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刚体平衡刚体平衡-静力学静力学第三章 刚体平衡3-1 力的基本知识一、力的概念：物体相互间的一种机械作用，使物体的机械运动状态发生改变，同时还能使物体产生变形。1.力的三要素：大小、方向、作用点 表示表示 矢量：大小、方向、作用点。印刷体为黑体、大写 F，P，N 手写体为 标量：只表示大小。普通体、大写 FF O2.刚体 形状和大小都不发生改变的物体3.平衡 相对于惯性参考系处于静止或作匀速直线运动的状态二静力学公理二静力学公理1二力平衡公理：刚体上作用二力平衡该二力等值、反向、共线（沿二力作用点的连线）FAFB2加减平衡力系公理：在一力系上加上或减去一平衡力系，与原力系等效。推论：力的可传性：作用在刚体上的力可沿其作用线移到刚体上的任意一点，而不改变它对刚体的效应。FAFAF2RF2F13力的平等四边形法则：作用于物体同一点的两个力可以合成为作用于该点的一个合力，合力的大小与方向，由以这两力为边的平等四边形的对角线确定。F2力三角形F1RF1R4作用力、反作用力公理：两物体间的相互作用力，等值、反向、共线，作用在不同物体上。NN三受力分析和受力图三受力分析和受力图1约束和约束反力自由体：能在空间自由运动的物体非自由体：物体的运动在某些方向受到限制约束：阻碍对象运动的物体约束反力：约束对对象的反作用力，简称反力2常见的约束类型及反力形式1)柔索2)光滑接触面3)光滑铰链vVYX4）链杆 NN5)可动铰支座R6)固定铰支座YX7）固定（端）支座XYmYm约束类型大小方向作用点作用线指向柔索未知沿柔索背离物体接触点光滑接触面未知沿接触面公共法线指向物体接触点光滑铰链未知分解为X、Y方向任意假设接触点链杆未知沿链杆任意假设接触点固定铰支座未知分解为X、Y方向任意假设接触点可动铰支座未知沿链杆任意假设接触点固定支座未知X、Y向的力及力偶任意假设接触点TNXYNXYRX3受力图1）确定研究对象，画隔离体图（以整体为对象不画）2）主动力照抄3）画出去掉约束的反力主动力主动力：能事先独立确定，使物体产生运动趋势的力。约束力约束力：不能事先独立确定（受其他力影响），阻碍物体运动的力。TTGABGABTANBGABGGABNBNAP33 习题3-（a）wwABNBTAP33 习题3-（b）ACBWP33 习题3-（c）OPOYOXOPTP33 习题3-2（a）XAPABPABYARBP33 习题3-2（b）XAABYARCABCFqqF物体系受力图1ABCq作AC、BC、整体的受力图对ACACqXAYAXCYC对BCqBCXBYBXCYCYA对整体ABCqXBYBXA物体系受力图2ABCq作杆B C、AC、AB受力图CABCqBqXCYCRB对BC对ACABCqACqXAYAmAXCYC对整体ABCqRBXAYAmA物体系受力图3ABCq作AC、BC、整体的受力图对ACABCqACqXAYAXCYC对BCABCqqACXBYBXCYC对整体ABCqXAYAXBYB二力杆（体）：一杆（物体）受二力作用，该二力等值、反向、共线。典型二力杆：一杆，杆间不受力，杆端为铰链ABNABNABABABABABNABNABNABNABDACBW二力杆受力图1作AB杆受力图DACBW作AB杆受力图ACBXBYBNCNAD二力杆受力图2作AB杆受力图ACBDWACB作AB杆受力图ACBDWXBYBNCDNB物体系的受力图注意：1.力的表述应前后一致（名字、符号）2.两物体接触处，有作用力与反作用力关系。3.正确画出二力杆的受力作业：作业：P33 习题3-3（a）、（b）、（c）DP33 习题3-3（b）对整体XAABYARBFFABCFCNDYCXCDP33 习题3-3（b）对ABXAABYARBFABCCFDP33 习题3-3（b）对CDAFABCCNDYCXCNAEDP33 习题3-3（c）对AEF2ABCF1EAENAE对DEDF2ABCF1ENAEAENAEDF1EXDYDNAE对DEDF2ABCF1ENAEAENAEABCXAYARBNAEF2对整体DF2ABCF1EXDYDRBXAYAXDAYACADBFFCDFCD对对CDCD对对ABABDFFCDXDAYA对整体对整体FCD3-2 平面汇交力系和平面力偶系一.