基于假设模态加权的全局模态提取方法及其应用.pdf
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1、its引用格力与2023年8 月实第45卷第4期践学基于假设模态加权的全局模态提取方法及其应用1)曹登庆2)张笑云王逸龙(哈尔滨工业大学航天学院,哈尔滨150 0 0 1)摘要假设模态法在单一梁、杆、索、板等柔性结构动力学建模中有广泛应用,但在处理组合结构振动问题时,常常因无法反映各部件之间的耦合作用使其应用受限。通过假设模态建立组合结构的近似动力学模型,利用近似模型求得系统的固有频率和相应的特征向量,据此可以有效地获得系统的全局模态。本文以跨中带有多个弹性支撑的简支梁为例,通过假设模态加权来提取系统的全局模态,从而建立系统的动力学模型。对系统进行固有特性分析的结果表明,通过假设模态加权可以方
2、便地获得系统的全局模态;对系统动态响应分析的结果表明,采用本文提出的全局模态建立的非线性动力学模型可以有效地反映系统的非线性动力学特性。关键词假设模态,假设模态加权,动力学建模,非线性振动中图分类号:0 32 6文献标识码:Adoi:10.6052/1000-0879-22-704GLOBALMODEEXTRACTIONMETHODBASEDONASSUMEDMODEWEIGHTING ANDITS APPLICATION1)CAO Dengqing2)ZHANG Xiaoyun:WANG Yilong(School of Astronautics,Harbin Institute of Te
3、chnology,Harbin 150001,China)Abstract The assumed mode method is widely used in the dynamic modeling of single flexible structures suchas beams,bars,cables and plates.However,its application is limited when dealing with the vibration problemsof combined structures because it cannot reflect the coupl
4、ing between components.The approximate dynamicmodel of the combined structure can be established by using the assuming modes,and then the naturalfrequencies and corresponding eigenvectors of the system can be obtained by using the approximate model.Based on this approach,the global modes of the syst
5、em can be obtained effectively.In this paper,a simplysupported beam with multiple elastic supports in the middle span is taken as an example,and the global modesof the system are extracted by assuming mode weighting,so as to establish the dynamic model of the system.The results of the intrinsic char
6、acteristics analysis of the system show that the global mode of the system can beeasily obtained by assumed model weighting.The results of dynamic response analysis of the system show thatthe nonlinear dynamic model based on the proposed global mode can effectively reflect the nonlinear dynamicchara
7、cteristics of the system.Keywordsassumed mode,assumed model weighting,dynamic modeling,nonlinear vibration假设模态法是用于离散连续系统的一种近似处理方法,由于其具有简单、容易处理的特点而被广泛应用于单一梁、杆、索、板等柔性结构的动力学建模。假设模态的选取原则是要满足结2022-12-23收到第1稿,2 0 2 3-0 2-19 收到修改稿。1)国家重点研发计划项目(2 0 2 0 YFB1506702-03)和国家自然科学基金项目(117 32 0 0 5)资助。2)曹登庆,博士,教授,研
