两边求微分，得 两边再求微分，得 解得 故 例6：设满足：，则也满足此方程.证明：例7：，求：解：例8：设在某一个领域内存在，在在连续，证明在存在，则证明：145中值定理 Taylor公式定义1：凸区域：设，有定理1：设二元函数在凸开区域上连续，在D的内点可微，则对D内任意两点，存在，使得： 证明：注1：若D是闭区域，且对D上的任意两点以及任意，且有：，则在D上连续，在INTD上可微的函数定理1成立.注2：若，则定理1不成立推论1：若函数在D上偏导数存在，且定理2：（Taylor公式）若函数在的某个领域内有直到n+1阶连续偏导数，则对中的任意一点上式称为在点的阶Taylor公式，这里证明：对用数学归纳法.时，显然 设 ，则 定理3：若函数在的某个领域内有直到n阶的连续偏导数，则对中的任意一点，有：这里Taylor公式的几种形式若函数在点的某领域内有直到阶连续偏导数，则（1）其中 （2）为方便，记，则其中 （3其中这是用微分表示的Taylor公式，它与一元函数的Taylor公式在形式上更为接近，由此也可以看到一元函数中在二元函数的对应物是.例1：设，求此函数在展成2阶Taylor公式.解：例2：求在处的Taylor公式及余项表达式.解：例2 证明Taylor公式的唯一性：若 其中，求证为非负整数，），并利用唯一性求带拉格朗日余项的阶Taylor展开式.证 对用数学归纳法.在中令即得.设时，则，进而 .在上式中令，因为，故时， ，从而而时，不存在，故必有（）.由数学归纳法即得证.令，由一元函数的Taylor公式及上面Taylor公式的唯一性得其中 问题1 不用Taylor公式的唯一性，试求的Taylor展开式.令，则 ，（）故 其中 . 显然，用Taylor公式的唯一性，计算要简单得多.三 极值问题定义1：若：，则称A为正定矩阵. 若：，则称A为负定矩阵. 若： ，则称A为不定矩阵.定理1：A为正定矩阵的充要条件是：定理2：设，则，则A为不定矩阵.定义1：若函数在的某个领域内有定义，若：有，则为极大值点若：有，则为极小值点定义2：若函数在的某个领域内有定义，在存在偏导数，且为极值点，则定义3：为在点Hesse矩阵.定理3：若函数在的某个领域内有二阶连续偏导数，且为稳定点，则：1) 若为正定矩阵，则为极小值点2) 若为负定矩阵，则为极大值点3) 若为不定矩阵，则不是极值点思考元函数的相应的结论.例1：求的极值点例2：求的极值点例3：求解最小二乘问题例4：求在上的最大值与最小值.例5：若函数在的某个领域内有二阶连续偏导数，且在取得极大值，则：综合选讲：例1：设有连续二阶导数，证明：满足：例2：讨论函数的连续性，偏导数存在性，连续性，可微性. 例3：设在圆在沿顺时针切线方向的方向导数.例4：设，求例5：设可微， 求例6：设在某领域内存在，且在可微分，则例7：在的阶Taylor公式和余项表达试.27 / 27