概率论与数理统计题库及答案.doc

______________________________________________________________________________________________________________
概率论与数理统计题库及答案
一、单选题
1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．
(A) (B)
(C) (D)

2. 下列数组中，（　 ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．
(A) (B)
(C) (D)

3. 设连续型随机变量X的密度函数

则下列等式成立的是（　 ）．
(A) ≥ (B)
(C) (D)

4. 若与分别为连续型随机变量的密度函数与分布函数，则等式（ ）成立．
(A) ≤ (B) ≤
(C) ≤ (D) ≤

5. 设和分别是随机变量的分布密度函数和分布函数，则对任意，有≤（　 ）．
(A) (B)
(C) (D)

6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ 　）．

7. 设，则（ ）．
(A) 0.1 (B) 0.4
(C) 0.3 (D) 0.2

8. 设，Φ是的分布函数，则下列式子不成立的是（ 　）．
(A) Φ (B) ΦΦ
(C) ΦΦ (D) Φ

9. 下列数组中，不能作为随机变量分布列的是（　　）．
（A） (B)
(C) (D)

10. 若随机变量，则（ ）．
(A) (B)
(C) (D)

11. 随机变量X服从二项分布，则有（ ）．
(A) n (B) p
(C) 1- p (D)

12. 如果随机变量，则分别为（　 ）．
(A) (B)
(C) (D)

13. 设，，则分别是（　）．
(A) (B)
(C) (D)

14. 设，且，则（ 　）．
(A) 30 (B) 20
(C) 15 (D) 10

15. 设，则随机变量（　 ）~.
(A) (B)
(C) (D)

16. 对于随机事件，下列运算公式（　）成立．
(A) (B)
(C) (D)

17. 下列事件运算关系正确的是（ ）．
(A) (B)
(C) (D)

18. 设A，B为两个任意事件，那么与事件相等的事件是（ ）．
(A) (B)
(C) (D)

19. 设为随机事件，与不同时发生用事件的运算表示为（ 　）．
(A) (B)
(C) (D)

20. 若随机事件,满足，则结论（ ）成立．
(A) 与是对立事件 (B) 与相互独立
(C) 与互不相容 (D) 与互不相容

21. 甲、乙二人射击，分别表示甲、乙射中目标，则表示（　 ）的事件．
(A) 二人都没射中 (B) 至少有一人没射中
(C) 两人都射中 (D) 至少有一人射中

22. 若事件的概率为，，则与一定（ ）．
(A) 相互对立 (B) 相互独立
(C) 互不相容 (D) 相容

23. 设A，B为两个任意事件，则P(A+B) =（ ）．
(A) P(A) + P(B) (B) P(A) + P(B) - P(A)P(B)
(C) P(A) + P(B) - P(AB) (D) P(AB) – [P(A) + P(B) ]

24. 对任意两个任意事件，等式（　 ）成立．
(A) (B)
(C) (D)

25. 设A，B是两个任意事件，则下列等式中（ ）是不正确的．
(A) ，其中A，B相互独立
(B) ，其中
(C) ，其中A，B互不相容
(D) ，其中

26. 若事件与互斥，则下列等式中正确的是（　　）．
(A) (B)
(C) (D)

27. 设，为两个任意事件，则下列等式成立的是（ 　）.
(A) (B)
(C) (D)

28. 设为随机事件，下列等式成立的是（ 　）．
(A) (B)
(C) (D)

29. 甲、乙两人各自考上大学的概率分别为0.7，0.8，则甲、乙两人同时考上大学的概率为（ ）.
(A) 0.56 (B) 0.50
(C) 0.75 (D) 0.94

30. 若满足（　 ），则与是对立事件．
(A) (B)
(C) (D)

31. 若与相互独立，则等式（ 　）成立．
(A) (B)
(C) (D)

32. 设是正态总体（已知）的一个样本，按给定的显著性水平检验：（已知）；：时，判断是否接受与（ ）有关.
(A) 样本值，显著水平 (B) 样本值，样本容量
(C) 样本容量，显著水平 (D) 样本值，样本容量，显著水平

33. 假设检验时，若增大样本容量，则犯两类错误的概率（ ）．
(A) 有可能都增大 (B) 有可能都减小
(C) 有可能都不变 (D) 一定一个增大，一个减小

34. 从正态总体中随机抽取容量为n的样本，检验假设：：．若用t检验法，选用统计量t，则在显著性水平下的拒绝域为（ ）．
(A) (B) ≥
(C) (D)

