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第14章 多元函数的微分学
14.1 可微性与全微分
定义1：设函数在的某个领域内有定义,对于中的点的点,若函数在的全增量：(1)
A，B 是与无关的常数，则称在可微，
例1：求在处的微分.
解：

由定义可得：

定义2：若在的某个领域有定义：
若下面的极限存在：

称在的偏导数存在，记，若在内点点偏导数存在，记为：.
例1：设求
例2：设求
定理1：（可微的必要条件）若二元函数在其定义域内一点可微，则在 的偏导数存在，.
例1：讨论：在原点的可微性.
解：

而上述极限不存在，可见偏导数存在，但不一定可微分.
定理2：（可微的充要条件）设函数在的某个领域内有定义
且在处连续，则在可微.
证明：

定理3：（二元函数中值定理）条件如定理2，则
函数连续、偏导数、可微分的关系
连续
3
，连续
可微
1 2

，存在
4

在上述关系中，反方向均不成立.下面以点为例，逐一讨论.
42 ，43 例1：
均存在，但在点不可微，且不存在，即在点不连续.
34 ，32例2：，这是上半圆锥，显然在点连续，

但
故不存在.由的对称性，不存在.从而，在点不可微（否则，，均存在）.
21 例3：
，
由的对称性，.

（）
故在点可微.

取点列，，，显然

故不存在，从而在点不连续.由的对称性，在点也不连续.
对一元函数，可微与可导是等价的，即：可微可导.但对二元函数，可微与偏导存在并不等价，即：可微偏导存在，反之未必.应特别引起注意.
例4：设

讨论在原点的连续性，偏导数的存在性，可微分性.
解：

例5：讨论下列函数在原点的连续性，偏导数的存在性，可微分性，偏导数存在性.

解：
例3：设，求
14．2 复合函数微分法
设，
且：
定理1：设时可微，可微，则
在可微.且：

思考：推广元函数的链锁求导法则.
一般若

例1：，求
解：

例2：设可微，，证明：
证明：

例3：，求
解：
例4：求
解：

多重复合函数的求导：
设，求
求解道路图：

14．3 复合函数的全微分不变性.
设可微，则，又若，则
因此上式关于一阶全微分形式的不变性.
14．4方向导数和梯度
定义1：设三元函数在点的一个领域内，从出发的射线，为上的一点，设
若存在，则此极限称为在点沿的方向导数.记为
方向导数和偏导数的关系.
定理1：若三元函数在点可微，则在点沿的方向导数存在，若设的方向余弦，则
证明：P是上任意一点，
又因为在点可微，则：
例1：设，求在点沿方向导数.
解：

定义2（梯度）设在点存在所有自变量的偏导数，则为函数在点的梯度，记为

当夹角为0，达到最大值.
当夹角为达到最小值-
对多元函数，前面曾讨论了它在某点的可微、偏导数、连续之间的关系.下面进一步讨论方向导数与这些概念之间的关系.如下图
连续
2

，,存在
可微
1 3 5
，，存在

，存在
4

14 课本定理
35 由偏导数定义和方向导数定义即得.
43，53
例：函数在点沿任意方向的方向导数存在，
z
特别地，沿坐标轴正、负向的方向导数为
， . y
但 不存在.同理，不存在.
从上面的讨论不难看出，关于3、5有以下结论：
，存在，存在，且，这时有 ，.
41 否则有43，与43矛盾
42 例：

故在点不连续.但任意方向，当时，
，
当时， ，
即在点沿任意方向的方向导数都存在
52 否则有42，与42矛盾.或否则与 32矛盾.
24 例： 设，显然在点连续，但沿任意方向的方向导数不存在，事实上
不存在.
34 例： 设，则，但
时， 不存在.
例3：设可微，为的一个确定向量，若，求
解：假设：

所以
因此在任何平行于的直线上函数值都为常数.
例4：设可微，为上一组线性无关的向量，若，证明
证明：由于为上一组线性无关的向量，
由例3得知，在为常数，由于可微分，因此连续，所以
14．4 高级偏导数
定义并记：
，，
例1：设证明
证明：

定理1：若在连续，则
证明：
推广高阶混合偏导数相等的条件.
复合函数的高阶偏导数求解方法：
设则
进一步：
求复合函数与隐函数的偏导数，关键在于搞清楚各变量之间的关系.在求复合函数的高阶偏导时，尤其要搞清楚偏导函数各变量之间的关系.只有明确了变量之间的关系，才可能正确使用链式法则.
例1：设，求所有的二阶偏导数.
解：
例2：，求所有的二阶偏导数.
解：

例1 设为常数，函数二阶可导，，证明

证 变量之间的关系为 注意这里是某变量的一元函数，而.
因为 ，
由的对称性得 ，
而 ， ，
由的对称性得 ， ，
， .
于是

又因为

，
故 .
注1 在求时，要特别注意的函数关系仍然是
注2 在求时，注意正确使用导数符号，不要写成，也不要写成或 .事实上，.
注3 上面的证明简洁清楚，所要求证的微分方程的左边是，函数作为自变量的函数，是由中间变量复合而成，利用
，
我们得到了
这样把求对自变量的偏导数转化为对中间变量的偏导数，从而使计算简单了.试比较直接求的情形.

