工程数学线性代数(第五版).同济大学数学系.pdf

目 录第一章行列式.I1二阶与三阶行列式.12全排列及其逆序数.43 n阶行列式的定义.54对换.85行列式的性质 96行列式按行（列）展开.167克拉默法则.21习题.25第二章矩阵及其运算.29!矩阵.292矩阵的运算.333逆矩阵.424矩阵分块法.47习题.54第三章矩阵的初等变换与线性方程组.571矩阵的初等变换.572矩阵的秩.653线性方程组的解.71习题三.78第四章向信组的线性相关性.811向量组及其线性组合.812向量组的线性相关性.873向量组的秩.904线性方程组的解的结构.945 向量空间.102习题四.106 I 第五章 相似矩阵及二次型.111 1向量的内积、长度及正交性.1112方阵的特征值与特征向坦.1173相似矩阵.1214对称矩阵的对角化.1245二次型及其标准形.1276用配方法化二次型成标准形.131?正定二次型.132习题五.134第六章线性空间与线性变换.二.1381线性空间的定义与性质.1382维数、基与坐标.1413基变换与坐标变换.1434线性变换.1465线性变换的矩阵表示式.149习题六.153习题答案.155第一章行列本章主要介绍n阶行列式的定义、性质及其计算方法.此外还要介绍用n 阶行列式求解n元线性方程组的克拉默(Cramer)法则.1二阶与三阶行列式、二元线性方程组与二阶行列式用消元法解二元线性方程组J a u X)+a=6),()lazi-ri+a22x2=2.为消去未知数必,以U与分别乘上列两方程的两端,然后两个方程相减,得(II 22|221)1=(122-12*2；类似地，消去,得(all 22 _ a 12 21)2=ll*2-1 21 当。”。2”井时,求得方程組(1)的解为1-,X1-(上Q”a22 1al2 a21 aiia22 a 12 an(2)式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得.其中分母flllfl22 2a21是由方程组(1)的四个系数确定的,把这四个数按它们在方程组(1)中 的位置,排成二行二列(横排称父、竖排称烈)的数表all al2(3)a2l a22 表达式afl a?2-a12a称为数表(3)所确定的二阶行列式,并记作(4)a 22数%(i=1.2;j=l,2)称为行列式(4)的元素或元,元素的第一个下标i 称为酸，表明该元素位于第行,第二个下标)称为歯,表明该元素位于第 j列.位于第i行第列的元素称为行列式(4)的(而.上述二阶行列式的定义,可用对角线法则来记忆,参看困L1.把a“到a江 的实联线称为圭亚鱼线,即z到的虚联线称为图亚更线,于是二阶行列式便是主对角线上的两元索之积减去副对角 线上两元素之积所得的差利用二阶行列式的概念,(2)式中x,x2的分子也可写 成二阶行列式,即頃 b 0 22 122=0 220“-b,a2l=21图1.1瓦若记D=師与ii 21a 12a 22a 12a 22。2=21仇那么(2)式可写成Lbbi仇22D2II al2a”0 21b1bi万一:aa2l。22注意这里的分母D是由方程组(1)的系数所确定的二阶行列式(称系数行 列式),孙的分子D:是用常数项瓦，替换D中小的系数。“，a所得的二 阶行列式,2的分子D是用常数项仇,替换D中4的系数2,。22所得的 二阶行列式.例1求解二元线性方程组解由于因此D,=D2戶一 2/+22=12.3212；=3-(-4)=70,-212-(-2)=14,=3-24=-21,1_Di _14_oDz-_21D=32二、三阶行列式定义 设有9个数排成3行3列的数表 an 0 12 ai3 2l a22 a23(5)a3 a32 a33 记 a1l a2 a 13 021 a?2 a 23a3t a31 a33=a”a22a33+a2 023a31+a 13021。32-“a23a32 a2a21a33-a13a22a31，(6)(6)式称为数表(5)所确定的三阶行列式.上述定义表明三阶行列式含6项,每项均为不同行不同列的三个元素的乘 积再冠以正负号,其规律遵循图1.2所示的对角线法则:图中有三条实线看做是 平行于主对角线的联线,三条虚线看做是平行于副对角线的联线,实线上三元素 的乘积冠正号,虚线上三元素的乘积冠负号.图1.2例2计算三阶行列式 1 2-4 D=-2 2 1.一 3 4 一2 解按对角线法则,有D=lx2x(-2)+2xix(-3)+(-4)x(-2)x4-1x1X4-2x(-2)x-2)-(-4)x2x(-3)=-4-6+32-4-8-24=-14.