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浅谈高等代数在中学的应用

数学与计算机科学学院 专业：数学与应用数学
学号：2011031532 朱伟达 指导老师:卢明先

【摘要】线性代数是数学的一个分支，是一门数学基础课程．近几年随着高等数学已渐渐走入初等数学,线性代数在初等数学中也有广泛应用．本文共分为五个部分：例说行列式在中学数学中的应用，线性方程组在中学数学中的应用，二次型理论在中学数学中的应用，矩阵与变换引入中学数学的意义及应用，用向量法解决初等几何问题．本文主要是从上述几个方面分析了线性代数在中学数学中的若干应用以及有关例题的讲解过程．
【关 键 词】行列式；齐次线性方程组;二次型; 矩阵;向量

Discussion on Application of Higher Algebra in middle school

ZHU wei-da 2011031532 Advisor:LU ming-xian
Pure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science

【Abstract】:Linear algebra is a branch of mathematics. It is a mathematical foundation course。 In recent years, some content of higher mathematics are begun to learn by middle school students. And Linear algebra has also wide application in elementary mathematics。 This paper is divided into five parts. In these parts， we will give a lot of examples to show some applications of determinant， Linear equations, quadratic theory， matrix and transform, vector in elementary mathematics。   
【Keywords】： determinant   homogeneous linear system    quadratic form matrix  vector.

引言:线性代数是学习自然科学、工程和社会科学的一门高度抽象且逻辑性很强的基础理论课程，它本身理论性强，并且计算繁杂．作为高等学校基础课,除了作为各门学科的重要工具以外，还是提高人才的全面素质中起着重要的作用,他在培育理性思维和审美功能方面的作用也得到充分的重视．可以说任何与数学有关的课程都涉及线性代数知识．学习数学就必须解题，解题要以自己的实践过程来实现．本文在阐述一些重要的概念和定理之后，常常附以具体例子，这样可以使读者从实例中了解问题的具体内容，掌握解决问题的思路和算法步骤，以减少理解障碍,从而提高逻辑读者的推理和判断的能力．
第1章 行列式在中学数学中的应用
随着高中数学新课程的实施,行列式在中学数学中的渗透、应用越来越受关注， 行列式是在寻求线性方程组公式解的过程中产生的。行列式是线性代数的基本工具,有许多的应用。这里结合中学数学着重探讨行列式的应用。本文从三个方面浅析其在中学数学中的应用。
1.1 用行列式证明等式
利用行列式证明等式与不等式的方法是对同一行列式用两种不同的计算方法，利用其结果相等而得到等式的证明.
例1 已知，求证。
证明:令，则
，
即
例2 已知，,,求证：.
证明：令，则有
.
例3 在中，求证。
证明 由于

所以，在中，成立.
例 4求证:。
证明：因为

又，
故

1.2 用行列式分解因式
由行列式的定义，.由此启发,我们可以把一个代数式看成两个式子的差,而每个式子又可以看成两个因式的乘积,即(均为代数式)，于是.由此即可根据行列式的性质,对某些多项式进行因式分解。
例1分解因式.
解：

.
例2 将分解因式.
解:
.
例3 分解因式.
解:
。
利用行列式分解因式的关键是将所给多项式的形式写成行列式的形式，并注意行列式的排列规则。

1.3 行列式在解析几何中的应用

定理1（1）以平面内三点为顶点的的面积
的绝对值。
（2）通过两点的直线方程为.
例 求过点和点的直线的方程。
解 由，得直线的方程为。
（3）平面内三条直线.
相较于一点或互相平行的充要条件是：.
推论平面上三点在一条直线上的充要条件是。
定理2 通过平面上三点的圆的方程为
.
例1 平面上给出三个两两相交的圆，每两个圆有一条根轴，则三条根轴互相平行或交于一点.
证明：设三个圆的方程分别为.两两相减得三条交线正是所述三条根轴，它们所在的直线方程为

三条直线方程的系数行列式为

故三直线平行或相较于一点。
本题实质是求一封闭图形经过仿射变换后所得图形的面积.利用线性变换面积定理求解本题,居高临下，让人耳目一新.

