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二次函数应用题分类解析
二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类：
第一类、利用待定系数法
对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。
例1． 某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
x（十万元）
0
1
2
…
y
1
1.5
1.8
…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
析解：（1）因为题中给出了y是x的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y与x的函数关系式为
（2）由题意得S=10y(3-2)-x
（3）由（2）及二次函数性质知，当1≤x≤2.5，即广告费在10—25万元之间时，S随广告费的增大而增大。
二、分析数量关系型
题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。
例2． 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。
（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；在图2所示的坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获得最多，是多少？

（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？
析解：（1）若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2(70-x)]千克，每千克获利为(x-30)元。根据题意得（30≤x≤70）。
（2）。顶点坐标为（65，1950），草图略，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。
（3）列式计算得，当日均获利最多时，可获总利195000元；当销售单价最高时，可获总利221500元。故当销售单价最高时获总利较多，且多获利221500-195000=26500元。
三、建模型
即要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。这类问题建模要求高，有一定难度。
例3．如图4，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点处到边MN的距离是4dm，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于8dm？
析解：由“抛物线”联想到二次函数。如图4，以MN所在的直线为x轴，点M为原点建立直角坐标系。设抛物线的顶点为P，则M（0，0），N（4，0），P（2，4）。用待定系数法求得抛物线的解析式为。
设A点坐标为（x，y），则AD=BC=2x-4，AB=CD=y。于是
。且x的取值范围是0<x<4（x≠2）。
若l=8，则，即。解得。
而0<x<4（x≠2）。故l的值不可能取8，即截下的矩形周长不可能等于8dm。
注：本题还可在其它位置建立直角坐标系。
例4..某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量y(万件)与销售单价x(元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支z(万元)(不含进价)与年销量y(万件)存在函数关系z=10y+42.5.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)度写出该公司销售该种产品年获利w(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式;(年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额)当销售单价x为何值时,年获利最大?最大值是多少?
(3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用(2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围
在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元?
.解:(1)由题意,设y=kx+b,图象过点(70,5),(90,3),
∴解得∴y=x+12.…………………………………………3分
(2)由题意,得w=y(x-40)-z=y(x-40)-(10y+42.5)=(x+12)(x-10)-10(x+12)-42.5
=-0.1x2+17x-642.5=(x-85)2+80.
当85元时,年获利的最大值为80万元. ……………………………………………………6分
(3)令w=57.5,得-0.1x2+17x-642.5=57.2.
整理,得x2-170x+7000=0.
解得x1=70,x2=100.
由图象可知,要使年获利不低于57.5万元,销售单价应在70元到100元之间.又因为销售单价越低,销售量越大,所以要使销售量最大,又使年获利不低于57.5万元,销售单价应定为70元.………………………………10分
四：利润最大(小)值问题
知识要点：
二次函数的一般式()化成顶点式，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．
即当时，函数有最小值，并且当，；
当时，函数有最大值，并且当，．
如果自变量的取值范围是，如果顶点在自变量的取值范围内，则当，，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内随的增大而增大，则当时，
，当时，；
如果在此范围内随的增大而减小，则当时，，当时，．

商品定价一类利润计算公式：
经常出现的数据：商品进价；商品售价1；商品销售量；商品售价2；商品定价；（商品调价）；商品销售量1；销售量变化率;其他成本。
u 单价商品利润=商品定价－商品售价1
u △（价格变动量）=商品定价－商品售价2（或者直接等于商品调价）；
u 销售量变化率=销售变化量÷引起销售量变化的单位价格；
u 商品总销售量=商品销售量1±△×销售量变化率；
u 总利润（W）=单价商品利润×总销售量－其他成本
u

[例1]：求下列二次函数的最值：
（1）求函数的最值．

[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？

实际问题与二次函数习题精选及解析
填空题：
1．当炮弹从炮口以30º角射出后，飞行高度h(米)与飞行时间t(秒)之间的函数关系式是h=v0t−5t2，其中v0是炮弹发射的初速度，当v0=300米/秒时，炮弹飞行的最大高度是________。
答案：1125米。
说明：把v0=300代入h=v0t−5t2得h=150t−5t2，由公式得h最大=1125米。
2．王师傅想在一块三角形剩料中挖取一块最大矩形料做其他用途，其图形和数据如图所示，请你计算王师傅所取得最大矩形料的面积________，这时CE=________，CF=________。