例3求解方程 3 1 1 12 3=0.4 9，解方程左端的三阶行列式D=3x2+4n+18-9x-22-12=5/+6,由5n+6=0 解得=2或=3.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,为研究四阶及更高阶行列式,下面 先介绍有关全排列的知识,然后引出，,阶行列式的概念.2全排列及其逆序数先者个例子.引例用1,2,3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?解这个冋题相当于说,把三个数字分别放在百位、十位与个位上,有几种 不同的放法?显然,百位上可以从1,2,3三个数字中任选个,所以有3种放法;十位上 只能从剰下的两个数字中选一个,所以有2种放法;而个位上只能放圾后剰下的 一个数字,所以只有1种放法.因此,共有3X2X1=6种放法.这六个不同的三位数是:123,231,312,132,213,321.在数学中,把考察的对象,例如上例中的数字1,2,3叫做遨.上述问题就 是:把3个不同的元素排成一列,共有几种不同的排法?对于n个不同的元素,也可以提出类似的问题:把n个不同的元素排成一 列,共有几种不同的排法？把n个不同的元素排成一列,叫做这”个元素的锤烈（也简称腮）.n个不同元素的所有排列的种数,通常用P表示.由引例的结果可知尸,=321=6.为了得出计算P,的公式,可以仿照引例进行讨论：从n个元素中任取个放在第一个位置上,有n种取法；又从剩下的”-1个元素中任取个放在第二个位置上,有“-1种取法；这样继续下去,直到最后只剩下一个元索放在第n个位置匕只有1种取 法.于是=,（h-1）3-2,1=!.对于n个不同的元素,先規定各元素之间有一个标准次序（例如n个不同,4,的自然数,可规定由小到大为标准次序),于是在这个元素的任一排列中,当 某两个元索的先后次序与标准次序不同时,就说有1个逆建.个排列中所有逆 序的总数叫做这个避您速序数.逆序数为奇数的排列叫做触烈,逆序数为偶数的排列叫做超挑烈.下面来讨论计算排列的逆序数的方法.不失一般性,不妨设n个元素为1至n这”个自然数,并规定由小到大为 标准次序.设PPz”，P“为这”个自然数的个排列，考虑元素自(i=l,2,，”),如果比大的且排 在上前面的元素有个,就说P,这个元素的逆序数是小全体元素的逆序数之 总和t=+“+r”二 W,即是这个排列的逆序数.例4求排列32514的逆序数.解在排列32514中:3排在首位,逆序数为;2的前面比2大的数有一个(3),故逆序数为1;5是最大数,逆容数为0;1的前面比1大的数有三个(3、2、5),故逆序数为3;4的前面比4大的数有一个(5),故逆序数为1,于是这个排列的逆序数为 t=0+l+0+3+l=5.3”阶行列式的定义为了给出n阶行列式的定义,先来硏究三阶行列式的结构三阶行列式定 义为a!1 0 12 a 13a21 a22 a2i-112233 al2a23a3l+I3a2ia320 31 Q 32 3一 a II a23 a32-a 12a21a33 3a22 a31 (6)容易看出:(i)(6)式右边的每一项都恰是三个元素的乘积,这三个元素位于不同的 行、不同的列.因此,(6)式右端的任一项除正负号外可以写成a出Q%这 5 里第一个下标（行标）排成标准次序123,而第二个下标（列标）排成,它 是1,2,3三个数的某个排列.这样的排列共有6种,对应（6）式右端共含6项.（ii）各项的正负号与列标的排列对照.带正号的三项列标排列是123,231,312;带负号的三项列标排列是132,213,321.经计算可知前三个排列都是偶排列,而后三个排列都是奇排列因此各项所 带的正负号可以表示为（-1）,其中t为列标排列的逆序数.总之,三阶行列式可以写成all a 12 al302i a 22 a 23=2（-l）a。,a 31 0 32 33其中t为排列色的逆序数,2表示对1,2,3三个数的所有排列小大取 和.仿此,可以把行列式推广到一般情形.定义 设有个数,排成“行”列的数表Qu a 12 i.2I a 22 a2.作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积,并冠以符号（-1）,得到形如（-1）、。2 厶%,”（7）的项，其中出力为自然数1,2,，”的一个排列,C为这个排列的逆序数.由于这样的排列共有”!个,因而形如（7）式的项共有”!项,所有这”！