第2章 线性方程组在中学数学中的应用

1。关于消元法与解的结构。
线性方程组的理论是线性代数的重要理论结果，它是中学数学方程组求解方法的理论化与规范化。线性方程组是否有解、有解时解的数量、通解的公式表示、解的几何意义等一系列问题都得到了圆满的解决，体现了高等代数相对于初等代数的新观点、新思想、新方法的优越性，对中学数学教学具有高屋建瓴的指导作用。消元法是中学数学求解二（三）元一次方程组的基本方法，在高等代数中可以得到理论上的完美解释，即由于线性方程组的初等变换保持同解性，所以消元法可行，而且消元法的实质是反复对方程组作初等变换，或者说消元法是对线性方程组的增广矩阵作行的初等变换的过程。并且,根据线性方程组解的理论容易知道解的只有三种情况（唯一解、无解、无穷多解)以及具体判定方法和解的结构特征。特别地,在一定条件下,方程组的唯一解可以用公式形式给出,即Cramer法则。Cramer法则的意义主要在于:明确了解的存在性与唯一性,为判断这类方程组的有解性提供了比较直接的方法；将求解问题,转化为行列式的计算,避免了消元法的繁琐计算;以公式的形式给出了解与系数的明显关系，为一般线性方程组公式解的表达式提供了理论依据。
2。几个平面共点、共线、平行与重合的问题。
利用线性方程组的理论容易解决平面共点、共线、平行与重合的问题.
实际上，平面族交于一点的条件是对应的方程组有唯一解，相当于系数矩阵与增广矩阵的秩都等于。
3;(1）平面族共线的条件是系数矩阵与增广矩阵的秩都等于。
（2）平面族过同一平面(重合)的条件是系数矩阵与增广矩阵的秩都等于1;平面族互相平行的条件是对应的方程组无解，相当于系数矩阵与增广矩阵的秩不相等。此外线性方程组理论还可解决直角坐标平面上四点共圆或者过不共线的三点的圆的方程等问题。
比如下面就是一个线性方程组的例子:
例：一个庙里有一百个和尚，这中间有大和尚有小和尚，这一百个和尚每顿饭总共吃一百个馒头，其中大和尚一个人吃三个，小和尚三个人吃一个,问大和尚和小和尚各多少人？
解 设大和尚的数目是,小和尚的数目是,则有
， 解之得
其实，更多元的线性方程组也是同样的解法.
定理 含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是：方程组的系数行列式等零。
例1已知函数，证明、、中至少有一个不小于。
解　把=1，2，3代入函数表达式,列方程组

上述关于a、b、1的齐次线性方程组有非零解,故，展开整理得，假设结论不成立,即, , ,易推出,从而产生矛盾,故命题成立。
例2 已知,，,求证:.
证明：由已知得关于得方程组
因为不可能为零,所以由定理知
化简得即。
由已知条件的结构特征与待解问题之间的关系建立齐次线性方程组，构造三阶行列式，其解题思路新颖，能够巧妙地解决中学数学中的若干棘手问题，凸显了用高等数学理论与方法解决初等数学问题的优越性.

第3章 二次型理论在中学数学中的应用

中学数学里有时遇到多元二次多项式的因式分解问题,我们可以利用高等代数中二次型理论来探讨复数域和实数域上多元二次多项式的分解条件及分解方法.
实际上,n元二次多项式可以和n+1元二次型联系起来。比如由二元二次多项

可构成三元二次型

反之,由二次型取z=1，得相应的二次多项式。
一般地,如果n元二次多项式为

则称n +1元二次型

为对应的二次型。容易证明:n元二次多项式可分解的充要条件是对应的二次型可分解为两个n +1元一次齐次式的乘积.因此可以主要考虑二次型的分解.根据二次型理论，可以证明以下结论：复数域上二次型可分解的充要条件是它的秩不超过2；实数域上二次型可分解的充要条件是它的秩等于1，或者秩是2且符号差是0。这个结论表明了二次多项式或二次型可分解与否的判别方法，至于具体的分解方法，一般是利用配方法或二次型理论中的矩阵合同变换法把二次型先化为标准型,再作进一步的因式分解。