8、究方向为动力学与控制。E-mail:d q c a o h i t.e d u.c n各式:曹登庆,张笑云,王逸龙.基于假设模态加权的全局模态提取方法及其应用.力学与实践,2 0 2 3,45(4):8 6 6-8 7 3Cao Dengqing,Zhang Xiaoyun,Wang Yilong.Global mode extraction method based on assumed mode weighting andapplication.Mechanics in Engineering,2023,45(4):866-873867曹登庆等:基于假设模态加权的局模态提取方法及其应用第4
9、 期构的部分或全部边界条件,其中几何边界条件通常要求严格满足,而力的边界条件通常是很难满足的。所选取的模态函数越接近于结构的真实模态函数,解的精度就越高。众所周知简单结构的固有频率和模态函数是由结构的边界条件决定的,但在组合结构中,除边界条件外,结构连接处力和位移的相容条件也会对系统固有特性产生影响。将假设模态法应用于处理组合结构振动问题时,如何选取满足整体结构边界条件和构件连接处的相容条件,且能反映各部件之间相互作用的模态函数就成为一个困难问题 2。实际应用中,为了提高建模的精度,往往选取尽量多的模态数,期望反映柔性结构的变形信息,这不仅造成系统离散动力学模型的自由度数较大 3-5,而且无法
10、估计所建立的动力学模型的近似程度。本文通过假设模态建立组合结构的近似动力学模型,利用近似模型求得系统的固有频率和相应的特征向量,据此可以有效地获得系统的全局模态 6。全局模态是假设模态的加权结果,能够充分反映组合结构各部件之间的耦合特性。但在以往组合结构动力学建模研究中,假设模态加权方法并未受到足够重视。本文以跨中带有多个弹性支撑的简支梁为例,通过假设模态加权来提取系统的全局模态,建立系统的动力学模型。通过将该模型与假设模态模型对比,展现假设模态加权法在组合结构动力学建模中的优势。1假设模态加权法本节以跨中带有多个弹性支撑的简支梁为例,阐述通过假设模态加权的方法来提取复杂结构的全局模态的方法,
11、即假设模态加权法,简称模态加权法。考虑图1所示的简支梁,当简支梁跨中的弹性支撑刚度很小时,用简支梁的模态作为假设模态可以建立精度较高的动力学模型,当支撑刚度趋于零时,假设模态成为其精确的模态。但是,当支撑刚度较大(极端情况下趋于无穷大)时,则用简支梁的模态作为假设模态将带来较大误差,甚至导致完全错误的结果。事实上,由于弹性约束的存在使得无弹性约束情况下的简支梁变成了由多个梁在弹性支撑下的“多跨梁”,当支撑刚度较大时需将其看作是“多梁组合结构”。yBS1S2SN-1SN2N-1IN图1带多弹性支撑简支梁Fig.1A simply supported beam with multiple elas
12、tic supports为什么采用简支梁的模态作为假设模态,当支撑刚度较大时会带来较大误差呢?究其原因,这个假设模态仅满足了梁在A,B两点的约束条件,不满足跨中弹性支撑点S1,S2,S的约束条件(如图1所示)。下面介绍利用假设模态加权来获取全局模态的模态加权法。首先采用满足边界条件的假设模态离散带多弹性支撑简支梁的运动方程,获得基于假设模态的系统动力学方程然后求得系统的特征值和特征向量,之后将特征向量的元素作为加权系数求得加权假设模态。最后将加权假设模态重新代入系统的运动方程,获得基于加权假设模态的动力学模型。式P力与868实2023年第4 5 卷践学1.1加权假设模态考虑如图1所示的两端简支
13、的等截面均匀细长梁,梁长L,简支梁跨中带有N个弹性支撑。第i个支撑点离固定铰支座A点的距离为li。将弹性支撑视为无质量弹簧系统,则第i个弹性支撑的黏弹性恢复力F与位移和速度的关系可表示为Fi(t)=Ccivi;(t)+kt wi(t)(1)式中,w和ii分别为第i个弹性支撑的变形位移和速度,c,和k分别为第i个弹性支撑的黏弹性阻尼系数和线性刚度系数。当系统振动幅值较小时,带多弹性支撑的Euler梁运动方程为Npi+swi+EIw+nli+o(a-la)F(t)=0=1(2)式中,p=PoA为梁的线密度,Po为梁材料的密度,A为梁横截面面积;W为梁横向振动位移;E是弹性模量;I是截面惯性矩;和f