由的对称性得

则 .
例2 设的所有二阶偏导数都连续，
， ，
试求，，.
证 注意，是对求偏导数之后，令所得的函数，而不是作为的一元函数对的导函数.
在 两边对求导，得
将 代入，得
上式两边对求导，得
在两边对求导，得
因为有连续的二阶偏导数，则，又已知，将上两式联立解得
， .
即 ， .
例3 若函数对任意正实数满足关系，则称为次奇次函数.设可微，试证明为次齐次函数的充要条件是

证 令 ，则
，
故与无关，从而，即

方程 两边分别对求导，得
，
，
，
，
将前面三式代入第四式即得
.
或在上面四式中令，得
，，，
即 .
变换微分方程
例4 设，，，变换方程

（假设出现的导数都连续）.
解 这里既有自变量的变换，，也有函数的变换.自变量由原来的变换为，函数由原来的变换为.为了把原来的函数变换为函数，可以把原来的函数视为如下的复合
， ， ，
即
则

故
即
例5 设，求.
证 方程确定了函数，在方程两边求微分，得

两边再求微分，得

解得

故

例6：设满足：，则也满足此方程.
证明：

例7：，求：
解：

例8：设在某一个领域内存在，在在连续，证明在存在，则
证明：
14．5中值定理 Taylor公式
定义1：凸区域：设，，有
定理1：设二元函数在凸开区域上连续，在D的内点可微，则对D内任意两点，，存在，使得：

证明：

注1：若D是闭区域，且对D上的任意两点以及任意，且有：，则在D上连续，在INTD上可微的函数定理1成立.
注2：若，则定理1不成立
推论1：若函数在D上偏导数存在，且
定理2：（Taylor公式）若函数在的某个领域内有直到n+1阶连续偏导数，则对中的任意一点

上式称为在点的阶Taylor公式，这里
证明：

对用数学归纳法.时，显然
设 ，则

定理3：若函数在的某个领域内有直到n阶的连续偏导数，则对中的任意一点，有：

这里
Taylor公式的几种形式
若函数在点的某领域内有直到阶连续偏导数，则
（1）
其中
（2）为方便，记，则

其中
（3
其中
这是用微分表示的Taylor公式，它与一元函数的Taylor公式在形式上更为接近，由此也可以看到一元函数中在二元函数的对应物是.
例1：设，求此函数在展成2阶Taylor公式.
解：

例2：求在处的Taylor公式及余项表达式.
解：
例2 证明Taylor公式的唯一性：若

其中，求证为非负整数，），并利用唯一性求带拉格朗日余项的阶Taylor展开式.
证 对用数学归纳法.在中令即得.设时，则，进而
.
在上式中令，因为，，故时， ，从而

而时，不存在，故必有（）.由数学归纳法即得证.
令，由一元函数的Taylor公式及上面Taylor公式的唯一性得

其中
问题1 不用Taylor公式的唯一性，试求的Taylor展开式.
令，则 ，（）
故

其中 .

显然，用Taylor公式的唯一性，计算要简单得多.
三 极值问题
定义1：若：，则称A为正定矩阵.
若：，则称A为负定矩阵.
若： ，则称A为不定矩阵.
定理1：A为正定矩阵的充要条件是：
定理2：设，则，则A为不定矩阵.
定义1：若函数在的某个领域内有定义，
若：有，则为极大值点
若：有，则为极小值点
定义2：若函数在的某个领域内有定义，在存在偏导数，且为极值点，则
定义3：为在点Hesse矩阵.
定理3：若函数在的某个领域内有二阶连续偏导数，且为稳定点，则：
1) 若为正定矩阵，则为极小值点
2) 若为负定矩阵，则为极大值点
3) 若为不定矩阵，则不是极值点
思考元函数的相应的结论.
例1：求的极值点
例2：求的极值点
例3：求解最小二乘问题
例4：求在上的最大值与最小值.
例5：若函数在的某个领域内有二阶连续偏导数，且在取得极大值，则：
综合选讲：
例1：设有连续二阶导数，证明：满足：
例2：讨论函数的连续性，偏导数存在性，连续性，可微性.

例3：设在圆在沿顺时针切线方向的方向导数.
例4：设，求
例5：设可微，
求
例6：设在某领域内存在，且在可微分，则
例7：在的阶Taylor公式和余项表达试.
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