基于合作-竞争关系马尔可夫切换下异质多智能体系统均方二分组一致研究.pdf

DOI:10.11992/tis.202201045网络出版地址:https:/ 数学与计算机学院，安徽 铜陵 244061;2.重庆邮电大学 自动化学院，重庆 400065）摘 要：针对马尔可夫切换下离散和连续异质多智能体系统均方二分组一致问题，本文分别构造了 2 类包含合作竞争关系和马尔可夫切换拓扑结构异质多智能体系统均方二分组一致协议。利用随机不可约非周期矩阵(stochastic indecomposable and aperiodic matrices,SIA)相关性质、图论代数和矩阵分析等理论，得到相关系统实现均方二分组一致的充分必要条件。仿真实例说明了理论结果的有效性。关键词：多智能体；马尔可夫；异质系统；切换网络；合作竞争关系；随机不可约非周期矩阵；均方二分组一致性；控制协议中图分类号：TP273 文献标志码：A 文章编号：16734785(2023)04080310中文引用格式：蒲兴成,张玲侠.基于合作竞争关系马尔可夫切换下异质多智能体系统均方二分组一致研究 J.智能系统学报,2023,18(4):803812.英文引用格式：PU Xingcheng,ZHANG Lingxia.Mean square couple-group consensus for heterogeneous multiagent systems basedon Markov switching and cooperative-competitive relationJ.CAAI transactions on intelligent systems,2023,18(4):803812.Mean square couple-group consensus for heterogeneousmultiagent systems based on Markov switching andcooperative-competitive relationPU Xingcheng1,2，ZHANG Lingxia2(1.School of Mathematics and Computer Science,Tongling University,Tongling 244061,China;2.School of Automation,Chongqing University of Posts and Telecommunications,Chongqing 400065,China)Abstract:In order to solve the problem of mean square couple-group consensus of discrete and continuous heterogen-eous multiagent systems under Markov switching,this paper respectively constructs two kinds of mean square couple-group consensus protocols of heterogeneous multi-agent systems(HMASs),including cooperative competition relation-ship and Markov switching topology heterogeneous multiagent systems.Based on related properties of stochastic irredu-cible aperiodic(SIA)matrix,graph theory algebra and matrix analysis,the necessary and sufficient conditions are ob-tained to realize mean square couple-group consensus.Simulation examples prove effectiveness of the result.Keywords:multiagent;Markov;heterogeneous systems;switching topology;cooperative-competitive relation;SIAmatrix;mean square couple-group consensus;control protocol 因多智能体系统在智能交通控制、智能电网和互联网安全等领域存在巨大的应用价值1-4，多智能体系统研究已经成为复杂系统理论研究的一个热点问题。