勾股定理专题一.doc

(完整版)勾股定理专题一
勾股定理专题一

考点一：勾股定理
(1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b,斜边为c，那么一定有
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
（2）结论：
①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形.
③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
（3）勾股定理的验证

例题：
例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。
（1)在Rt△ABC中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=___________;
②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60,则a=__________；
④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。
（2）如果直角三角形的两直角边长分别为，2n（n>1），那么它的斜边长是（　　）
A、2n B、n+1 C、n2－1 D、
（3)在Rt△ABC中，a，b,c为三边长,则下列关系中正确的是（ )
A. B.
C. D。以上都有可能
（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是(　　）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题.
（1）直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为__________。
（2）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A、24 B、36 C、48 D、60
（3）已知x、y为正数，且│x2—4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）
A、5 B、25 C、7 D、15
例3：探索勾股定理的证明
有四个斜边为c、两直角边长为a,b的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证明勾股定理.

考点二：勾股定理的逆定理
（1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，，那么这个三角形是直角三角形.
(2）常见的勾股数:（3n,4n，5n），（5n,12n，13n）,(8n,15n,17n），（7n，24n，25n)，（9n,40n,41n）…..（n为正整数)
(3)直角三角形的判定方法：
①如果三角形的三边长a,b,c有关系，，那么这个三角形是直角三角形。
②有一个角是直角的三角形是直角三角形。
③两内角互余的三角形是直角三角形。
④如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
例题:
例1：勾股数的应用
（1）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ )
A. 4,5,6 B. 2，3，4
C. 11，12,13 D. 8，15,17
（2）若线段a，b,c组成直角三角形,则它们的比为（　　）
A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7
例2:利用勾股定理逆定理判断三角形的形状
（1)下面的三角形中:
①△ABC中,∠C=∠A－∠B;
②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3;
③△ABC中，a：b：c=3：4：5；
④△ABC中，三边长分别为8,15，17．
其中是直角三角形的个数有( ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）若三角形的三边之比为,则这个三角形一定是（ )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.不等边三角形
(3）已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)（a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（　　）
A。直角三角形 B。等腰三角形
C。等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
(4）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数， 得到的三角形是（ ）
A． 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D。 等腰三角形
(5）若△ABC的三边长a，b，c满足试判断△ABC的形状。
（6）△ABC的两边分别为5，12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数,则c应为 ,此三角形为 。
例3:求最大、最小角的问题
（1)若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是 度。
(2)已知三角形三边的比为1::2，则其最小角为 .
考点三：勾股定理的应用
例题：
例1：面积问题
（1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ )
A. 13 B。 26 C. 47 D. 94

(图1） （图2） （图3）
（3）如图,△ABC为直角三角形，分别以AB，BC，AC为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得( ）
A。 S1+ S2〉 S3 B。 S1+ S2= S3 C。 S2+S3< S1 D。 以上都不是
（2）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3,则它们之间的关系是（ ）
A. S1— S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3〈 S1 D. S2— S3=S1
例2：求长度问题
(1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。

（2)在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高？

例3：最短路程问题
（1）如图1，已知圆柱体底面圆的半径为,高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线,若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是 .(结果保留根式)

(2）如图2,有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B,那么这只昆虫爬行的最短距离为 。

（图1） (图2）
例4：航海问题
（1)一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1。5小时后，它们相距________海里．

（2）（深圳）如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处,在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由.

（图1) （图2）
（3）如图2，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
例5：网格问题
（1）如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是( ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（2)如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （ ）
A。直角三角形 B.锐角三角形 C。钝角三角形 D。以上答案都不对
(3）如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 （ ）
A． 25 B。 12。5 C. 9 D. 8。5

(图1） （图2） （图3）
例6：图形问题
（1)如图1，求该四边形的面积
(2）（2010四川宜宾）如图2，已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= ,AB= +1，则边BC的长为 ．

（图1） （图2）
(3）某公司的大门如图所示，其中四边形ＡＢ ＣＤ是长方形，上部是以ＡＤ为直径的半圆，其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ，现有一辆装满货物的卡车，高为2.5ｍ，宽为1。6ｍ，问这辆卡车能否通过公司的大门？并说明你的理由
。
（4）（太原）将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝,高为12㎝的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围 。

【中考链接】
1.（2010 广西钦州市）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，
现将△ABC折叠,使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为
（A）4 cm （B)5 cm (C)6 cm （D）10 cm

A
B
C
D

2．(2010 山东荷泽）（本题满分8分)如图所示,在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5㎝，求AB的长．
3. 如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
①使三角形的三边长分别为3、、（在图甲中画一个即可）;
②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）．

4．（2010广东湛江)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( ）
A。1,2，3 B。2，3，4 C.3，4，5 D。4，5,6
5．（2010 四川泸州）在△ABC中，AB=6，AC=8,BC=10，则该三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C． 钝角三角形 D．等腰直角三角形
6.（2010辽宁丹东市)已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 ．

7。（2010广西南宁）如图，每个小正方形的边长为1，的三边的大小关系式：
（A） （B） （C) (D）
8．（2010 湖北孝感）（本题满分10分）
［问题情境］
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明,著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系"(勾股定理)带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话"的语言。
［定理表述]
请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述);（3分）

［尝试证明］
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底,以为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；（4分)
［知识拓展]
利用图2中的直角梯形,我们可以证明其证明步骤如下：
= 。
又∵在直角梯形ABCD中有BC AD（填大小关系），即 ，

勾股定理难题集锦：

在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.---— 康扥尔（Cantor) 

1、如图,四边形ABCD中,∠ACB=90O ,CD⊥AB于点D，若AD=8,BD=2，求CD的长度。

2.如图，P是等边三角形内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作，且BQ=BP，连结CQ、PQ，若PA：PB:PC=3：4：5,试判断的形状。

3。如图，和都是等边三角形，，
试说明：

4。在等腰直角三角形中，AB=AC,点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF.
（1)说明:
（2）若BE=12,CF=5,试求的面积.

5.为了美化环境，计划在某小区用草地铺设一个等腰三角形，使它的面积为30平方米且有一边长为10米，求另外两条边.

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