考虑一个 n 元二次型：
，其中,。
定义一个二次型经过非线型替换变成的平方和，称为的标准型。
定理1 实数域上任意一个二次型 都可以经过非退化的线性替换变成平方和(1）的形式。
定理2 一个实二次型可以分解成两个实数系的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2和符号差为0，或秩等于1。
例 1 试判断下列多项式在 R 上能否分解，若能,分解之。

解 1） 令，则，下面考虑的秩和符号差，对作非线性替换：
， 即
有，可见的秩是3,有定理2，知不能分解，从而也不能分解.
解 2) 令，则下面考虑的秩和符号差。对作非线性替换
， 即
有，从而，可见的秩为2,符号差为0，有定理2，知可以分解，且
定理2　对于n元实二次型为的特征值,则对于任意,有.
例3　设是实数,且满足。则的最大值与最小值是.
解　令,则的矩阵。
令,因此,特征值。
由定理得,注意到，解得.又,从而，所以的最大值为9，最小值为1.
由此可见,运用高等代数中二次型定理可以顺利解决二次型在条件下的取值范围,解法流程清晰,易于掌握.

第4章 矩阵与变换引入中学数学的意义及应用

新课标中学数学的一个重大变化就是把大量原属高等数学的内容下放到中学供学生选修，以开阔学生的视野，满足不同学生的数学需要，促进学生的数学发展.被下放的有矩阵与变换、数列与差分、球面几何、对称与群等十几个专题.下面对中学数学引入矩阵知识的意义及作用，进行初步的探讨.

4。1 中学数学引入矩阵的意义

中学数学引入矩阵初步知识的意义，本人认为，主要有四个方面：首先，为表达数据提供新的工具。因此，中学数学引入矩阵知识可为学生提供一个表达数据的新工具，一是学生更好的学习概率、统计、技术原理等课程，也能使学生更好地适应现实生活中的需要；其次，为研究映射提供了一个新平台.在中学数学中，映射是最重要的基本概念.在新课程中学数学体系中，直接与映射有关的内容就有函数、向量、数列、复数、曲线与方程、极坐标与参数方程等十几个方面映射不仅是中学数学的重要概念，也是学习高等数学的必备基础。但映射的表示方法,中学数学中原来只有解析法、列表法和图像法，这对于扩充学生的知识视野，尤其是对学习高等数学的需要,似嫌不足。因此,中学数学引入矩阵可为表达映射提供一种新的方法；第三，给线性方程组的解法开辟一条新的途径.引入矩阵知识及行列式以后，就可以得到解线性方程组的公式-——克拉姆法则,这不仅为中学数学解线性方程组找到一条新的途径，而且有利于与高等数学相连接；第四，综合应用，为高等数学与其他模块的学习提供帮助。例如网络图、信息与密码、概率与统计、生态学等，都可以用矩阵表达或者求解，引入矩阵知识,可为学习这些知识提供有力的工具.文档为个人收集整理，来源于网络
4.2 中学数学中矩阵与变换

中学数学中由矩阵建立的变换就是平面上的坐标变换，其中,矩阵起着“对应法则”的作用.用二阶矩阵确定的变换,就是构造映射,使平面上的点变成点,这个映射的对应法则就是左乘，在这个变换中,矩阵称之为变换矩阵，变换矩阵不同，得到的是不同的变换。
例 1 已知在一个二阶矩阵对应变换作用，点变成了点,点变成了点，求矩阵.
解 设,则，。
所以 ， 解得 ， 所以。

4。3 线性变换面积定理

定理1 线性变换将平面上所有图形的面积放大或缩小同一倍数，这个倍数就是变换行列式的绝对值.
例1在平面直角坐标系中，已知平面区域，则平面区域的面积为。
解　依题意，平面区域A是由,，围成的三角形，面积S为,平面区域变成平面区域所对应的变换矩阵为，则变换行列式的绝对值，所以平面区域的面积为.