35. 在对单正态总体的假设检验问题中，检验法解决的问题是（ ）．
(A) 已知方差，检验均值 (B) 未知方差，检验均值
(C) 已知均值，检验方差 (D) 未知均值，检验方差

36. 对正态总体的假设检验问题中，检验解决的问题是（ 　）．
(A) 已知方差，检验均值 (B) 未知方差，检验均值
(C) 已知均值，检验方差 (D) 未知均值，检验方差

37. 设是正态总体的一个样本，是已知参数，是未知参数，记，函数表示标准正态分布的分布函数，，，则的置信水平为0.95的置信区间为（ ）.
(A) （－0.975，+0.975） (B) （－1.96，+1.96）
(C) （－1.28，+1.28） (D) （－0.90，+0.90）

38. 设是来自正态总体的样本，则的无偏估计是（ ）．
(A) (B)
(C) (D)

39. 设是来自正态总体的样本，则（ ）是无偏估计．
(A) (B)
(C) (D)

40. 设是取自正态总体的容量为2的样本，其中为未知参数，以下关于的估计中，只有（ ）才是的无偏估计.
(A) (B)
(C) (D)

41. 设总体X的均值与方差都存在，且均为未知参数，而是该总体的一个样本，记，则总体方差的矩估计为（ ）.
(A) (B)
(C) (D)

42. 设是来自正态总体均未知）的样本，则（ ）是统计量．
(A) (B)
(C) (D)

43. 对来自正态总体（未知）的一个样本，，则下列各式中（ 　）不是统计量．
（A） (B)
(C) (D)

44. 设X是连续型随机变量，其密度函数为

则常数b =（ 　）.
(A) e (B) e + 1
(C) e – 1 (D) e 2

45. 随机变量，则≤（　 ）．
(A) 0 (B)
(C) (D)

46. 设，已知≤≤，则≤（　 ）.
(A) 0.4 (B) 0.3
(C) 0.2 (D) 0.1

47. 已知，若，那么（ 　）．
(A) (B)
(C) (D)

48. 设随机变量的密度函数为，则（ 　）．
(A) (B)
(C) (D)

49. 若随机变量的期望和方差分别为和，则等式（ ）成立．
(A) (B)
(C) (D)

50. 设随机变量服从二项分布B(n, p)，已知E(X )=2.4, D(X )=1.44，则（ ）．
(A) n = 8, p =0.3 (B) n = 6, p =0.6
(C) n = 6, p =0.4 (D) n = 24, p =0.1

二、证明题
1. 试证：已知事件,的概率分别为P(A) = 0.3，P(B) = 0.6，P() = 0.1，则P(AB) = 0．

2. 试证：已知事件,相互独立，则．

3. 已知事件,,相互独立，试证与相互独立.

4. 设事件，的概率分别为，，试证：与是相容的.

5. 设随机事件,相互独立，试证：也相互独立．

6. 设,为随机事件，试证：．

7. 设随机事件,满足，试证：．

8. 设,为随机事件，试证：．

9. 设是随机事件，试证：．

10. 已知随机事件,满足，试证：．

三、计算题
1. 设是两个随机事件，已知， ，求.

2. 某种产品有80%是正品，用某种仪器检查时，正品被误定为次品的概率是3%，次品被误定为正品的概率是2%，设A表示一产品经检查被定为正品，B表示一产品确为正品，求P(A).

3. 某单位同时装有两种报警系统与，每种系统独立使用时，其有效概率，，在有效的条件下有效的概率为，求.

4. 设A, B是两个独立的随机事件，已知P(A) = 0.4，P(B) = 0.7，求A与B只有一个发生的概率.

5. 设事件，相互独立，已知，，求与只有一个发生的概率.

6. 假设为两事件，已知，求．

7. 设随机变量，求概率≤　(已知Φ，Φ)．

8. 设A, B是两个随机事件，已知P(A) = 0.6，P(B) = 0.8，P()=0.2，求.

9. 从大批发芽率为的种子中，任取4粒，问（1）4粒中恰有一粒发芽的概率是多少？（2）至少有1粒种子发芽的概率是多少？

10. 已知，求．

11. 已知，，，求.

12. 已知，，，求．

13. 已知P(B) = 0.6，=0.2，求．

14. 设随机变量X ~ N（3，4）．求 P（1< X < 7）(Φ，Φ)．

15. 设，求≤≤.已知Φ，.