答案：m2，m，m。
说明：设CF=x，则BF=1−x，BD=2(1−x)，∴FD=(1−x)，∴S矩形FCED=(1−x)•x=−x2+x=−(x−)2+。∴S矩形FCED最大为m2，这时CF=m，CE=m。
解答题：
1．某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后，要提高租金。经市场调查，如果1间客房的日租金每提高5元，则客房每天出租数会减少6间。不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？
分析：这是函数知识在日常生活中的实际应用题，本题中各量之间的等量关系为：每天客房日租金的总收入=每间客房的日租金×客房每天出租的间数。
解：设每间客房的日租金提高x个5元(即5x元)，则每天客房出租数会减少6x间，根据题意可得y=(50+5x)(120−6x)，即y=−30(x−5)2+6750。
∴当x=5时，y最大=6750。
这时每间客房日租金为50+5×5=75(元)，客房日租金的总收入最高，为6750元。装修前的日租金120×50=6000(元)，6750−120×50=750(元)。
故将每间客房的日租金提到75元时总收入最高，比装修前的日租金总收入增加750元。
2．某商场经销一种销售成本为每千克40元的水产品；据市场调查，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量下降10千克，针对这种水产品的销售情况，请探索以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，月销售利润为多少？
(2)设月销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，写出y与x之间的函数关系式。
解：(1)月销售利润为：[500−(55−50)×10]×(55−40)=6750(元)
(2)y=[500−(x−50)×10]×(x−40)，即y=−10x2+1400x−4000
3．火车进站刹车滑行的距离s(单位：m)与滑行时间t(单位：s)的函数关系式是s=30t−1.5t2；火车离站台多远开始刹车，才能使火车票刚好停在站台位置上？
解：由s=30t−1.5t2得s=−(t−10)2+150
所以当t=10时，s最大=150
所以当火车从离站台150米处开始刹车，火车才能刚好在站台停下。
4．南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元；市场调研表明，当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆；设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元。
(1)求y与x的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
(3)当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
解：(1)y=29−25−x=−x+4(0≤x≤4)
(2)z=(8+×4)•y=(8x+8)(−x+4)=−8x2+24x+32
(3)由z=−8x2+24x+32，配方得z=−8(x−)2+50
所以当x=时，z最大=50
所以当定价为29−1.5=27.5(万元)时，有最大利润，最大利润为50万元。
5．小店张老板批发进货，其中有一种商品进价为每件9元，按每件15元出售，每天可销售40件；现在他想采用降价促销的办法来增加利润，已知这种商品每件每降价1元，日销售量就增加10件，那么他把售价定为多少时，才能使每天获利最大？每天最大利润是多少？
解：设降价x元，则零售价为(15−x)元，日销量为(40+10x)件
设每日利润为y元，则由题意得：y=(15−x−9)(40+10x)=−10x2+20x+240，
配方得y=−10(x−1)2+250
所以当x=1时，y最大=250，这时15−x=14
所以把售价定为每件14元时，每天获利最大，最大利润是250元。
6．在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节即将来临时，价格呈上升趋势；设这种时装开始时定价为20元，并且每周(7天)涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售；(1)试建立销售价y与周次x之间的关系式；(2)若这种时装每件进价Z与周次x之间的关系为Z=−0.125(x−8)2+12(1≤x≤16，且x为整数)，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润是多少？
解：(1)由题意，可以建立函数关系式如下：
当1≤x≤6时，y=20+2(x−1)；
当6≤x≤11时，y=30；
当12≤x≤16时，y=30−2(x−11)

即y=

(2)设销售利润为W元，则W=售价−进价

所以W=

化简得W=

①当1≤x≤6时，W=x2+14
因为对称轴为直线x=0，a>0
所以由图象不难得出在1≤x≤6范围内，当x=6时，W有最大值
W最大=×62+14=18.5
②当6≤x≤11时，W=x2−2x+26
因为对称轴为直线x=8，在6≤x≤11范围内，由图象可看出在x=11时，W有最大值
W最大=×112−2×11+26=19
③当12≤x≤16时，W=x2−4x+48
对称轴为直线x=16
由图象可以看出在12≤x≤16范围内，x=12时，W有最大值
W最大=×122−4×12+48=18
综上所述，当x=11时销售利润最大，最大值为19元。
二次函数经典应用题练习题
1、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件.
（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？

2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？

3、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．
（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．
（参考公式：二次函数（），当时，)

4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系，去年的月销售量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：
月份
1月
5月
销售量
3.9万台
4.3万台
（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？
（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求的值（保留一位小数）．
（参考数据：，，，）

5、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．

6、某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。
（1）请建立销售价格y（元）与周次x之间的函数关系；
（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x之间的关系为， 1≤ x ≤11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？
)

7、茂名石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表，请你解答下列问题：
价
目
品
种

出厂价
成本价
排污处理费
甲种塑料
2100（元/吨）
800（元/吨）
200（元/吨）
乙种塑料
2400（元/吨）
1100（元/吨）
100（元/吨）
每月还需支付设备管理、
维护费20000元
（1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各吨，利润分别为元和元，分别求和 与的函数关系式（注：利润=总收入-总支出）；
（2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨，若某月要生产甲、乙两种塑料共700吨，求该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？

8、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价（元）与销售月份（月）满足关系式，而其每千克成本（元）与销售月份（月）满足的函数关系如图所示．
（1）试确定的值；
（2）求出这种水产品每千克的利润（元）与销售月份（月）之间的函数关系式；
（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？

25
24
y2（元）
x（月）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
第8题图

O

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