一致性作为多智能体系统研究的首要问题，通过设计合适的分布式控制协议来协调和控制多智能体系统，从而使整个多智能体的状态或速度达到一致。目前，多智能系统一致性问题的研究已经取得很多成果。根据不同拓扑结构，文献 5 研究了一类一阶连续多智能体系统分组一致控制，且收稿日期：20220126.网络出版日期：20230322.基金项目：国家自然科学基金项目（61876200）；安徽省质量工程项目（2022cxtd162），安徽省自然科学基金项目（2008085MG227）;铜陵学院人才引进项目（R23010）；安徽省重点研究与开发计划项目（202004a05020010）；重庆市教委项目（KJZD-M202001901)；重庆市科委项目（cstc2020jcyj-msxmX0895)；重庆市研究生创新项目（CYS21312）.通信作者：蒲兴成.E-mail：.第 18 卷第 4 期智能系统学报Vol.18 No.42023 年 7 月CAAI Transactions on Intelligent SystemsJul.2023智能系统学报编辑部版权所有在单积分动力学一致性算法中引入了旋转矩阵，得到系统实现分组一致的充要条件。文献 6 对一类二阶离散多智能体系统二分组一致问题进行讨论，通过线性变换和矩阵变换把系统的二分组一致问题转变为判断误差系统稳定性问题。文献 7 根据智能体之间关系，研究了一类有向二部图的多智能体系统群同步。在这种情况下，信息只能在两部分网络中的不同子组之间交互，不能在同一子组内交互。为克服文献 7 中合作或竞争交互的局限性，文献 8 研究了拓扑结构可分为 2 个子网的合作竞争多智能体系统分组一致问题，并假定同一子网络中智能体之间通信权重为正，不同子网络中智能体之间通信权重为负。此外，现有许多有关多智能体系统一致性问题研究中，大多假定研究对象为同质系统9-11，即系统中每个智能体具有相同动力学性质。然而，在实际情况下，多智能系统中智能体往往具有不同动力学性质，即多智能体是异质的。因此，有必要研究异质多智能体系统的一致性。目前，有关异质多智能体系统的一致性已取得一些研究成果12-14。文献 12 讨论了包含一阶和二阶智能体的离散异质多智能体系统分组一致。文献 13讨论了具有时延的竞争网络中异质多智能体系统分组一致。文献 14 研究了具有合作竞争机制的时滞离散加权异质多智能体系统分组一致，并且采用频域分析法获得了确保多智能体系统能够达到分组一致时通信和输入时延范围。此外，根据系统网络拓扑结构切换方式不同，大部分成果都假定系统拓扑结构是固定的15-17。基于牵制控制策略，文献 15 研究了固定拓扑结构下多智能体系统的有限时间达到一致性问题。文献 1617分别讨论了多智能体系统具有固定拓扑和时延约束时二分组一致和具有测量噪声二阶延迟多智能体系统一致控制。然而，在很多实际问题中，多智能体系统拓扑结构通常会随着时间变化而发生改变。这就是通常所说的具有切换拓扑结构多智能体系统分组一致18-20。针对切换拓扑下多智能系统一致控制，相关成果也取得不少。基于模态平均驻留时间切换拓扑，文献 1819分别研究了多智能体系统中领导跟随一致和牵制一致。文献 20 则研究了基于平均驻留时间切换规则在丢包补偿中的应用。此外，在自然界中，多智能体系统往往会受到来自内部或外部一些突发或未知随机因素影响，从而导致系统拓扑结构的改变具有更加不确定和随机性。如何描述这种拓扑的切换随机性是一致性研究的难点。鉴于马尔可夫链可以很好地描述随机切换，因此它被广泛应用到具有不确定事件发生的场景，如图像处理、多模态制造和滤波检测等21-22。不仅如此，基于马尔可夫切换多智能体系统一致性研究也越来越引起众多学者关注 2 3-2 5，并取得很多重要成果。文献 23 研究了具有马尔可夫切换的通信拓扑下异质连续时间多智能体系统输出一致性问题。文献 24 讨论了在噪声环境下具有马尔可夫切换连续时间多智能体系统均方一致问题。基于合作关系，文献 25 讨论了具有马尔可夫跳跃离散线性多智能体系统输出调节问题。综上所述，针对离散或连续异构多智能体系统一致性研究，虽取得很多成果，但这些成果主要基于合作或竞争关系、切换策略给定或整个拓扑结构中存在生成树等强条件下得到。而在许多实际多智能体系统中，合作竞争关系始终存在，且多智能体系统含有多个子拓扑结构，这些拓扑结构之间是随机切换的。因此，在研究多智能体系统一致性问题时，有必要同时考虑合作竞争关系、异构和随机切换等实际因素。本文讨论包含一阶和二阶智能体的异质多智能体系统，分离散和连续 2 种情况，基于竞争合作关系，结合马尔可夫链，分别提出 2 种分组一致协议。