小学数学思想方法的梳理.doc
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1、小学数学思想方法的梳理(一)王永春(课程教材研究所) 数学思想和数学方法既有区别又有密切联系。数学思想的理论和抽象程度要高一些,而数学方法的实践性更强一些。人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法;而人们选择数学方法,又要以一定的数学思想为依据。因此,二者是有密切联系的。我们把二者合称为数学思想方法。数学思想方法是数学的灵魂,那么,要想学好数学、用好数学,就要深入到数学的“灵魂深处”。 数学课程标准在总体目标中明确提出:“学生能获得适应未来的社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”这一总体目标贯穿于小学和初中,这充分说明了数学思想方法的重要性。在小学阶段
2、有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法可以加深学生对数学概念、公式、法则、定律的理解,提高学生解决问题的能力和思维能力,也是小学数学进行素质教育的真正内涵之所在。同时,也能为初中数学思想方法的学习打下较好的基础。在小学阶段,数学思想方法主要有符号化思想、化归思想、类比思想、归纳思想、分类思想、方程思想、集合思想、函数思想、一一对应思想、模型思想、数性结合思想、演绎推理思想、变换思想、统计与概率思想等等。 为了使广大小学数学教师在教学中能很好地渗透这些数学思想方法,笔者把这些思想方法比较系统地进行概括和梳理,明晰这些思想方法的概念,整理它们在小学数学各个知识点中的应用,并就如何教学提出一些建议
3、。一、符号化思想 1、符号化思想的概念。 数学符号是数学的语言,数学世界时一个符号化的世界,数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具,符号起到了非常重要的作用:因为数学有了符号,才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点,同时也促进了数学的普及和发展;国际通用的数学符号的使用,使数学成为国际化的语言。符号化思想是一般化的思想方法,具有普遍的意义。 2、如何理解符号化思想。 数学课程标准比较重视培养学生的符号意识,并把符号意识作为数学与代数的内容之一给出了诠释。那么,在小学阶段,如何理解这一重要思想呢?下面结合案例做简要解析。 第一、从具体情境中抽象出数学量关系和变化规律、从特殊到一般的
4、探索和归纳过程。如通过几组具体的两个数相加,交换加数的位置和不变,归纳出加法交换律,并用符号表示:a+b=b+a。再如在长方形上拼摆单位面积的小正方形,探索并归纳出长方形的面积公式,并有符号表示:S=ab。这是一个符号化的过程,同时也是一个模型化的过程。 第二、理解并运用符号表示数量关系和变化规律。这是一个从一般到特殊、从理论到实践的过程。包括用关系式、表格和图像表示情境中数量间的关系。如假设一个正方形的边长是a,那么4a就表示该正方形的周长,a2表示该正方形的面积。这同样是一个符号化的过程,同时也是一个解释和应用模型的过程。 第三、会进行符号间的转换。数量间的关系一旦确定,便可以用数学符号表
5、示出来,但数学符号不是唯一的,可以丰富多彩。如一辆汽车的行驶时速为定值80千米,那么该辆汽车行驶的路程和时间成正比,它们之间的数量关系既可以用表格的形式表示,也可以用公式s=80t表示,还可以用图象表示。即这些符号是可以相互转换的。 第四、能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。这是指定完成符号化后的下一步工作,就是进行数学的运算和推理。能够进行正确的运算和推理是非常重要的数学基本功,也是非常重要的数学能力。 3、符号化思想的具体应用。 数学的发展经历了几千年,数学符号的规范和统一也是经历了比较漫长的过程。如我们现在通用的算术中的十进制计数符号数字09于公元8世纪在印度产生,经过了几百年
