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带电粒子在“有界”磁场中运动问题分类解析
一、 求解带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动时，一般先根据题意画出运动的轨迹，确定圆心，从而根据几何关系求出半径或圆心角，然后利用半径公式、周期公式求解。
1、首先确定圆心：
一个基本思路：圆心一定在与速度方向垂直的直线上。
三个常用方法：
方法一：利用两个速度垂线的交点找圆心
由于向心力的方向与线速度方向互相垂直，洛伦兹力（向心力）沿半径指向圆心，知道两个速度的方向，画出粒子轨迹上两个对应的洛伦兹力，其延长线的交点即为圆心。
例1：如图1所示，一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P（，0）点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。
解析：分别由射入、射出点做两条与速度垂直的线段，其交点O即为粒子做圆运动的圆心，由图可以看出，轨道半径为
，洛仑兹力是向心力 ，由①②解得.
射出点的纵坐标为（r+rsin30°）=1.5r,因此射出点坐标为（0，）。
方法二：利用速度的垂线与弦的中垂线的交点找圆心
带电粒子在匀强磁场中做匀速运动时，如果已知轨迹上的两点的位置和其中一点的速度方向，可用联结这两点的弦的中垂线与一条半径的交点确定圆心的位置。
例2：电子自静止开始经M、N板间（两板间的电压为U）的电场加速后从A点垂直于磁场边界射入宽度为d的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置P偏离入射方向的距离为L，如图2所示，求：
（1）正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图；
（2）匀强磁场的磁感应强度.（已知电子的质量为m，电量为e）
解析：（1）联结AP的线段是电子圆运动轨道上的一条弦，做弦AP的中垂线，由于电子通过A点时的速度方向与磁场左边界垂直，因此过A点的半径与磁场的左边界重合。AP弦的中垂线OC与磁场左边界的交点O即是电子圆运动的圆心，以O为圆心以OA为半径画圆弧，如图3所示，
（2）在M、N间加速后获得的速度为v，由动能定理得：
电子进入磁场后做匀速圆周运动，设其半径为r，则： 在△AQP中： 在△ACO中 ： 由①②③④解得：B=
方法三：利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心
当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入和射出时的速度的方向和射入时的位置，而不知道射出点的位置，应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心。
例3、一质量为m、带电量为+q 的粒子以速度v 从O点沿y 轴正方向射入磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从B 处穿过x轴，速度方向与x 轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了B点正下方的C点。如图示4所示，不计重力，试求：
（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；
（2）C点到B点的距离h。
解析：（1）反向延长vb交y轴于O2点，作∠BO2O的角平分线交x轴于O1，O1即为圆运动轨道的圆心，OO1即为圆运动轨道的半径，其半径为
画出圆运动的轨迹（图5虚线圆）交B O2于A点，最小的圆形磁场区域是以OA为直径的圆，如图5阴影所示。设最小的磁场区域半径为r,则
利用①②③解得
（2） B到C 受电场力作用，做类平抛运动，沿初速方向：
沿电场方向： 利用④⑤消去t解得.
2．半径的确定和计算
一个基本思路：半径一般在确定圆心的基础上用平面几何知识求出，常常要解三角形。
两个重要的几何特点：（1）粒子速度的偏转角（φ）等于回旋角（α）并等于弦切角θ （ AB弦与切线的夹角）的两倍（如图所示），即φ= α=2θ；
（2）相对的弦切角（θ）相等，与相邻的弦切角（θ’）互补，即θ+ θ’=1800
3.运动时间的确定
一个基本思路：利用圆心角与弦切角的关系或者四边形的内角和等于3600计算出粒子所转过的圆心角α的大小。
两个基本公式： ,
例4:如图所示，在xOy平面上，a点坐标为（0，L），平面内一边界通过a点和坐标原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，有一电子（质量为m，电量为e）从a点以初速度v0平行x轴正方向射入磁场区域，在磁场中运动，恰好在x轴上的b点（未标出）射出磁场区域，此时速度方向与x轴正方向夹角为60°，求：
（1）磁场的磁感应强度； （2）磁场区域圆心O1的坐标（，）； （3）电子在磁场中运动的时间．

