圆锥曲线综合练习题(有答案).doc

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圆锥曲线综合练习
一、 选择题：
1．已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则等于（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
【解析】由，得，故选：D
2．直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】直线与坐标轴的交点为，依题意得，
所以，故选A．
3．设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：C
4．若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（ ）
A． B． C．或 D．或
答案：D
5．已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
6．已知点是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
答案：C
7．双曲线上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ）
A．22或2 B．7 C．22 D．2
【解析】由双曲线定义知，，所以或，故选A．
8．为双曲线的右支上一点，分别是圆和 上的点，则的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】设双曲线的左、右焦点分别为，则圆的圆心为，半径．圆的圆心为，半径．
所以，．
由双曲线定义得，
所以．故选：D
9．已知点在抛物线上，且到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【解析】准线方程为，由已知得，所以，所以焦点到准线的距离为．
10．在正中，，向量，则以为焦点，且过的双曲线离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设正的边长为2，向量，则分别是的中点．
由双曲线定义知，所以，又
所以离心率．故选：D
11．两个正数的等差中项是，一个等比中项是，且，则抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【解析】依题意得，解得，
所以抛物线方程为，
其焦点坐标为，故选：C
12．已知分别为椭圆的左右顶点，椭圆上异于的点
恒满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设，则，化简得，
可以判断，．
故选：D
13．已知的左、右焦点，是椭圆上位于第一象限内的一点，点也在椭圆 上，且满足（为坐标原点），，若椭圆的离心率等于, 则直线的方程是( )
A． B． C． D．
答案：A
14．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为
A．3    B．    C．      D．
答案：B
15．若椭圆与双曲线均为正数）有共同的焦点F1，F2，P 是两曲线的一个公共点，则等于 （ ）
A． B． C． D．
答案：C
16．若是双曲线上一点，且满足，，则该点一定位于双曲线（ ）
A．右支上 B．上支上 C．右支上或上支上 D．不能确定
答案：A
17．如图，在中，，边上的高分别为，则以 为焦点，且过的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】设, 则在椭圆中, 有, , 而在双曲线中, 有, , ∴
18．方程表示的曲线是（　　　）
A．焦点在轴上的椭圆　　　 　　　B．焦点在轴上的双曲线
C．焦点在轴上的椭圆　　　　 　　D．焦点在轴上的双曲线
【解析】即又方程表示的曲线是椭圆。
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，
故选：C
19．已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且记线段与轴的交点为，为坐标原点，若与四边形的面积之比为，则该椭圆的离心率等于 ( )
A． B． C． D．
【解析】由题意知点P在圆上，由消y得,
又因为△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1: 2，可得,,
，故选：D
20．已知双曲线方程为，过的直线L与双曲线只有一个公共点，则直线的条数共有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
答案：C
21．已知以，为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　)
A．3 B．2 C．2 D．4
答案：C
22．双曲线与椭圆的离心率互为倒数，那么以为边长的三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
答案：C
23．已知点及抛物线，若抛物线上点满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
24．设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
25．等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于 两点，，则的实轴长为（ ）
A． B． C．4 D．8
答案：C
26．已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，，为准线上一点，则的面积为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．48