6、才在全世界通用,从通用至今也不过几百年。代数在早期主要是以文字为主的演算,直到16、17世纪韦达、笛卡尔和莱布尼兹等数学家逐步引进和完善了代数的符号体系。 符号在小学数学中的应用如下表。知识领域知识点具体应用应用拓展数 与 代数数的表示阿拉伯数字:09中文数字:、+百分号:%负号:用数轴表示数数的运算+、()、a2(平方)、b3(立方)大括号:数的大小关系= 、运算定律加法交换律:a+b=b+a加法结合律:a+b+c=a+(b+c)乘法交换律:ab=ba乘法结合律:(ab)c=a(bc)乘法分配律:a(b+c)=ab+aca(b-c)=ab-ac方程ax+b=c数量关系时间、速度和路程:S=v
7、t数量、单价和总价:a=np正比例关系:yx=k反比例关系:xy=k用表格表示数量间的关系用图象表示数量间的关系空间 与 图形用字母表示计量单位长度单位:km、m、dm、cm、mm面积单位:km2、m2、dm2、cm2、mm2、hm2(公顷)体积单位:m3、dm3、cm3容积单位:L(升)、mL(毫升)质量单位:t、kg、g用符号表示图形用字母表示点:三角形ABC用符号表示角:1、2、3、4ABC线段AB射线c、直线l两线段平行:ABCD两线段垂直:ABCDABCD用字母表示公式三角形面积:S=12ab平行四边形面积:S=ah梯形面积:S=12(a+b)h圆周长:C=2r圆面积:S=r2长方体
8、体积:V=abc 正方体积:V=a3 圆柱体积:V=sh圆锥体积:V=13sh统计与概率统计图与统计表用统计图表述和分析各种信息可能性用分数表示可能性的大小4、符号化思想的数学。 符号化思想作为数学基本的、广泛应用的思想之一,教师和学生无时无刻不在与它们打交道。教师在教学中应把握好以下几点。(1)在思想上引起重视。数学课程标准把培养学生的符号意识作为必学的内容,并提出了具体要求,足以证明它的重要性。因此,教师在日常教学中应给予足够的重视。 (2)把培养符号意识落实到课堂教学目标中。教师在每堂课的教学设计中,要明确符号的具体应用,并纳入教学目标中。创设合适的情境,引导学生在探索中归纳和理解教学符
9、号化的模型,并进行解释和应用。 (3) 引导学生认识符号的特点。数学符号是人们在研究现实世界的数量关系和空间形式的过程中产生的,它来源于生活,但并不是生活中真实的物质存在,而是一种抽象概括。如数字1,它可以表示现实生活中任何数量是一个的物体的个数,是一种高度的抽象概括,具有一定的抽象性。一个数学符号一旦产生并被广泛应用,它就具有明确的含义,就能进行精确地数学运算和推理证明,因而它具有精确性。数学能够帮助人们完成大量的运算和推理证明,但如果没有简捷的思想和符号的参与,它的工作量及难度也是很大的,让人望而生畏。一旦简捷的符号参与了运算和推理证明,数学的简捷性就体现出来了。如欧洲人12世纪以前基本上
10、有罗马数字进行计数和运算,由于这种计数法不是十进制的。大数的四则运算非常复杂,严重阻碍了数学的发展和普及。直到12世纪印度数字及十进制计数法传入欧洲,才使得算术有了较快发展和普及。数学符号的发展也经历了从各自独立到逐步规范、统一和国际化的过程,最明显的就是早期的数字符号从各自独立的埃及数字、巴比伦数字、中国数字、印度数字和罗马数字到统一的阿拉伯数字。数学符号经历了从发明到应用再到统一的逐步完善的过程,并促进了数学的发展;反之,数学的发展也促进了符号的发展。因而,数学和符号是相互促进发展的,而且这种发展可能是一个漫长的过程。(4)符号意识的培养是一个长期的过程。符号意识的培养应用贯穿于数学学习的
11、整个过程中,学生首先要理解和掌握数学符号的内涵和思想,并通过一定的训练,才能利用符号进行比较熟练地运算、推理和解决问题。小学数学思想方法的梳理(二)王永春(课程教材研究所)二、化归思想1、化归思想的概念。人们面对数学问题,如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时,往往需要解决的问题不断转化形式,把它归结为能够解决或比较容易解决的问题,最终使原问题得到解决,这种思想方法称为化归(转化)思想。从小学到中学,数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程;然而,人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中,却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识,从而逐步学会解决各种复杂的数学问题