利用图论代数、马尔科夫链和随机不可约非周期矩阵的相关性质，得到这些系统达成均方二分组一致的充分必要条件，并通过仿真实例说明了所得结论的有效性。1 马尔可夫切换多智能体系统 1.1 马尔可夫模型,F,PFP(),0S=1,2,s()kk+1ij=(pij Rss)假定是一个完备概率空间，其中是样本空间,代表事件代数，表示概率测度。是一个有限状态离散时间马尔可夫链，是的 取 值 范 围。该 链 在 时 间从 状 态 转 移 到 状 态 的 转 移 概 率 矩 阵为P(+1)=j|()=i)=pijpij 0sj=1pij=1式中：，且。o(t),t 0o(t)S=1,2,st t+Tij=(ij Rss)类似地，设 是一个有限状态连续时间马尔可夫链，的取值范围为，它在时间 从状态 转移到状态 的转移概率矩阵为P(o(t+T)=j|o(t)=i)=ijij 0sj=1ij=1式中：，且。1.2 图论基础G=(v,e,A)v=v1,v2,vn表示一个图，表示804智能系统学报第 18 卷 GGvveij=(vj,vi)vvA=aij Rnn(vi,vj)eaij=1aij=0Ni=vj v:(vj,vi)eviL(G)=lij RnnG图 的 n 个结点构成的集合，图 的边集是，其元素。矩阵是图 G的邻接矩阵，当时，反之。此外，表 示 节 点 的 邻 居 集。表示图 的拉普拉斯矩阵，它的元素取值为lij=aij,i,jnj=1,j,iaij,i=j 1.3 异质多智能体系统异质多智能体系统是指具有不同动力学性质多智能体构成的系统。下面主要讨论由一阶和二阶多智能体组成的离散和连续异质多智能体系统。离散异质多智能体系统为i(+1)=i()+hui(),i 1,i=1,2,mi(+1)=i()+hi()i(+1)=i()+hui(),i 2,i=m+1,m+2,n(1)连续异质多智能体系统为 i(t)=ui(t),i 1,i=1,2,m i(t)=i(t)i(t)=ui(t),i 2,i=m+1,m+2,n(2)iiiuii1212式中：和分别表示第 个智能体位置和速度向量；表示第 个智能体输入控制向量；和分别表示一阶和二阶智能体 2 个分组，为一阶智能体，为二阶智能体。A异质多智能系统式(1)和 式(2)的邻接矩阵用分块矩阵表示为A=AffAfsAsfAssAffAssAfsAsf式中：和分别表示一阶智能体和二阶智能体之间邻接矩阵；表示一阶智能体和二阶智能体邻接矩阵；表示二阶智能体到一阶智能体邻接矩阵。易知，异质多智能体系统式(1)和式(2)的拉普拉斯矩阵为L=D A=Lff+DfsAfsAsfLss+DsfD=diagd1,d2,dnG是图 的入度矩阵，且Dfs=diagjNi,saij,i 1Dsf=diagjNi,faij,i 2 1.4 定义和引理定义 1离散异质多智能体系统式(1)称为均方二分组一致当且仅当如下条件成立：limE|i()j()|2=0,i,j ,=1,2limE|i()j()|2=0,i,j 1t类似地，可给出连续异质多智能体系统均方二分组一致定义，此时，仅需将定义中 替换成即可。定义 2以概率为元素且每行元素和为 1 的矩阵称为随机矩阵。B Rnn=1BBB引理 126若是随机矩阵，是 的一重代数特征值，的其余特征值的模都小于 1，那么 是随机不可约非周期矩阵(stochastic inde-composable and aperiodic matrices,SIA)矩阵。B=B1,B2,，BsBBi1Bi2Bij引理 227设 s 是一个正整数，且是由 s 个 n 阶 SIA 矩阵组成的集合，则中任意 j 个元素乘积也是 SIA 矩阵，且limjBi1Bi2Bij=1ncTcT式中是一个元素值为非负的列向量。推论 1根据引理 2 和克罗内克积性质，2 个SIA 矩阵的克罗内克积仍是 SIA 矩阵。证明因为(Bi1Bi1)(Bi2Bi2)(BijBij)=(Bi1Bi2Bij)(Bi1Bi2Bij)(Bi1Bi1)(Bi2Bi2)(BijBij)所以，矩阵也是 SIA 矩阵。Bijsi,j=1P=(pij)ssQ RnsnsijQij=pjiBijlim(Q)ij=pji1cTijpji=PjicTij引理 3设 s 是一个正整数，且是一个n 阶 SIA 矩阵集合。是一个维服从齐次不可约正循环马尔可夫链的转移概率矩阵。定义矩阵，它第 行与第 列的矩阵块是，则有，是当时，第 行第 列的元素值。是一个元素值为非负的列向量。