16. 设是两个随机事件，已知，，，求．

17. 已知某批零件的加工由两道工序完成，第一道工序的次品率为0.03，第二道工序的次品率为0.01，两道工序的次品率彼此无关，求这批零件的合格率.

18. 已知袋中有3个白球7个黑球，从中有放回地抽取3次，每次取1个，试求⑴恰有2个白球的概率；⑵有白球的概率.

19. 268-16. 某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.8，该运动员投篮3次，⑴求投中篮框不少于2次的概率；⑵求至少投中篮框1次的概率．

20. 某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.9，该运动员投篮3次，⑴求投中篮框不少于2次的概率；⑵求至少投中篮框1次的概率．

21. 某气象站天气预报的准确率为70%，在4次预报中，求⑴恰有3次准确的概率；⑵至少1次准确的概率.

22. 已知某批产品的次品率为0.1，在这批产品中有放回地抽取4次，每次抽取一件，试求⑴有次品的概率；⑵恰有两件次品的概率.

23. 某射手射击一次命中靶心的概率是，该射手连续射击5次，求：
⑴命中靶心的概率； ⑵至少4次命中靶心的概率．

24. 设箱中有3个白球2个黑球，从中依次不放回地取出3球，求第3次才取到黑球的概率.

25. 一袋中有10个球，其中3个黑球7个白球．今从中有放回地抽取，每次取1个，共取5次．求⑴恰有2次取到黑球的概率；⑵至少有1次取到白球的概率.

26. 有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.85和0.75，在这两批种子中各随机取一粒，求至少有一粒发芽的概率.

27. 机械零件的加工由甲、乙两道工序完成，甲工序的次品率是0.01，乙工序的次品率是0.02，两道工序的生产彼此无关，求生产的产品是合格品的概率.

28. 一袋中有10个球，其中3个黑球7个白球．今从中依次无放回地抽取两个，求第2次抽取出的是黑球的概率.

29. 两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。已知第一台加工的零件是第二台加工的零件的3倍,求任意取出的零件是合格品的概率．

30. 两台机器加工同样的零件，第一台的次品率是2％，第二台的次品率是1％，加工出来的零件放在一起。已知第一台机器加工零件的数量是第二台机器加工零件的数量的3倍,求任意取出的零件是次品的概率．

31. 一批产品分别来自甲、乙、丙三个厂家，其中50%来自甲厂、30%来自乙厂、20%来自丙厂，已知这三个厂家的次品率分别为0.01，0.02和0.04。现从这批产品中任取一件，求取出的产品是合格品的概率.

32. 一个人的血型为型的概率分别是，现在任意挑选7个人，求以下事件的概率：（1）没有人是型的概率；（2）恰有一人为型的概率．

33. 袋中有10个球，其中三白七黑，有放回地依次抽取，每次取一个，共取4次求：⑴取到白球不少于3次的概率；⑵没有全部取到白球的概率．

34. 设，求≤≤.已知Φ，Φ.

35. 设随机变量X ~ N（8，4）．求 (Φ)．

36. 279-17. 设，试求⑴；⑵．
（已知Φ ΦΦ）

37. 设，试求⑴；⑵．（已知ΦΦΦ）

38. 设，试求⑴；⑵．（已知ΦΦΦ）

39. 设随机变量，求概率 ． (Φ，Φ)．

40. 设，试求⑴；⑵．
（已知ΦΦΦ）

41. 设，求和.（其中Φ
Φ,ΦΦ）

42. 设随机变量X ~ N（3，4）．求使P（X < a）=0.9成立的常数a ． (已知Φ)．

43. 设，试求⑴；⑵．（已知
ΦΦΦ）

44. 设随机变量，求概率≤ (已知Φ，Φ)．

45. 据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kg／cm2）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（）．

46. 设，求⑴；⑵≤．

47. 设随机变量，求概率 (Φ，Φ)．

48. 设，试求⑴；⑵
（已知Φ ΦΦ）．

49. 设随机变量，若，求k的值（已知Φ）．

50. 设随机变量X ~ N（3，4）．求使P（X < a）=0.9成立的常数a (已知Φ)．

51. 设随机变量，若，求k的值．（已知Φ）．

52. 设随机变量的密度函数为

试求：．

53. 设，求⑴；⑵≤．

54.

55. 设随机变量~，求．

56.

57.

58.

59. 设，试求．

60.

61. 设随机变量的概率密度函数为

求（1）；（2）.