12、。因此,化归既是一般化的数学思想方法,具有普遍的意义;同时,化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一,具有重要的意义和作用。2、化归所遵循的原则。化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上,把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规划为常规,从而解决各种问题。因此,应用化归思想时要遵循以下几个基本原则:(1)数学化原则,即把生活中的问题转化为数学问题,建立数学模型,从而应用数学知识找到解决问题的方法。数学来源于生活,应用于生活。学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题,课程标准特别强调的目标之一就是培养实践能力。因此,数学化原则是一
13、般化的普遍的原则之一。(2)熟悉化原则,即把陌生的问题转化为熟悉的问题。人们学习数学的过程,就是一个不断面对新知识的过程;解决疑难问题的过程,也是一个面对陌生问题的过程。从某种程度上说,这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程,又是一个创新的过程;与课程标准提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。因此,学会把陌生的问题转化为熟悉的问题,是一个比较重要的原则。(3)简单化原则,即把复杂的问题转化为简单的问题。对解决问题者而言,复杂的问题未必都不会解决,但解决的过程可能比较复杂。因此,把复杂的问题转化为简单的问题,寻求一些技巧和捷径,也不失为一种上策。(4)直观化原则,即把抽象的问题转化为具体的
14、问题。苏雪的特点之一便是它具有抽象性。有些抽象的问题,直接分析解决难度较大,需要把它转化为具体的问题,或者借助直观手段,比较容易分析解决。因而,直观化是中小学生经常应用的方法,也是重要的原则之一。3、化归思想的具体应用。学生面对的各种数学问题,可以简单的分为两类:一类是直接应用已有知识便可顺利解答的问题;另一种陌生的知识或者不能直接应用已有知识解答的问题,需要综合地应用已有知识或创造性地解决问题。如知道一个长方形的长和宽,求它的面积,只要知道长方形公式的人,都可以计算出来,这是第一类问题;如果不知道平行四边形的面积公式,通过割补平移变换把平行四边形转化为长方形,推导出它的面积公式,再计算面积,
15、这是第二类问题。对于广大中小学生来说,他们在学习数学的过程中所遇到的很多问题都可以归为第二类问题,并且要不断地把第二种问题转化为第一类问题。解决问题的过程,从某种意义上来说就是不断地转化求解的过程,因此,化归思想应用非常广泛。化归思想在小学数学中应用如下表。知识领域知识点应用举例数 与 代 数数的意义整数的意义,用实物操作和直观图帮助理解小数的意义:用直观图帮助理解分数的意义:用直观图帮助理解负数的意义:用数轴等直观图帮助理解四则运算的意义乘法的意义:若干个相同的数相加的一种简便算法除法的意义:乘法的逆运算四则运算的法则整数加减法:用实物操作和直观图帮助理解算法小数加减法:小数点对齐,然后按照
16、整数的方法进行计算小数乘法:先按照整数乘法的方法进行计算,再点小数点小数除法:把除数转化为整数,基本按照整数的方法进行计算,需要注意被除数小数点与商的小数点对齐。分数加减法:异分母加减法转化为同分母加减法分数除法:转化为分数乘法四则运算各部间的关系a+b=c c-a=bab=c a=cb简便计算利用运算定律进行简便计算方程解方程:解方程的过程,实际就是不断把方程转化为未知数前边的系数是1的过程(x=a)解决问题的策略化繁为简:植树问题、鸡兔同笼问题等化抽象为直观:用线段图、图表、图像等直观表示数量之间的关系,帮助理解。化实际问题为数学问题化一般问题为特殊问题化未知问题为已知问题空 间 与 图