Qij证明矩阵第 行第 列的分块矩阵可以表示为(Q)ij=1i1,i2,i1npji1Bii1pi1i2Bi1i2pi1iBi1j=pij1i1,i2,i1n1i1,i2,i1nBii1Bi1i2Bi1jpji 0如果，则：1i1,i2,i1n=(pji1pi1i2pi1i)/pjipji=0QijpjiBii1Bi1i2Bi1j1cTijpji否则。第 行和第 列对应的分块矩阵都是和 SIA 矩阵乘积。根据引理 2，随着 趋于无穷大，乘积将会收敛到。若马尔可夫链是非周期的，则转移概率矩阵极限将收敛到一组确定值，即该链是遍历的。否则，如果马尔可夫链是周期性的，这将导致 不收敛。Bjsj=1P=(pij)ss推论 2设 s 是一个正整数，且是一个n 阶 SIA 矩阵集合。是一个维服从齐次不可约正循环马尔可夫链转移概率矩阵。定义第 4 期蒲兴成，等：基于合作竞争关系马尔可夫切换下异质多智能体系统均方二分组一致研究805 Q Rn2sn2sijQij=pjiBjBjlim(Q)ij=pji1 cTijpji=Pji cTij矩阵，且它的第 行与第 列对应的矩阵块 是，则 有，其 中是当时，第 行与第 列对应的元素值。为一个元素值为非负的列向量。证明类似引理 3，其余略。B=bij Rnnbii 0i,j bij 0B1nB引理 428若矩阵，其中，且，每行元素和为 0，那么矩阵 有唯一的零特征值，其余特征值具有负实部，且零特征值的特征向量是当且仅当矩阵 是一个图的邻接矩阵且该图含有一棵生成树。Bt 0eBtBv=v1,v2,vnT 01Tn=1BT=0t 0eBt 1nT引理 528如果存在矩阵满足引理 4 的条件，则对于，矩阵是一个主对角线元素为正的随机矩阵。此外，若矩阵 有一个零特征值，且存在向量满足和，则当时，。2 马尔可夫切换多智能体系统分组一致主要研究结果 2.1 离散时间异质多智能体系统均方二分组一致性这部分主要研究马尔可夫切换下离散时间异质多智能体系统式(1)的均方二分组一致性。基于智能体之间合作竞争关系，设计如下均方二分组一致控制协议：ui()=jN()Sia()ij(j()i()jN()Dia()ij(j()+i(),i 1ui(k)=jN()Sia()ij(j()i()jN()Dia()ij(j()+i()i(),i 2(3)N()SiiN()Dii式中：为智能体 同组邻居集合；为智能体 不同组邻居集合；和 为相应的耦合系数；a()ijA()是邻接矩阵中的元素。(),0S=1,2,s定理 1 若是一个齐次遍历马尔可夫链，其状态空间为,若 1hlmax，2h且lmax24则在控制协议式(3)下，离散异质多智能体系统式(1)均方二分组一致当且仅当该系统联合拓扑存在有向生成树。证明 1)充分性：G1G2Gs假设具有有向生成树。i()为简单起见，引进变量，且：i()=i()+2i()i 1综合式(1)和式(3)，当时，有：i(+1)=i()+hjN()Sia()ij(j()i()jN()Dia()ij(j()+i()(4)i 2当时，有：i(+1)=i()+h2(i()i()(5)i(+1)=i()h2(i()i()+2hjN()Sia()ij(j()i()jN()Dia()ij(j()+i()(6)由式(4)(6)可得：f(+1)=f()hA()fss()+(L()f f+D()fs)f()(7)s(+1)=s()+h2(s()s()(8)s(+1)=s()h2(s()s()2h(L()ss+D()sf)s()A()sff()(9)其中，f()=1(),2(),m()s()=m+1(),m+2(),n()s()=m+1(),m+2(),n()由式(7)(9)得到：f(+1)s(+1)s(+1)=Imh(L()f f+D()fs)hA()fs00(1h2)Inmh2Inm2hA()sfh2Inm2h(L()ss+D()sf)(1h2)Inmf()s()s()(10)将式(10)写为X(+1)=H()X()(11)X()=Tf(),Ts(),Ts()T式中。设离散异质多智能体系统式(1)的拉普拉斯矩阵元素最大值为lmax=maxl11,l12,lnn806智能系统学报第 18 卷 若存在参数 和 满足 1hlmax,2h，lmax 0定理 2若是一个齐次遍历马尔可夫链，其状态空间为,若，那么在控制协议(21)下，连续异质多智能体系统式(2)均方二分组一致当且仅当该系统联合拓扑存在有向生成树。证明类似定理 1 的证明，设：i(t)=i(t)+2i(t)808智能系统学报第 18 卷 根据式(2)和(21)，分如下 2 种情况讨论。