62. 设连续型随机变量的密度函数为

试求⑴；⑵．

63. 盒中装有分别标数字的球，从中任取2个，用表示所取2球中最大的数字. 求的概率分布.

64. 在一次数学考试中，其分数服从均值为65，标准为10的正态分布，求分数在60~75的概率. (Φ，Φ)

65. 某类钢丝的抗拉强度服从均值为100 (kg/cm2)，标准差为5 (kg/cm2)的正态分布，求抗拉强度在90~110之间的概率．(Φ(1) = 0.841 3, Φ(2) = 0.977 2 )

66. 测量某物体的长度，其长度X (单位：cm)服从正态分布N (20, 100 )，求测量误差不超过10cm的概率．(Φ(1) = 0.841 3) （中等）（熟练掌握）

67. 某厂生产的螺栓长度（cm）服从正态分布，规定长度在内为一等品，求生产的螺栓是一等品的概率. 已知Φ.

68. 设，求（1）；（2）.（其中ΦΦ，ΦΦ）

69.

70. 已知某种零件重量，采用新技术后，取了9个样品，测得重量（单位：kg）的平均值为14.9，已知方差不变，问平均重量是否仍为15（）？

71. 某厂生产一批的钢筋，其长度，今从这批钢筋中随机地抽取了16根，测得长度（单位：m）的平均值为4.9，求钢筋长度的置信度为0.95的置信区间．

72. 某一批零件重量，随机抽取4个测得重量（单位：kg）为
14.7, 15.1, 14.8, 15.2
可否认为这批零件的平均重量为15kg(已知)？

73. 对某一距离进行4次独立测量，得到的数据为（单位：m）：
15.51, 15.47, 15.50, 15.52
由此计算出，已知测量无系统误差，求该距离的置信度为0.95的置信区间（测量值服从正态分布）．

74. 某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布．今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为15.1mm，若已知这批滚珠直径的方差为，试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间．

75.

76. 某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm，今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径的平均值为99.9mm，样本标准差S = 0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平，）

77. 对一种产品的某项技术指标进行测量，该指标服从正态分布，今从这种产品中随机地抽取了16件，测得该项技术指标的平均值为31.06，样本标准差为0.35，求该项技术指标置信度为0.95的置信区间（）．

78. 从正态总体N（，9）中抽取容量为100的样本，计算样本均值得= 21，求的置信度为95%的置信区间．(已知 )

79. 某厂生产一种型号的滚珠，其直径，今从这批滚珠中随机地抽取了16个，测得直径（单位：mm）的样本平均值为4.35，求滚珠直径的置信度为0.95的置信区间．

80. 已知总体的概率密度函数是

设是取自总体的样本，求的最大似然估计．

经济数学基础 1111 A卷答案
一、单选题
1.B2.C3.A4.C5.B6.A7.B8.C9.D10.D11.C12.A13.A14.C15.B16.D17.A18.A19.A20.C21.B22.D23.C24.D25.C26.D27.C28.D29.A30.B31.D32.D33.B34.C35.B36.A37.B38.B39.D40.D41.C42.A43.C44.A45.D46.D47.C48.B49.D50.C
二、证明题
1. 证： 因为P(A) + P(B) = 0.3 + 0.6 = 0.9，
P(A + B) = 1 - P() = 1 - 0.1= 0.9，
由加法公式得 P(AB) = P(A) + P(B) - P(A + B) = 0 ． 4分

2. 证：因为事件,相互独立，故,也相互独立 . 2分
所以 ==
=． 4分

3. 证：因为事件,,相互独立, 即,,
且
=
=
=，
所以与相互独立. 4分

4. 证：由概率性质和加法公式知
１≥
，即，
所以，由互不相容定义知，事件与是相容的. 4分

5. 证：
，
所以也相互独立． 4分

6. 证：由事件的关系可知
　　　　　，
而，故由概率的性质可知
　　　　　，
即
　　　　　． 4分

7. 证： 由可知，因此得，故
　　　　　，
又因为，故有
　　　　　． 4分

8. 证：由事件的关系可知
　　　　　，
而，故由概率的性质可知
　　　　　． 4分

9. 证：由事件的运算得 ，
且与互斥，由加法公式得 ，
又有　
且与互斥，由加法公式得 ，
综合而得．　　　　　 　　 4分

10. 证：已知，由事件的关系可知
　　　　　，
而，故由概率的性质可知
　　　　　，
即　　　　． 4分

三、计算题
1. 解： 因为 ， 2分
所以= 4分

． 8分

计算的最后结果数字： 0.2．

2. 解： 因为P(B) = 0.8，P() = 0.2，P(AçB) = 0.97，P(Aç) = 0.02，所以 2分
P(A) = P(AB) + P(A) 4分
= P(B)P(AçB) + P()P(Aç) 6分
= 0.8´0.97+0.2´0.02 = 0.78 ． 8分