17、形三角形内角和通过操作把三个内角转化为平角多边形的内角和转化成三角形求内角和面积公式正方形的面积:转化为长方形求面积平行四边形求面积:转化成长方形求面积三角形的面积:转化为平行四边形求面积梯形的面积:转化为平行四边形求面积圆的面积:转化为长方形求面积组合图形面积:转化为求基本图形的面积体积公式正方体的体积:转化为长方体求体积圆柱的体积:转化为长方体求体积圆锥的体积:转化为圆柱求体积统计与概率统计图和统计表运用不同的统计图表述各种数据可能性运用不同的方式表示可能性的大小4、解决问题中的化归策略。(1)化抽象问题为直观问题。数学的特点之一是它具有很强的抽象性,这是每个乡学好数学的人必须面对的问题。
18、从小学到初中,再到高中,数学问题的抽象性不断加强,学生的抽象思维能力在不断接受挑战。如果能把比较抽象的问题转化为操作或直观的问题,那么不但使得问题日益解决,经过不断地抽象直观抽象的训练,学生的抽象思维能力也会逐步提高。下面举例说明。案例1:=分析:此问题通过观察,可以发现一个规律:没一项都是它前面一项的。但是对于小学和初中的学生来说,还没有学习等比数列求和公式。如果把一条线段看作1,先取它的一半表示,再取余下的一半表示,这样不断地取下去,最终相当于取了整条线段。因此,上式的结果等于1,这样利用直观手段解决了高中生才能解决的问题。(2)化繁为简的策略。有些数学问题比较复杂,直接解答过程比较繁琐,
19、如果在结果和数量关系相似的情况下,从更加简单的问题入手,找到解决问题的方法或建立模型,并进行适当检验,如果能够证明这种方法或模型是正确的,那么该问题一半来说便得到解决。下面举例加以说明。案例2:把186拆分成两个自然数的和,证明拆分才能使拆分的两个自然数乘积最大?187呢?分析:此题中的数比较大,如果用枚举法一个一个地猜测验证,比较繁琐。如果从比较小的数开始枚举,利用不完全归纳法,看看能否找到解决方法。如从10开始,10可以分成1和9,2和8,3和7,4和6,5和5。他们的积分别是,。可以初步认为拆分成相等的两个数的乘积最大,如果不确定,还可以再举一个例子,如可以分成:和,和,和,和,和,和,
20、他们的积分别是,。由此可以推断:把拆分成和,和的乘积最大,乘积是。适当的加以检验,如和的乘积为,和的乘积是,都比小。因为是奇数,无法拆分成相等的两个数,只能拆分成相差的两个数,这时它们的乘积最大。不再举例验证。案例:你能快速口算85=,9595=,105105=吗?分析:仔细观察可以看出,此类题有些共同点,每个算式中的两个因数相等,并且个位数都是5,。如果不知道个位是5的相等的两个数的乘积的规律,直接快速口算是有难度的。那么此类题有什么技巧那?不妨从简单的是开始探索,如1515=225,2525=625.,3535=1225。通过这几个算式的因数与相应的积得特点,可以初步发现规律是:个位数是5
21、的相等的两个数相乘,积分为两部分:左边为因数中5以外的数字乘比它大1的数,右边为25(5乘5的积)。所以8585=7225,9595=9025,105105=11025,实际验证也是如此。很多学生面对一些数学问题,可能知道怎么解答,但是只要想起解答过程非常繁琐,就会产生退缩情绪,或者在繁琐的解答过程中出项失误,这是比较普遍的情况。因此,学会化繁为简的解答策略,对于解决繁难为您提的能力大有帮助。(3)化实际问题为特殊的数学问题。数学来源于生活,应用于生活。与小学有关的生活中的实际问题,多数可以用常规的小学知识解决;但有些生活中的实际问题表面上看是一些常用的数量,似乎能用常规的数学模型解决问题。但
22、真正深入分析数量关系时,可能由于条件比全面而无法建立模型。这时,就需要超越常规思维模式,从另外的角度进行分析,找到解决问题的方法。下面举例说明。案例4:某旅行团队翻越一座山。上午9时上山,每小时行 3千米,到达山顶时,休息1小时。下山时,每小时行4千米,下午4时到达山底。全程共行了20千米。上山和下山的路程各是多少千米?分析:由于只知道上山和下山的速度,不知道上山和下山的具体时间,因此无法直接求出上山和下山的路程,但是知道总路程。仔细观察可以发现:题中给出了两个未知数量的总和以及与这两个数量有关的一些特定的数量,如果用假设的方法,那么就类似于鸡兔同笼问题。假设都是上山,那么总路程是18(63)
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