i 11）当时，有 i(t)=jNo(t)Siao(t)ij(j(t)i(t)jNo(t)Diao(t)ij(j(t)+i(t)(22)i 22）当时，有 i(t)=2(i(t)i(t)(23)i(t)=2(i(t)i(t)+2jNo(t)Siao(t)ij(j(t)i(t)jNo(t)Diao(t)ij(j(t)+i(t)(24)根据式(22)(24)，得到多智能体系统系统式(2)一阶和二阶智能体的矩阵形式：f(t)=Ao(t)fss(t)+(Lo(t)f f+Do(t)fs)f(t)(25)s(t)=2(s(t)s(t)(26)s(t)=2(s(t)s(t)2(Lo(t)ss+Do(t)sf)s(t)Ao(t)sff(t)(27)其中，f(t)=1(t),2(t),m(t)s(t)=m+1(t),m+2(t),n(t)s(t)=m+1(t),m+2(t),n(t)再由式(25)和(26)，得到多智能体系统式(2)的矩阵形式为 f(t)s(t)s(t)=(Lo(t)f f+Do(t)fs)Ao(t)fs002Inm2Inm2Ao(t)sf2Inm+2(Lo(t)ss+Do(t)sf)2Inmf(t)s(t)s(t)(28)进一步，将式(28)简写成微分方程形式：R(t)=Fo(t)R(t)(29)R(t)=Tf(t)Ts(t)Ts(t)T式中。24lmax 0Fo(t)Fo(t)Fo(t)1n根据引理 4，若，则矩阵主对角线元素为负，非主对角线元素为正，且的每行元素总和为零。显然，至少有一个零特征值，其对应的特征向量为。将连续异质多智能体系统式(29)离散化，设采样时间为，则其相应的离散化方程为(+1)=eFo()()由引理 5 可知，当采样周期足够小时，有：eFo()1n=1n，且eFo()0eFo()式中：为一个随机矩阵，余下证明类似定理 1。3 仿真结果本节将用 3 个例子来验证所得结论的有效性。假定离散和连续情况下马尔可夫切换过程对应的转移概率矩阵均为=231616141214141412例 1 先讨论离散情形，验证定理 1 的有效性。例 2 分析连续情况，验证定理 2 的正确性。例 3 则验证不满足定理 1 条件时，异质多智能体系统式(1)的分组一致将不能实现。图 1 表示多智能体系统式(1)和式(2)的网络拓扑，图 1 中包含 3 个不同的子拓扑，每个子拓扑均包含有一棵生成树。在每个子拓扑中，智能体13 是二阶智能体，构成第 1 组；智能体 4 和 5 是一阶智能体，构成第 2 组。同组智能体之间为合作关系，不同组智能体之间为竞争关系。123541235412354(a)子拓扑 1(b)子拓扑 2(c)子拓扑 3 图 1 含生成树的多智能体系统（1）和（2）切换拓扑Fig.1 Switching toplogies of the multiagent systems (1)and(2)with spanning tree h=0.2 s=1=2.1例 1在离散异质多智能体系统式(1)中，采样时间设为，耦合系数设为且，易知这些参数满足定理 1 的要求。此时，智能体初始位置状态向量设为T0=35436初始速度向量设为T0=122.5此时，在图 2 马尔可夫切换信号的作用下，离第 4 期蒲兴成，等：基于合作竞争关系马尔可夫切换下异质多智能体系统均方二分组一致研究809 散异质多智能体系统式(1)的位置状态和速度如图 3、4。由图 3、4 可知，当系统拓扑结构和相关系数满足定理 1 的条件时，离散异质多智能体系统式(1)在控制协议式(3)下能实现均方二分组一致。100200300400500t/s01234序列状态 图 2 离散马尔可夫切换序列Fig.2 Discrete sequence with Markov switching signal 020406080100t/s6420246速度/(m/s)智能体 1智能体 2智能体 3 图 3 离散多智能体系统(1)中智能体速度变化曲线Fig.3 Velocity trajectories of agents in discrete system(1)020406080100t/s6420246位置/m智能体 1智能体 2智能体 3智能体 4智能体 5 图 4 离散多智能体系统(1)中智能体位置变化曲线Fig.4 Position trajectories of agents in discrete system(1)=1.5=3例 2在连续异质多智能体系统式(2)中，耦合系数设为且，易知这些参数满足定理 2 的要求。智能体初始位置状态向量设为T0=110240初始速度向量设为T0=21.52.2连续多智能体系统(2)的马尔可夫切换序列如图 5 所示，连续异质多智能体系统式(2)的位置状态和速度如图 6 和 7。