平面汇交力系力系中所有力的作用线都汇交于一点OabF力在轴上的投影X=ab=F cosABF=10kN30 xyFxyF30 xyFF=10kNxyFX=Fsin30 =5kNY=Fcos30 =8.66kNX=F =10kNY=0合力投影定理合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和RX=XRY=Y平面汇交力系的合成F1F2F3R1R汇交力系平衡条件合力 =0 =0 平面汇交力系平衡方程两个方程可解两个未知数 X=0 力系中每一个力在力系中每一个力在x轴上投影的代数和轴上投影的代数和=0 Y=0 力系中每一个力在力系中每一个力在y轴上投影的代数和轴上投影的代数和=0 RX2+RY2(X)2+(Y)2平面汇交力系解题步骤一画受力图二列平衡方程三解方程平面汇交力系例题30ABP=5KNC求杆AB和BC所受的力30ABPC受力图：受力图：以以B点点(汇交点汇交点)为对为对象象NABNBC30BP列平衡方程列平衡方程NBC30BPNAB X=NBC NABCOS30=0 Y=NABsin30 P=0解得 NAB=10KN，NBC=8.66KN30T=PFBC303030ABP=20KNCDBPFAB X=FAB FBC cos30+T sin30=0 Y=FBCsin30 Tcos30 P=0解得 FAB=56.64KN，FBC=74.64KN二.力对点的矩力对点的矩:度量力使物体绕一点转动的物理量 mo(F)=FdO:转动中心（矩心）；F：力的大小d:矩心到力作用线或延长线的垂直距离（力臂）量纲：力长度；单位：N m，kN m绕矩心逆时针转动的力矩为正，反之为负。FOdFdO合力矩定理合力对任一点的力矩，等于各分力对同一点的力矩的代数和m0(F)=m0(Fx)+m0(Fy)a4aAFmA(F)=mA(Fx)+mA(Fy)=Fcos a+Fsin 4a三.力偶和力偶矩力偶：等值、反向、作用线平行但不重合的一对力。使物体产生纯转动的效应dd:力偶臂力偶矩：力偶转动效应的度量dm=Fd逆时针转动的力矩为正，反之为负。力偶的表示形式若两个力偶的力偶矩相等，则这两个力偶等效，可互相替换。dFFdFFdFFFd=Fd力偶对任一点的力矩 力偶对任一点的力矩等于力偶矩本身，力偶对任一点的力矩等于力偶矩本身，与矩心无关与矩心无关。doOxF2=FF1=Fm0(F1、F2)=F1(X+d)-F2*X =F(X+d)-F*X =Fd=m力偶在轴上的投影 X=F1cos F2cos =Fcos Fcos=0力偶在任一轴上的投影力偶在任一轴上的投影0F1=FF2=Fx力偶系合成力偶系合成为一个合力偶，合力偶的大小等于各分力偶的代数和m=m作业P33 34 3-4-3-71)求梁上每一个主动力在y轴上投影代数和 X 2)求梁上每一个主动力对A点力矩的代数和 mA(F)M3-56mABp=2kNM=1.5kNmmA(F)=M psin45 6=1.520.7076=9.9 8kNmmB(F)=M=1.5 kNm45P求下列杆中各力对A点力矩的代数和mA（F）与对B点力矩的代数和mB（F）BAP13KNP24KNm5KNm1m1mmA(F)=m P2 2=5 4 2=3KN mmB(F)=P1 2+m=3 2+5=11 KN m第第1题题第第2题题Am1Pam22PaPPa3aaBmA(F)=m1 Pa 4Pa m2 =Pa Pa 4Pa 2Pa=6PamB(F)=m1+4Pa+Pa m2 =Pa+4Pa+Pa 2Pa=4Pa力的分类按作用范围一、体积力：体积内每一点都受力 N/m3二、面积力：面积上每一点都受力 N/m2三、线分布：N/m 1、均布力：2、三角形分布：3、任意分布：qq0q(x)分布力的合力与力矩1、均布力：合力大小=荷载集度作用长度 合力方向：与分布力方向同 合力作用点：分布长度的中点 （矩形面积形心）2、三角形分布：合力大小=(荷载集度作用长度)合力方向：与分布力方向同 合力作用点：三角形面积形心L/2L/2qLLq0 投影投影 力矩力矩 集中力 F X=F cos mo(F)=Fd 分布力 q 合力的投影 合力的力矩力偶 m 0 力偶矩本身 力与轴平行，投影=力本身 力与轴垂直，投影=0 力通过矩心，力矩=0练习练习12aaqM=qa2ABmA(F)=q2aa M=2qa2 qa2=4qa2mB(F)=q 2a（a+a)M=4qa2 qa2=3qa2练习练习2ABqF=qaF=qaa4amA(F)=Fa q4a3a+F5a=qa2 12qa2+5 qa2=6qa2mB(F)=4Fa+q 4a2a=4qa2+8qa2=4qa23-3 平面一般力系一.力向一点平移力的平移定理：刚体上的力由原来点平移到任意一点，要附加一力偶，附加力偶的矩等于原来力对新点之矩。