回归分析的基本思想及其初步应用.ppt
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1、高二数学 选修1-21.1回回归分析的基本思想及其初步分析的基本思想及其初步应用用1.比数学3中“回归”增加的内容数学数学统计1.画散点画散点图2.了解最小二乘法了解最小二乘法的思想的思想3.求回求回归直直线方程方程ybxa4.用回用回归直直线方程方程解决解决应用用问题选修-统计案例5.引入引入线性回性回归模型模型ybxae6.了解模型中随机了解模型中随机误差差项e产生的原因生的原因7.了解相关指数了解相关指数 R2 和模型和模型拟合的效果之合的效果之间的关系的关系8.了解残差了解残差图的作用的作用9.利用利用线性回性回归模型解决一模型解决一类非非线性回性回归问题10.正确理解分析方法与正确理
2、解分析方法与结果果2.问题1 1:正方形的面正方形的面积y y与正方形的与正方形的边长x x之之间 的的函数关系函数关系是是y=xy=x2 2确定性关系确定性关系问题2 2:某水田水稻某水田水稻产量量y y与施肥量与施肥量x x之之间是否是否 -有一个确定性的关系?有一个确定性的关系?例如:例如:在在 7 7 块并排、形状大小相同的并排、形状大小相同的试验田田上上 进行施肥量行施肥量对水稻水稻产量影响的量影响的试验,得到,得到如下所示的一如下所示的一组数据:数据:施化肥量施化肥量x x 15 20 25 30 35 40 45 15 20 25 30 35 40 45水稻水稻产量量y y 33
3、0 345 365 405 445 450 455 330 345 365 405 445 450 455复复习、变量之量之间的两种关系的两种关系3.自自变量取量取值一定一定时,因,因变量的取量的取值带有一定随有一定随机性的两个机性的两个变量之量之间的关系叫做的关系叫做相关关系相关关系。1 1、定、定义:1 1):相关关系是一种不确定性关系;):相关关系是一种不确定性关系;注注对具有相关关系的两个具有相关关系的两个变量量进行行统计分析的方法叫分析的方法叫回回归分析分析。2 2):):4.2 2、现实生活中存在着大量的相关关系。生活中存在着大量的相关关系。如:人的身高与年如:人的身高与年龄;产品
4、的成本与生品的成本与生产数量;数量;商品的商品的销售售额与广告与广告费;家庭的支出与收入。等等家庭的支出与收入。等等5.回回归分析的内容与步分析的内容与步骤:统计检验通通过后,最后是后,最后是利用回利用回归模型,根据自模型,根据自变量去估量去估计、预测因因变量量。回回归分析通分析通过一个一个变量或一些量或一些变量的量的变化解化解释另另一一变量的量的变化。化。其主要内容和步其主要内容和步骤是:是:首先根据理首先根据理论和和对问题的分析判断,的分析判断,将将变量分量分为自自变量和因量和因变量量;其次,其次,设法法找出合适的数学方程式(即回找出合适的数学方程式(即回归模型)模型)描述描述变量量间的关
5、系;的关系;由于涉及到的由于涉及到的变量具有不确定性,接着量具有不确定性,接着还要要对回回归模型模型进行行统计检验;6.最小二乘法:最小二乘法:称称为样本点的中心本点的中心。回回归直直线过样本点的中心本点的中心7.3 3、对两个两个变量量进行的行的线性分析叫做性分析叫做线性性回回归分析分析。2 2、回、回归直直线方程:方程:2.2.相相应的直的直线叫做叫做回回归直直线。1 1、所求直、所求直线方程方程 叫做叫做回回归直直 -线方程方程;其中;其中8.相关系数相关系数 1.1.计算公式算公式2 2相关系数的性相关系数的性质(1)|r|1(1)|r|1(2)|r|(2)|r|越接近于越接近于1 1
6、,相关程度越大;,相关程度越大;|r|r|越接越接近于近于0 0,相关程度越小,相关程度越小问题:达到怎:达到怎样程度,程度,x x、y y线性相关呢?它性相关呢?它们的相关程度怎的相关程度怎样呢?呢?9.负相关相关正相关正相关10.相关系数相关系数正相关;正相关;负相关通常,相关通常,r r-1,-0.75-0.75-负相关很相关很强;r0.75,1正相关很正相关很强;r-0.75,-0.3-负相关一般相关一般;r0.3,0.75正相关一般正相关一般;r r-0.25,0.25-0.25-相关性相关性较弱弱;11.相关关系的相关关系的测度度(相关系数取值及其意义)-1.0+1.00-0.5+
7、0.5完全完全负负相关相关无无线线性相关性相关完全正相关完全正相关负负相关程度增加相关程度增加r正相关程度增加正相关程度增加12.例例1 从某大学中随机从某大学中随机选取取8名女大学生,其身高和体重数据如表名女大学生,其身高和体重数据如表1-1所示。所示。编号12345678身高/cm165165 157 170 175 165 155 170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回她的体重的回归方程,并方程,并预报一名身高一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。案例案例1:女大学生的身高与体重:女大学生的身高与