4。4 利用矩阵的秩判断两直线位置关系

定理2 设空间两直线：，
设矩阵的秩为，矩阵的秩为,则1）当=4时，两直线异面；2)=2时，两直线重合；3）==3时,两直线相交；4）==3时，两直线平行.
例 判断两直线和的位置关系.
解
故==2，所以直线与直线重合.

4。5利用矩阵求最大公因式

利用增广矩阵可以很清晰地表示消元法的过程；利用矩阵乘积，可以轻易地得到变量之间的性关系。在初等数学中，求两个多项式的最大公因式一般用因式分解和辗转相除的方法,运算过程较为复杂。如果采用矩阵的知识，可使求解过程简洁许多。
原理:首先,根据多项式理论,容易得到以下结论

f(x),g(x)=f（x)，kg（x）,k不等于0；
f（x)，g(x)=f（x)，kg(x），g(x)，k是常数；
g(x）=f(x），g(x）,其中f（x）的常数项非零.
用矩阵

这样,结论表明对该矩阵做初等消法行变换和初等倍法行变换以后不改变最大公因式;同时,还表明当 的最大公因式与
的最大公因式相同（至多相差常数倍)。
于是，可以对上述矩阵做以上三种变换，使得其中的某行都是零或者只有一个非零数,进而可很快求出它们的最大公因式。

4。6 中学数学中矩阵变换的常见类型
中学数学中由矩阵确定的变换的常见类型，列表说明如下：
表1 中学数学中矩阵变换的常见类型
变换名称
变换矩阵
几何特征
恒等变换

图形变成图形
伸压变换
1、沿轴方向： 2、沿 轴方向
图形变成图形,大小和形状可能变化
反射变换
关于轴反射关于轴反射关于反射关于原点反射
图形变成图形,大小和形状不变，位置可能改变
旋转变换

图形变成图形，大小和形状不变，位置可能改变
投影变换
垂直投到轴:垂直投到轴：
图形变成线或点
切变变换
1、沿轴方向： 2、沿 轴方向
图形变成图形,大小和形状可能变化

第5章 用向量法解决初等几何问题

众所周知,向量是现代数学的基本概念之一。在高中数学教材中引入向量概念也是数学现代化的需要。向量是初等数学与高等数学的衔接点，这也是向量在数学课程改革中受到青睐的魅力所在。 向量有利于培养学生数形结合的思想方法,有利于拓宽解题思路,有利于发展学生的运算能力，有利于与高等教育衔接等方面。

1.向量线性关系的几何意义
向量思想体现了数学的抽象性与严谨性，反过来又展示了应用广泛性的特点，向量之间的线性相关性有着明显的几何意义。
一维情况:非零向量a与向量e共线（平行)的充要条件是a可由e线性表示。更一般的,两个向量共线(平行)的充要条件是它们线性相关。
二维情况：向量a与不共线的两个向量 e1,e2共面的充要条件是a可由e1,e2线性表示。更一般的,三个向量共面的充要条件是它们线性相关.
三维情况：空间中任意向量都可由不共面的三个向量线性表示。更一般的，空间中任意四个（以上)向量总是线性相关。
此外,线性相关性的概念可移用于线性方程组。当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，那这个方程就是多余的.把每个线性方程看成一个行向量,那么两个线性方程组同解相当于对应两个行向量组等价。把各系数列看成向量组,则线性方程组有解相当于常数列向量可由系列向量组线性表示。

例1 证明三角形的余弦定理。
证明 在中,设,,且，，，
那么即 从而
所以 即。
例2 求证:连结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半。
证明 分别为三角形的两边与的中点，那么
，所以∥，且。
例3 如图，三菱锥,⊥底面,，,点分别是的中点,
求二面角的余弦值。
解 以BP所在直线为z轴，BC所在直线为y轴，建立空间直角坐标
系，则
。
因为PB⊥平面ABC，所以PB⊥AC，又AC⊥CB,所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥PC,所以EF⊥PC。又BE⊥PC，所以PC⊥平面BEF.
而，所以平面BEF的一个法向量。
设平面ABE的法向量，则，则x：y：z=1:（-1）:1。
取x=1，则平面ABE的一个法向量,所以。
所以二面角A-BE—F的平面角的余弦值为.

参考文献
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