答案：C
27．中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
28．椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ）
A. 　　 B. 　　 C. D.
【答案】A
【解析】设,AB的中点，代入椭圆方程作差整理后得
29．若椭圆与曲线无焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
30．已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一动点，圆与的延长线、的延长线以及线段相切，若为一个切点，则（ ）
A． B． C． D．与2的大小关系不确定
答案：A
31．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则此抛物线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】分别过点作准线的垂线，垂足为，因为，
所以由抛物线的定义可知，，所以，
即为的中点，所以，故抛物线的方程为，故选：C
32．已知椭圆的焦点为，在长轴上任取一点M，过M作垂直于 的直线交椭圆于P，则使得的M点的概率为（ D ）
A． B． C． D．
33．以为中心，为两个焦点的椭圆上存在一点，满足，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】过作轴的的垂线，交轴于点，则点坐标为，
并设，根据勾股定理可知，
，得到，而，则，故选：C
34．已知点是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（ ）
A． B．2 C．1 D．0
【解析】由，即，可得，设（）
则．
所以，=
当且仅当时，取得最小值2．故选：B
35．在抛物线上取横坐标为的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令抛物线上横坐标为的点为，，
则，则切线方程可设为
由消去得，由解的
所以切线为又因为该直线与圆相切，
可得，解得或（舍去），
则抛物线方程为，顶点坐标为，故选：A
36．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
【解析】由题意，，设点，则有，截得．
因为，所以．
此二次函数的对称轴为，因为，
所以当时，取得最大值，故选：C．
37．直线与抛物线和圆从左到右的交点依次为，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
答案：B
38．如图，双曲线的中心在坐标原点，分别是双曲线虚轴的上、下端点，是双曲线的左顶点，是双曲线的左焦点，直线与相交于点．若双曲线的离心率为2，则的余弦是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】设双曲线方程为，
所以离心率，所以．
，
所以．
所以．故选：C
39．设双曲线的左、右焦点分别为，若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由双曲线定义知，所以．
因为，即，所以，又因为，故选：A
40．已知是抛物线上的一个动点，是椭圆上的一个动点，是一个定点，若∥轴，且，则的周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由解得，
由∥轴，且，得，．
又由是抛物线的焦点，得，
而
故的周长，
又，于是．
41．设双曲线的离心率，右焦点，方程的两个根分别为，，则点在（ ）
A．圆内 B．圆上
C．圆外 D．以上三种情况都有可能
【解析】因为
又因为，所以
可得，故选：A．
42．过双曲线的右焦点F作圆的切线FM（切点为M），交y轴于点P，若M为线段FP的中点, 则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
答案：A
43．若双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上,则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
44．已知以椭圆的右焦点F为圆心，a为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
45．椭圆的左准线，左．右焦点分别为F1．F2，抛物线C2的准线为，焦点是F2，C1与C2的一个交点为P，则|PF2|的值等于（ ）
A． B． C．4 D．8
答案：B
46．已知F1、F2是双曲线 （a＞0，b＞0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ）
A．4+　　　　 Ｂ．+1　　　 Ｃ．—1　　　 Ｄ．
答案：B
47．已知双曲线的左顶点、右焦点分别为A、F，点B（0，b），若，则该双曲线离心率e的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
48．直线是双曲线的右准线，以原点O为圆心且过双曲线焦点的圆被直线分成弧长为2:1的两段，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
答案：D
49．从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为
A． B．
C． D．不确定．
答案：B
50．点为双曲线：和圆：的一个交点，且，其中为双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
答案：C
51．设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于
A． B．或2 C．2 D．
【解析】当曲线为椭圆时；
当曲线为双曲线时，答案选A．
52．已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右交点，为的内心，若成立，则的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
二、填空题：
53．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点．若，则 ．
【解析】由椭圆定义可知：，
所以．
54．中心在原点，焦点在轴上，且长轴长为4，离心率为的椭圆的方程为 ．
【解析】设椭圆方程为，由题意得，解得，
则，故椭圆方程为．
55．9．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则 .
答案：4
56．已知为椭圆上的点，是椭圆的两个焦点，且，则 的面积是 ．
【解析】由．
57．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．
【解析】焦点，即，，所以
所以双曲线方程为．
58．若双曲线的一条渐近线与椭圆的焦点在轴上的射影恰为该椭圆的焦点，则双曲线的离心率为 ．
【解析】由题意可知渐近线方程为，所以可知，
所以双曲线的离心率．
59．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点做与轴垂直的直线与双曲线一个焦点，且，则双曲线的渐近线方程为 ．
【解析】根据已知得点，则，又，则．
故，所以，
所以该双曲线的渐近线方程为
60．已知分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，Q是轴上的一个动点，若，则 .