14、分别为梁的外阻尼和内阻尼系数,s(-li)Fi(t)表示i个弹性支撑对柔性梁的作用力,“.”表示对时间t求偏导,“1”表示对空间坐标求偏导。采用跨中没有弹性支撑的简支梁的前n阶模态作为假设模态离散偏微分方程(2),梁的横向位移可以近似表示为nw(a,t)=;(a)a;(t)=d(a)q(t)(3)j=1式中,(a)=i(a)d2(a)中n(a)(4)q(t)=q1(t)q2(t)qn(t)JT(5)其中,;(a)=sinJ元是跨中没有弹性支撑的简支梁的第i阶模态函数,q;(t)为与第阶模态对应的模态坐标,n为模态截断数,即系统的自由度数。将式(3)代入方程(2),方程两边分别左乘向量T,沿柔性
15、梁全长积分,可求得系统的近似动力学模型为Mq+(EIK+K)q+($M+nIK+C)q=0(6)中,pM和EIK分别为柔性梁的基于假设模态的质量阵和刚度阵,KL和C分别为与弹性支撑相关的约束刚度阵和约束阻尼阵。上述矩阵的具体形式为M=&Tdda,K=dTdaJoNNKL=Zt$T(la)(a),C=Zc,(la)(la)=1=1值得注意的是,假设模态是跨中没有弹性支撑的简支梁的真实模态,它对于简支梁而言具有正交性,但它并非系统的真实模态。因此,上述方程中仅模态质量阵pM和模态刚度阵EIK是对角矩阵,系统整体刚度矩阵EIK+KL和约束阻尼矩阵C为非对角矩阵。求解近似动力学模型(6)的特征值和特征
16、向量,可获得系统的固有频率。方程(6)对应的无阻尼自由振动方程为pMq+(EIK+K)q=0(7)设方程星(7)白的解为q(t)=q sin(wt+)(8)式中,w是系统的固有频率,q是系统的特征向量,q=12qnT。将式(8)代入方程(7)可得(EIK+KL-wpM)q=0(9)方程呈(9)有非零解的条件为|EIK+KL-wpM|=0(10)求解式(10)可得系统的固有频率w1,w 2,wn,代入方程(9)可求得对应的特征向量ql,q,q 。选取前m(m n)列特征向量组成模态矩阵QQ=l q?q,(11)Jnxm取另一组广义坐标pi(t),p 2(t),,Pm(t),则广义坐标矢量方程q可
17、以写成q(t)=Qp(t)(12)式中,(t)=pi(t)p2(t)m(t)T。将式(12)代入系统的位移表达式(3),得w(a,t)=q(t)=Qp(t)=mmqp;(t)=2b5()p;(t)(13)j=1j=1式中,;(a)=(a)qi=1()+2(c)+中n(c)是假设模态i(a),2(ac),n(a)的加权(19)qT(EIK+KL)qrwepqTMar869曹登庆等:基于假设模态加权局模态提取方法及其应用第4 期函数,我们将其定义为系统的第阶加权假设模态,即系统的第阶近似全局模态。1.2加权假设模态的正交性系统对应于任意两个不同的固有频率r和w。的加权假设模态函数分别为r()和s(
18、)。根据系统的偏微分运动方程(2),不考虑系统阻尼时,对于第r阶模态有NEIbr(c)+ktbr(a)6(-li)=pw2br(a)(14)1方程(14)两边同乘以亚。(c),再沿柔性梁全长积分,得EIbr(a)bs(a)da+0Nktbr(a)bs(c)o(-li)da=01pbr(a)bs(a)da2(15)W0将r(c)=(c)qr和s()=()q。代入式(15),得q,(EIK+KL)ar=wipa,Mqr(16)交换式(16)白的下标r和s,得到qT(EIK+KL)qs=wpqTMqs(17)对式(17))求转置q,(EIK+KL)Tar=wpq,Mqr(18)因为M和EIK+KL是
19、对称矩阵,得式(19)与式(16)相减,得(w-w)paTMqr=0(20)由此可得两组正交性条件dTMar=0(s+r)(21),(EIK+K)ar=0(s r)(22)即加权假设模态具有正交性。1.3离散动力学模型采用加权假设模态(即近似全局模态)代替原简支梁的模态函数,离散柔性梁的位移,可以获得系统离散形式的动力学模型。将采用加权模态叠加形式的位移表达式(13)代入原系统运动方程(2),在方程两边分别左乘QT&T(),沿柔性梁全长积分可得系统的离散动力学模型pMgp+(EIKg+K,)p+($Mg+nIKg+Cg)p=0(23)式中,pMg和EIK。分别为柔性梁的基于加权模态的质量阵和刚
20、度阵,K和C。分别为与弹性支撑相关的线性约束刚度阵和约束阻尼阵。上述矩阵的具体形式为Mg=QTMQ,Kg=QTKQK,=QTKQ,C=QTCQ由于加权假设模态具有正交性,系统整体模态质量阵M。和系统整体刚度阵EIK。+K 为对角矩阵。为了说明模态加权法在求解非线性振动问题中的应用,设弹性支撑具有非线性特性,其黏弹性恢复力与位移和速度的关系可表示为F;(t):cii;(t)+ktwi(t)+kNwe(t)(24)式中,kN是第E个弹性支撑的非线性刚度系数。当弹性支撑梁在ao处受到集中力F=Fosin(2t)作用时,则系统基于假设模态的非线性动力学模型为pMg+(EIK+K)q+(SM+nIK+C
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