由图 6、7 可知，当系统拓扑结构和相关系数满足定理 2 的条件时，连续异质多智能体系统式(2)在控制协议式(21)下能实现均方二分组一致。100200300400500t/s01234序列状态 图 5 连续多智能体系统(2)的马尔可夫切换序列Fig.5 Markov switching sequence of continuous multia-gent system(2)020406080100t/s420246速度/(m/s)智能体 1智能体 2智能体 3 图 6 连续多智能体系统式(2)中智能体速度变化曲线Fig.6 Velocity trajectories of agents in continuous system(2)020406080100t/s420241086位置/m智能体 1智能体 2智能体 3智能体 4智能体 5 图 7 连续多智能体系统式(2)中智能体位置变化曲线Fig.7 Position trajectories of agents in continuous system(2)例 3继续分析离散异质多智能体系统式(1)，在其他参数相同情况下，假设系统有 3 个如图 8 所示子拓扑结构，易知每个子拓扑中不包含生成树。123541235412354(a)子拓扑 1(b)子拓扑 2(c)子拓扑 3 图 8 子拓扑不含生成树的网络拓扑Fig.8 Switching subtoplogies with no spanning tree 810智能系统学报第 18 卷 图 911 分别表示切换信号、速度和位置状态随时间变化情况。100200300400500t/s01234序列状态 图 9 拓扑不含生成树的离散多智能体系统(1)的马尔可夫切换序列Fig.9 Markov switching sequence of discrete multiagentsystem(1)with the topology having no spanning tree 0201030507040608090t/s15105051015速度/(ms1)智能体 1智能体 2智能体 3 图 10 离散多智能体系统 式(1)中智能体速度变化曲线Fig.10 The velocity trajectories of agents in discrete mul-tiagent system (1)with the topology having nospanning tree 0201030507040608090t/s30201010200503040位置/m智能体 1智能体 2智能体 3智能体 4智能体 5 图 11 拓扑不含生成树的离散多智能体系统式(1)中智能体位置变化曲线Fig.11 The Position trajectories of agents in discrete mul-tiagent system (1)with the topology having nospanning tree 由图 1011 可以看出，当多智能体系统拓扑结构不包含生成树的时候，多智能体系统式(1)不能实现均方二分组一致。4 结束语基于智能体之间合作竞争关系，针对马尔可夫切换下的离散和连续时间异质多智能体系统，提出 2 种新的控制协议。利用图论、矩阵理论和随机不可约非周期矩阵的相关性质，得到相关系统在马尔可夫切换下实现均方二分组一致的充要条件。数值仿真实验证明了所得结果的有效性。接下来，我们将继续研究概率转移矩阵不完全确定和时滞情况下相应系统的分组一致控制。参考文献：WEI Ren.Multi-vehicle consensus with a time-varyingreference stateJ.Systems&control letters,2007,56(7/8):474483.1CORTES J.Coverage optimization and spatial load bal-ancing by robotic sensor networksJ.IEEE transactionson automatic control,2010,55(3):749754.2BREZHNEV R V,MALTSEV E A.An ontological spa-tial monitoring system for agricultural land monitoringJ.Pattern recognition and image analysis,2015,25(2):201208.3QU Yi,XU Haopeng,SONG Cheng,et 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