答案：20
61．已知圆，抛物线的准线为，设抛物线上任意一点到直线的距离为，则的最小值为 ．
答案：
62．设双曲线的右顶点为，右焦点为．过点平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点，则的面积为 ．
【解析】双曲线的右焦点，右焦点，过点平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点，的面积为．
63．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 ．
【解析】由抛物线定义知，
则，
故当三点共线时，最小，
所以
三、解答题：
64．已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上，且，，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线过点，交椭圆于两点，且点恰是线段的中点，求直线的方程．
解：（Ⅰ）因为点在椭圆上，所以．
在中，．
故椭圆的半焦距，从而．
所以椭圆的方程为
（Ⅱ）解法一：设两点的坐标分别为．
若直线斜率不存在，显然不和题意．
从而可设过点的直线的方程为，
将直线的方程代入椭圆的方程得，

所以．
又因为点是线段的中点，
所以．
解得，所以直线的方程为．
即（经检验，所求直线方程符合题意）．
解法二：设两点的坐标分别为．
由题意知，且 ①
②
由①②得，即直线的斜率．
又直线过点，所以直线的方程为，即．
65．已知抛物线过点．
（Ⅰ）求抛物线的方程，并求其准线方程；
（Ⅱ）是否存在平行于（为坐标原点）的直线，使得直线与抛物线有公共点，且直线与的距离等于？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）将代入，得，解得，
故所求抛物线方程为，其准线方程为．
（Ⅱ）假设存在符合题意的直线，设其方程方程为，
由，得，
因为直线与抛物线有公共点，所以，得．
又两平行线的距离，解得，舍去，
所以符合题意的直线存在，其方程为．
66．已知抛物线．
（Ⅰ）已知点为抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，且的最小值是4．
（ⅰ）求抛物线的方程；
（ⅱ）设抛物线的准线与轴的交点为点，过点作抛物线的切线，求此切线方程；
（Ⅱ）设过抛物线焦点的动直线交抛物线于两点，连接并延长分别交抛物线的准线于两点，求证：以为直径的圆过焦点．
解：（Ⅰ）（ⅰ）如图，有抛物线定义可知，
所以．
因为在抛物线外，且当三点共线时，
取得最小值，所以此时．
因为，，所以，所以．
故抛物线的方程为．
（ⅱ）由（ⅰ）知，抛物线焦点为，抛物线准线与轴交点为．
显然过点的抛物线的切线的斜率存在，设为，则切线方程为．
由，消去得，，由，解得．
所以，切线方程为．
（Ⅱ）由题意知，直线的斜率显然存在，设直线的方程为，
设．
由，消去得，，且．
所以．
因为，所以直线的方程为与联立可得．
同理可得．
因为，焦点所以，
所以，
所以，以为直径的圆过焦点．
67．如图所示，已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点．
（Ⅰ）设分别为椭圆的左、右焦点，证明：当且仅当椭圆上的点在椭圆的左、右顶点时，取得最小值与最大值；
（Ⅱ）若椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆的标准方程；
（Ⅲ）若直线与（Ⅱ）中所述椭圆相交于两点（不是左、右顶点），且满足，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．
解：（Ⅰ）设点的坐标为，令．
又点在椭圆上，故满足，则．
代入，得．
则其对称轴方程为，由题意，知恒成立，
所以在区间上单调递增．
所以当且仅当椭圆C上的点在椭圆的左、右顶点时取得最小值与最大值．
（Ⅱ）由已知与（1），得，，所以．
所以．
所以椭圆C的标准方程为．
（Ⅲ）如图所示，设、，
联立，得，
则即

又．
因为椭圆的右顶点为．
所以，，所以
所以，
所以，
解得，且均满足．
当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾．
当时，的方程为，直线过定点，
所以直线过定点，定点坐标为．
68．已知椭圆的离心率，左、右交点分别为，抛物线的交点恰好是该椭圆的一个顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知圆的切线与椭圆相交于两点，那么以为直径的圆是否经过定点？如果时，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．
解：（Ⅰ）因为椭圆的离心率，所以，即．
因为抛物线的焦点恰好是椭圆的一个顶点，
所以．
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，
因为直线与圆相切，故切线方程为或．
由，得．
则以为直径的圆的方程为，过点．
由，得．
则以为直径的圆的方程为，也过点．
显然两圆相切于点．
②当直线的斜率为零时，
因为直线与圆相切，故切线方程为或．
由，得．
则以为直径的圆的方程为，也过点．
由，得．
则以为直径的圆的方程为，也过点．
显然以上两圆相切于点．
③当直线的斜率存在且不为零时，
设直线\的方程为．
由，消去，得．
设．
则．
所以．
所以
因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离，整理
得
将式代人式，得，显然以为直径的圆经过定点．
综上，可知以为直径的圆过定点．

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