ABdF=M=mB(F)BAFMABdFFF=ABdFFF=BAFMM=mB(F)平面一般力系向一点的简化F2F3O2O1O3F1F1Om1=mo(F1)F2m2=mo(F2)F3m3=mo(F3)F1Om1=mo(F1)F2F3m2=mo(F2)m3=mo(F3)F1OF2F3m3m2m1RMO=mo(F)ORMOR：主矢量MO：主矩R=(X)2+(Y)2MO=mo(F)平面一般力系简化结果平面一般力系的平衡条件平面一般力系的平衡条件R=(X)2+(Y)2=0MO=mo(F)=0 X=0 力系中每一个力在力系中每一个力在x轴上投影的代数和轴上投影的代数和=0 Y=0 力系中每一个力在力系中每一个力在y轴上投影的代数和轴上投影的代数和=0 mo(F)=0力系中每一个力对力系中每一个力对o 点力矩的代数和点力矩的代数和=0 O点为任意点点为任意点平面一般力系平衡方程，三个方程可解三个未知数平面一般力系平衡方程，三个方程可解三个未知数练习1求图示悬臂梁的支座反力PABL30PBL30XAYAmA X=XA+Pcos30=0 XA=-0.866P,YA=0.5P,mA=-0.5PL Y=YA-Psin30=0 mA(F)=mA+Psin30L=0 练习2求图示悬臂梁的支座反力P=qLABLqP=qLALqXBYBmB X=XB=0 Y=YB PqL=0XB=0,YB=2qL,mB=/qL2 mB(F)=PL+qLL/2P+mB=0练习3求图示简支梁的支座反力m1=qL2m2=2qL2AB4Lqm1=4qL2m2=8qL2AB4LXAYARBX=XA=0qY=YA qL+RB=0mA(F)=m1 4qL2L+RB4L m2=0XA=0,YA=qL,RB=3 qL平衡方程的其他形式平衡方程的其他形式 X=0 Y=0 平衡方程的基本形式平衡方程的基本形式 mo(F)=0 X=0 mA(F)=0 二力矩式方程二力矩式方程 mB(F)=0 mA(F)=0 mB(F)=0 三力矩式方程力矩式方程 mB(F)=0 AB连线不垂直投影轴连线不垂直投影轴ABC不共线不共线证明证明ORxABmA=0mB=0X=0练习4求图示外伸梁的支座反力ABCqa5aABCqa5aYcXcRBX=Xc=0mB(F)=6qa2a Yc5a =0mC(F)=6qa3a RB5a=0Xc=0,RB=18/5qa,YC=12/5qaABCm=2KNmq=3kN/m4m2mRBYAmA(F)=m+4RC-2q1=0 RC=-1kN练习4mC(F)=m-4YA-2q1=0 YA=7kN物体系平衡概述物体系平衡概述ABCABCABCDE一、组合结构一、组合结构组合结构的组成中有些是稳定部分，称基本结构；组合结构的组成中有些是稳定部分，称基本结构；有些是不稳定部分，称附属结构。有些是不稳定部分，称附属结构。ABCABCB解题步骤解题步骤ABCBABCXAYAmARCXAYAmAYBXBYBXBRC步骤：一步骤：一.以附属部分为对象以附属部分为对象 二二.以整体（或基本部分）为对象以整体（或基本部分）为对象YAXAmA例1CF=20kNAB2m1m1m求支座反力1.取CBCF=20kNBYCXCRBmA(F)=mA+F3RB4 =0RB=10kN2.取整体取整体RBX=XA=0XA=0Y=YA F+RB=0YA=10kNmA=20kN mmC(F)=F1RB2 =0例2Cq=3kN/mAB2m1m1m求支座反力1.取CBCBYCXCRBmA(F)=RC1q42+RB4 =0RB=3kN2.取整体取整体X=XA=0XA=0Y=YA q4+RC+RB=0YA=3kNRC=12kNmC(F)=q2 1 RB2=0YAXARBRC二、三铰结构二、三铰结构ABCq取整体取整体YAXAYBXB取取ACACqYAXAYCXC取取BCBCqYBXBYCXC例1求支座反力求支座反力ABCqYAXAYBXB1.取整体取整体X=XA XB=0 XA=XB mA(F)=4qa2a YB4a =0mB(F)=4qa2a YA4a=02a2aYA=2qa YB=2qa XA=XB4a解题步骤解题步骤步骤：一步骤：一.以两铰位于同一轴那部分为对象以两铰位于同一轴那部分为对象 二二.以其他部分为对象以其他部分为对象2.取取ACACqYAXAYCXCmC(F)=2qaa+XA 4a YA2a =02a4aXA=qa/2=XB 例2求支座反力求支座反力1.取CBYB=qamC(F)=F2aYB4a=0AqCBF=2qa2a2a2aCBFYCXCYBXB2.取整体取整体X=XAXB+2qa=0，XA=-qaY=YA F+YB=0，YA=qaYAXAYBXBmA(F)=q 2aa+F2a XB2aYB4a=0XB=qa例3求支座反力求支座反力YAXAYBXB1.