8、体重解:解:1、选取身高取身高为自自变量量x,体重,体重为因因变量量y,作散点,作散点图:2、由散点、由散点图知道身高和体重有比知道身高和体重有比较好的好的线性相关关系,因此可以用性相关关系,因此可以用线性性回回归方程刻画它方程刻画它们之之间的关系。的关系。13.分析:由于分析:由于问题中中要求根据身高要求根据身高预报体重,因此体重,因此选取身取身高高为自自变量,体重量,体重为因因变量量2.2.回回归方程:方程:1.散点散点图;14.例例1 从某大学中随机从某大学中随机选取取8名女大学生,其身高和体重数据如表名女大学生,其身高和体重数据如表1-1所示。所示。编号12345678身高/cm165
9、165 157 170 175 165 155 170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回她的体重的回归方程,并方程,并预报一名身高一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。案例案例1:女大学生的身高与体重:女大学生的身高与体重解:解:1、选取身高取身高为自自变量量x,体重,体重为因因变量量y,作散点,作散点图:2、由散点、由散点图知道身高和体重有比知道身高和体重有比较好的好的线性相关关系,因此可以用性相关关系,因此可以用线性性回回归方程刻画它方程刻画它们之之间的关系。的关系。3、从散点、从散点图还看到,看到,
10、样本点散布在本点散布在某一条直某一条直线的附近,而不是在一条的附近,而不是在一条直直线上,所以不能用一次函数上,所以不能用一次函数y=bx+a描述它描述它们关系。关系。探究:探究:身高身高为172cm的女大学生的体重一定是的女大学生的体重一定是60.316kg吗?如果不是,你能解析一下原因?如果不是,你能解析一下原因吗?15.我我们可以用下面的可以用下面的线性回性回归模型模型来表示:来表示:y=bx+a+e,其中其中a和和b为模型的未知参数,模型的未知参数,e称称为随随机机误差。差。16.思考思考:产生随机生随机误差差项e的原因是什么?的原因是什么?随机随机误差差e e的来源的来源(可以推广到
11、一般):可以推广到一般):1、忽略了其它因素的影响:影响身高、忽略了其它因素的影响:影响身高 y 的因素不只的因素不只是体重是体重 x,可能,可能还包括包括遗传基因、基因、饮食食习惯、生、生长环境等因素;境等因素;2、用、用线性回性回归模型近似真模型近似真实模型所引起的模型所引起的误差;差;3、身高、身高 y 的的观测误差。差。以上三以上三项误差越小,差越小,说明我明我们的回的回归模型的模型的拟合合效果越好。效果越好。17.函数模型与回函数模型与回归模型之模型之间的差的差别函数模型:回归模型:可以提供选择模型的准则18.函数模型与回函数模型与回归模型之模型之间的差的差别函数模型:回归模型:线性
12、回性回归模型模型y=bx+a+e增加了随机增加了随机误差差项e,因,因变量量y的的值由自由自变量量x和和随机随机误差差项e共同确定,即共同确定,即自自变量量x只能解只能解释部分部分y的的变化化。在在统计中,我中,我们也把自也把自变量量x称称为解解释变量,因量,因变量量y称称为预报变量。量。所以,所以,对于身高于身高为172cm的女大学生,由回的女大学生,由回归方程可以方程可以预报其体重其体重为 19.思考:思考:如何刻画如何刻画预报变量(体重)的量(体重)的变化?化?这个个变化在多大程度上化在多大程度上与解与解释变量(身高)有关?在多大程度上与随机量(身高)有关?在多大程度上与随机误差有关?差
13、有关?假假设身高和随机身高和随机误差的不同不会差的不同不会对体重体重产生任何影响,那么所有人的体重将相生任何影响,那么所有人的体重将相同。同。在体重不受任何在体重不受任何变量影响的假量影响的假设下,下,设8名女大学生的体重都是她名女大学生的体重都是她们的平均的平均值,即即8个人的体重都个人的体重都为54.5kg。54.554.554.554.554.554.554.554.5体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号54.5kg在散点在散点图中,所有的点中,所有的点应该落在同一条落在同一条水平直水平直线上,但是上,但是观测到的数据并非如到的数据并非
14、如此。此。这就意味着就意味着预报变量(体重)的量(体重)的值受解受解释变量(身高)或随机量(身高)或随机误差的影响差的影响。对回回归模型模型进行行统计检验20.5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号 例如,例如,编号号为6的女大学生的体重并没有落在水平直的女大学生的体重并没有落在水平直线上,她的体重上,她的体重为61kg。解。解释变量(身高)和随机量(身高)和随机误差共同把差共同把这名学生的体重从名学生的体重从54.5kg“推推”到了到了61kg,相差,相差6.5kg,所以所以6.5kg是解析是解析变量和随机量和
15、随机误差的差的组合效合效应。编号号为3的女大学生的体重并也没有落在水平直的女大学生的体重并也没有落在水平直线上,她的体重上,她的体重为50kg。解析。解析变量(身高)和随机量(身高)和随机误差共同把差共同把这名学生的体重从名学生的体重从50kg“推推”到了到了54.5kg,相差,相差-4.5kg,这时解析解析变量和随机量和随机误差的差的组合效合效应为-4.5kg。用用这种方法可以种方法可以对所有所有预报变量量计算算组合效合效应。数学上,把每个效数学上,把每个效应(观测值减去减去总的平均的平均值)的平方加起来,即用)的平方加起来,即用表示表示总的效的效应,称,称为总偏差平方和偏差平方和。在例在例
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