计算的最后结果数字： 0.78．

3. 解： 因为 ， 4分
所以
． 8分
计算的最后结果数字： 0.977．

4. 解： 因为A与B只有一个发生的事件为，所以 2分
= 4分
= 6分
= 0.4´(1-0.7)+(1-0.4)´0.7 = 0.54． 8分

计算的最后结果数字： 0.54．

5. 解：因为与只有一个发生的事件为，所以 2分
= 4分
= 6分
=0.6(1-0.8)+ (1-0.6)0.8 = 0.44 ． 8分

计算的最后结果数字： 0.44．

6. 解： ， 3分
， 5分
． 8分

计算的最后结果数字： 0.7．

7. 解： ， ， 3分
≤=≤
=≤ =Φ-Φ 6分
=Φ-1+Φ = 0.841 3-1+0.998 7 = 0.84．

8. 解： = 0.4， 2分
= =0.4 0.2 = 0.08， 4分
=1-
= 1 - =1-= 0.9． 8分

计算的最后结果数字： 0.9．

9. 解： （1） C 3分
（2）≥
=0.998 4． 8分

计算的最后结果数字： 0.025 6， 0.998 4．

10. 解： ， 3分
， 5分
于是　 ． 8分

计算的最后结果数字： ．

11. 解： 因为， 2分
，即 4分
所以，
． 8分

计算的最后结果数字： ．

12. 解：因为 ， 2分
， 3分
所以，
　　． 8分

计算的最后结果数字： ．

13. 解：（1）因为， 2分
, 3分
　　所以
　　　　　 ． 　　　　8分

计算的最后结果数字： 0.4 ．

14. 解：（1）P（1< X < 7）= 4分
　　==ΦΦ 6分
　 = 0.977 2 + 0.841 3 – 1 = 0.818 5．

15. 解： 令，则，故 3分
≤≤=≤≤
=ΦΦ =ΦΦ 　6分
= 0.862 1 ．

16. 解： 2分
4分
6分
． 8分

计算的最后结果数字： 0.28．

17. 解： 设如下事件：
　　　　　：“第一道工序加工的零件是次品”
　　　　　：“第二道工序加工的零件是次品”
　　　　　：“零件是合格品” 3分
由事件的关系 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分
已知相互独立，由加法公式得

　　　　 　 　,　　　　　　　 6分
由对立事件的关系可知
　　　．　　　　　　　　　　 8分

计算的最后结果数字： 0.960 3．

18. 解： ⑴3次抽取中所含白球个数，设：“恰有2个白球”，则有
　　　． 　　　　　　　　 4分
　　⑵设：“有白球”，则有
　　　．　　　 　　　　　　　　8分

计算的最后结果数字： 0.189， 0.657．

19. 解： ⑴该篮球运动员投中篮框的次数，设：“投中篮框不少于2次”，则有

　　　　　　　 ． 4分
　　⑵设：“至少投中篮框1次”，则有

　　　　　　　 ． 8分

计算的最后结果数字： 0. 896， 0.992．

20. 解： ⑴该篮球运动员投中篮框的次数，设：“投中篮框不少于2次”，则有

　　　　　 ．　　　　　　　　　　　　 4分
　　⑵设：“至少投中篮框1次”，则有

　　　　 ．　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

计算的最后结果数字： 0.972， 0.999．

21. 解：⑴气象站天气预报的准确次数，设：“恰有3次准确”，则有

　　　　　　 .　　　　　　　　 　　　 4分
　　⑵设：“至少1次准确”，则有

　　　　　 ．　　　　　　　 　　　　　　　 8分

计算的最后结果数字： 0.411 6， 0.991 9．

22. 解：⑴抽取次品的件数，设：“有次品”，则有

　　　　　　　 ,　　　　　　　　　　　　　 4分
　　⑵设：“恰有两件次品”，则有

　　　　　　 ．　　　　　　　　　　　　　　　 8分

计算的最后结果数字： 0.343 9， 0.048 6．

23. 解：射手连续射击5次，命中靶心的次数．
　　⑴设：“命中靶心”，则