取整体取整体mA(F)=4qa2a YB4aXBa=0ABCq2a2a4aa2.取取BCBCqYBXBYCXCmC(F)=2qaa YB2aXB3a=0三、一般结构三、一般结构解题步骤：解题步骤：1.试以整体为对象试以整体为对象2.以部分为对象以部分为对象选取对象原则：选取对象原则：1.对象上有已知力（必须）对象上有已知力（必须）2.未知力不超过未知力不超过3个（最好）个（最好）3.有需求的未知力（最好）有需求的未知力（最好）例1解：解：1.整体，受力如图整体，受力如图例例已知已知:Q=5000N，杆重不计。求，杆重不计。求SDE，SFG和和C点的约束力。点的约束力。2.AB例2例例已知：连续梁上，已知：连续梁上，P=10kN,Q=50kN,CE 铅垂铅垂,不计梁重不计梁重求：求：A,B和和D点的约束力。点的约束力。不能先整体求出，要拆开）不能先整体求出，要拆开）解：解：研究起重机研究起重机再研究整体再研究整体再研究梁再研究梁CD例3再研究整体：由再研究整体：由已知：已知：AB=2a,重为重为P，BC重为重为Q，ABC=求：求：A、C两点的约束力。两点的约束力。解：先研究解：先研究BC，受力如图，受力如图5摩擦摩擦前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下都存在有摩擦。一般情况下都存在有摩擦。例例平衡必计摩擦平衡必计摩擦按接触面的运动情况看摩擦分为：按接触面的运动情况看摩擦分为：滑动摩擦，滚动摩擦滑动摩擦，滚动摩擦1、定义：两接触物体，产生相对滑动（、定义：两接触物体，产生相对滑动（或趋势或趋势）时，其接）时，其接触面产生阻止物体相对运动的力叫滑动摩擦力。触面产生阻止物体相对运动的力叫滑动摩擦力。（就是接触面对物体作用的切向约束力）就是接触面对物体作用的切向约束力）一、静滑动摩擦力一、静滑动摩擦力所以增大摩擦力的途径为：所以增大摩擦力的途径为：加大正压力加大正压力N,加大摩擦因数加大摩擦因数fs（f s静滑动摩擦因数静滑动摩擦因数）临界：（将滑未滑）临界：（将滑未滑）（f 动摩擦因数动摩擦因数）滑动：滑动：2、状态：、状态：静止：静止：F=P；F 随随P 的增加而增加的增加而增加4-1 4-1 滑动摩擦滑动摩擦3、特征：特征：大小：大小：（平衡范围）满足（平衡范围）满足静摩擦力特征静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反：方向：与物体相对滑动趋势方向相反定律：定律：（f s只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关。）只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关。）二、动滑动摩擦力二、动滑动摩擦力（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）大小：大小：（无平衡范围）（无平衡范围）动摩擦力特征：方向：与物体运动方向相反动摩擦力特征：方向：与物体运动方向相反定律：定律：（f 只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关。）只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关。）例题例例已知：已知：=30，G=100N，f=0.2求：求：物体静止时，物体静止时，水平力水平力Q的平衡范围。的平衡范围。当水平力当水平力Q=60N时，物体能否平衡？时，物体能否平衡？例例已知：已知：=30，G=100N，f=0.2求：求：物体静止时，物体静止时，水平力水平力Q的平衡范围。的平衡范围。当水平力当水平力Q=60N时，物体能否平衡？时，物体能否平衡？解：解：先求使物体不致于上滑的先求使物体不致于上滑的图图(1)补充方程补充方程Fmax=f N=88N同理：可求使物体不致下滑的同理：可求使物体不致下滑的Qmin图图(2)平衡范围应是平衡范围应是解得：tg1tgsincoscossinmin-+=-+=ffGGffQ=34N当水平力当水平力Q=60N时，时，物体能平衡。物体能平衡。练习 简简易易升升降降混混凝凝土土吊吊筒筒装装置置如如图图所所示示。混混凝凝土土和和吊吊筒筒共共重重26KN，吊吊筒筒和和滑滑道道间间的的摩摩擦擦系系数数为为0.3,试试求求出出重物匀速上升时绳子的张力重物匀速上升时绳子的张力T。F70解解xywNTFX=T Wsin70 F=0 Y=N Wcos70=0 Fmax=fN T=26kN