练习1：如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速率与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动的时间之比为（ B　)
A、1：2 B、2：1 C、 D、1：1
二．带电粒子在常见有界磁场区域的运动轨迹
1、基本轨迹。
（1）单直线边界磁场（如图1所示）。
带电粒子垂直磁场进入磁场时。
①如果垂直磁场边界进入，粒子作半圆运动后垂直原边界飞出；
②如果与磁场边界成夹角θ进入，仍以与磁场边界夹角θ飞出（有两种轨迹，图1中若两轨迹共弦，则θ1＝θ2）
（2）平行直线边界磁场（如图2所示）。
带电粒子垂直磁场边界并垂直磁场进入磁场时，
①速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出；
②速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切；
③速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出。
例5:如图所示，一束电子(电量为e)以速度V垂直射入磁感强度为B，宽度为d的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30°，则电子的质量是 ，穿过磁场的时间是 ,若电子质量m已知,则要带电粒子能从磁场的右边界射出，粒子的速度V必须满足的条件为 。m=2dBe/V， t=πd/3V， V>Bed/m
练习2．如图所示，相互平行的直线M、N、P、Q间存在垂直于纸面的匀强磁场。某带负电粒子由O点垂直于磁场方向射入，已知粒子速率一定，射入时速度方向与OM间夹角的范围为0<θ<90º，不计粒子的重力，则：（ ） ACD
A.θ越大，粒子在磁场中运动的时间可能越短
B.θ越大，粒子在磁场中运动的路径一定越长
C.θ越大，粒子在磁场中运动轨迹的圆心到MN的距离一定越小
D.粒子在磁场中运动的轨迹长度与时间的比值与θ无关
（3）矩形边界磁场（如图3所示）。
带电粒子垂直磁场边界并垂直磁场进入磁场时，
①速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出；
②速度在某一范围内时从侧面边界飞出；
③速度为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与对面边界相切；
④速度较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。
例6：长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（AB ）
A．使粒子的速度V<BqL/4m； B．使粒子的速度V>5BqL/4m；
C．使粒子的速度V>BqL/m； D．使粒子速度BqL/4m<V<5BqL/4m。
练习3：如图所示,一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入横截面为一正方形的匀强磁场区,在从ab边离开磁场的电子中，下列判断正确的是（ AD）
A. 从b点离开的电子速度最大
B.从b点离开的电子在磁场中运动时间最长
C.从b点离开的电子速度偏转角最大
D.在磁场中运动时间相同的电子,其轨迹线一定重合

（4）带电粒子在圆形磁场区域中做匀速圆周运动的几个特点。
特点1：入射速度方向指向匀强磁场区域圆的圆心，则出射速度方向的反向延长线必过该区域圆的圆心。
例7：如图所示，真空中有一半径为R的圆形磁场区域，圆心为O，磁场的方向垂直纸面向内，磁感强度为B，距离O为2R处有一光屏MN，MN垂直于纸面放置，AO过半径垂直于屏，延长线交于C．一个带负电粒子以初速度v0沿AC方向进入圆形磁场区域，最后打在屏上D点，DC相距2R，不计粒子的重力．若该粒子仍以初速v0从A点进入圆形磁场区域，但方向与AC成600角向右上方，粒子最后打在屏上E点，求粒子从A到E所用时间．

练习4、如右图所示为圆柱形区域的横截面，在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场．带电粒子(不计重力)第一次以速度v1沿截面直径入射，粒子飞入磁场区域时，速度方向偏转60°角；该带电粒子第二次以速度v2从同一点沿同一方向入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转90°角．则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的(　 C 　)
A．半径之比为1∶ B．速度之比为1∶
C．时间之比为2∶3 D．时间之比为3∶2
特点2 ：入射速度方向（不一定指向区域圆圆心）与轨迹圆弧对应的弦的夹角为θ（弦切角），则出射速度方向与入射速度方向的偏转角为2θ，轨迹圆弧对应的圆心角也为2θ，并且初末速度方向的交点、轨迹圆的圆心、区域圆的圆心都在弧弦的垂直平分线上。
例8.如图所示，在xOy坐标系第一象限内有一个与x轴相切于Q点的圆形有界匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外，一带电粒子（不计重力）质量为m，带电荷量为+q，以初速度从P点进入第一象限，，经过该圆形有界磁场时，速度方向偏转了，从x轴上的Q点射出。
求：在第一象限内圆形磁场区域的半径多大？

特点3 ：当轨迹半径大于圆形磁场半径时，粒子通过圆形磁场的弦等于圆形磁场半径时，时间最长
如图所示，在真空中半径m的圆形区域内，有磁感应强度B=0．2T，方向如图的匀强磁场，一束带正电的粒子以初速度m/s，从磁场边界上直径ab的a端沿各个方向射入磁场，且初速方向都垂直于磁场方向，若该束粒子的比荷C/kg，不计粒子重力。求：
（1）粒子在磁场中运动的最长时间；s
（2）若射入磁场的速度改为m/s，其他条件不变，试用斜线画出该束粒子在磁场中可能出现的区域，要求有简要的文字说明。（，）

(5)带电粒子在环状磁场中的运动
例8:核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4×c/㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算
（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。
（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。
解析：（1）要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切，轨迹如图18所示。
由图中知 解得
由得
所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为。
（2）当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图19所示。
由图中知 由得
所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度:

（6）带电粒子在三角形磁场中的运动
例9：在边长为的内存在垂直纸面向里的磁感强度为的匀强磁场，有一带正电，质量为的粒子从距Ａ点的Ｄ点垂直ＡＢ方向进入磁场，如图所示，若粒子能从ＡＣ间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从ＡＣ间什么范围内射出．
解析：如图６所示，设粒子速率为时，其圆轨迹正好与ＡＣ边相切于Ｅ点．
由图知，在中，，，由得，解得，则．
又由得，则要粒子能从AC间离开磁场，其速率应大于．
如图７所示，设粒子速率为时，其圆轨迹正好与ＢＣ边相切于Ｆ点，与ＡＣ相交于Ｇ点．易知Ａ点即为粒子轨迹的圆心，则．
又由得，则要粒子能从AC间离开磁场，其速率应小于等于．
综上，要粒子能从ＡＣ间离开磁场，粒子速率应满足．
粒子从距Ａ点的间射出．
（7）带电粒子在“绿叶形”磁场中的运动
例10：如图所示，在xoy平面内有很多质量为m、电量为e的电子，从坐标原点O不断以相同的速率V0沿不同方向平行xoy平面射入第I象限。现加一垂直xoy平面向里、磁感强度为B的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且沿X轴正方向运动。求符合条件的磁场的最小面积。（不考虑电子之间的相互作用）
解析：如图所示，电子在磁场中做匀速圆周运动，半径为。在由O点射入第I象限的所有电子中，沿y轴正方向射出的电子转过1/4圆周，速度变为沿x轴正方向，这条轨迹为磁场区域的上边界。下面确定磁场区域的下边界。
设某电子做匀速圆周运动的圆心O/与O点的连线与y轴正方向夹角为θ，若离开磁场时电子速度变为沿x轴正方向，其射出点（也就是轨迹与磁场边界的交点）的坐标为（x，y）。由图中几何关系可得：x=Rsinθ，y=R-Rcosθ，
消去参数θ可知磁场区域的下边界满足的方程为x2+(R-y)2=R2，(x>0，y>0)
这是一个圆的方程，圆心在（0，R）处。磁场区域为图中两条圆弧所围成的面积。磁场的最小面积为;

练习题：
1．一电子以垂直于匀强磁场的速度vA，从A处进入长为d、宽为h的磁场区域如右图所示，发生偏移而从B处离开磁场，若电荷量为e，磁感应强度为B，圆弧AB的长为L，则（　　） (　B　)
A．电子在磁场中运动的时间为t＝
B．电子在磁场中运动的时间为t＝
C．洛伦兹力对电子做功是BevA·h
D．电子在A、B两处的速度相同

2．如右图所示，平面直角坐标系的第Ⅰ象限内有一匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度为B.一质量为m、电荷量为q的粒子以速度v从O点沿着与y轴夹角为30°的方向进入磁场，运动到A点时速度方向与x轴的正方向相同，不计粒子的重力，则（　） (　BC　)
A．该粒子带正电
B．A点与x轴的距离为
C．粒子由O到A经历时间t＝
D．运动过程中粒子的速度不变
3．如图(甲)所示，在以直角坐标系xOy的坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直xOy所在平面的匀强磁场．一带电粒子由磁场边界与x轴的交点A处，以速度v0沿x轴负方向射入磁场，粒子恰好能从磁场边界与y轴的交点C处，沿y轴正方向飞出磁场，不计带电粒子所受重力．
(1)求粒子的比荷.
(2)若磁场的方向和所在空间的范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，粒子飞出磁场时速度的方向相对于入射方向改变了θ角，如图(乙)所示，求磁感应强度B′的大小．
解答:(1)由几何关系可知，粒子的运动轨迹如图，其半径R＝r，洛伦兹力等于向心力，即：qv0B＝m 得＝.
(2)粒子的运动轨迹如图，设其半径为R′，洛伦兹力提供向心力，即qv0B′＝ 又因为tan＝ 解得B′＝B·tan.
4.如图所示，在一个圆形区域内，两个方向都垂直于纸面向外的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，直径A2A4与A1A3的夹角为60°，一质量为m、带电荷量为＋q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与A1A3成30°角的方向射入磁场，再以垂直A2A4的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后再从A2处射出磁场．已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度B1和B2的大小(忽略粒子重力)
由题意知：t＝t1＋t2＝＋　由①③⑤式联立解得：B2＝2B1，B1＝，B2＝.
5.如右图所示，以ab为边界的两匀强磁场的磁感应强度为B1＝2B2＝B，现有一质量为m、带电荷量＋q的粒子从O点以初速度v沿垂直于ab方向发射．在图中作出粒子的运动轨迹，并求出粒子发射后第7次穿过直线ab时所经历的时间、路程及离开点O的距离．(粒子重力不计)
轨迹见解析图　　　

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