项的 代数和（-Da,a?%a”.称为”阶行列式,记作2ii 时,经对换后a的逆序数不变而6的逆 序数减少1.所以排列。1a/a仍与排列aA必心 的奇偶性不同.再证一般对换的情形.设排列为。.仇瓦加G,把它作m次相邻对换,变成。1a心孙G,再作w+1次相邻对换,变成曲。瓦G.总之,经2m+!次相邻对换,排列由 血。如q变成排列。a仇内旳c.所以这两个排列的奇偶性相反.推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数,偶排列变成标准排列的对换次数为 偶数.证 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标施排列是偶排列（逆序数 为）,因此知推论成立.证毕利用定理I,下面来讨论行列式定义的另种表示法.对于行列式的任一项（一1）I。,其中./为自然排列/为排列”由人的逆序数,对换元素彩与,成（-1ka吟,这时,这一项的值不变,而行标排列与列标排列同时作了一次相应的对换.设新的行标排列 Ij”n的逆序数为，则r为奇数;设新的列标排列由的逆序数为,则（-1）=-（-1.故（-1）=（14、.于是（-l）a,“冷。”,“=叫乙9 而由定理2,有。=2（-1）叫叫，故 证毕由此性质可知,行列式中的行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行 成立的对列也同样成立,反之亦然性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.证设行列式“*i.0,=:.是由行列式D=det（a“）对换i.j两行得到的,即当AXi,j时,=a“;当i,j时，=味,%二%，于是Di=T）仇/%”=（-1）%a”,其中!为自然排列,t为排列M3 八的逆序数.设排列 的逆序数为,则（-1）=（-1）,）=:aib、I 6|.D2=det（ft）=:,b.i h 证明 D=D|D”证 对D|作运算+,把化为下三角形行列式,设为Pn 0D1=：=pH，Ph Pu对D:作运算c,+,把D2化为下三角形行列式,设为2=：=Qu于是,对D的前大行作运算+,再对后”列作运算c,+,把D化为 下三角形行列式 14.故 D=?“q”9=D；D2.例11计算2”阶行列式b d其中未写出的元素为.解 把D?中的第2n行依次与第2”-1行、第2行对调（作2”-2次 相邻对换）,再把第2列依次与第2n-1列、第2列对调,得Dz“=(T严-根据例10的结果,有D?,=2.2(-1=(ad-be)D2(.).以此作递推公式,即得。2”=(ad-6c)2D2(,-2)=(ad-be)D2=(ad-be).6行列式按行（列）展开一般说来,低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要筒便,于是,我们自然 地考虑用低阶行列式来表示高阶行列式的问题.为此,先引进余子式和代数余子 式的概念.在n阶行列式中，把（i,j）元所在的第行和第j列划去后,留下来的-1阶行列式叫做（,j）元的余子式,记作M”;记 A戸（-1）的,A叫做(i,j)元、的代数余子式.例如四阶行列式an a i2 a”a I4a21 a 22 a 23 auD=a31 a32 a33 a34a4t a42 a43 a44中（3,2）元。32的余子式和代数余子式分别为ll I3 flHMn=a a”a 24，a 4i 43 a 44A32=(-1)J4JM32=-m32.引理 一个”阶行列式,如果其中第i行所有元素除（,j）元外都为零,那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即D=a以“.证先证（i,j）=（l,D的情形,此时a11 0 0D=:.ai a.2 a.这是例10中当=1时的特殊情形,按例10的结论，即有D=altMn,又 Ah=(-1),+,Mu=Mh,从而。=a A11.再证一般情形,此时I6.au。D=0 産0.aHl ani aHK为了利用前面的结果,把D的行列作如下调换:把D的第i行依次与第 1行、第i-2行、第1行对调,这样数句就调成（l,j）元,调换的次数为 i-L再把第，列依次与第-1歹、第，-2列、第1列对调,这样数、就调 成（1/）元,调换的次数为，-1总之,经，+，-2次调换.把数调成（1,1）元,所得的行列式=（-1）而 中（1,1）元的余子式就是 D中（3,，）元的余子式Mh.由于2的（1,1）元为,第1行其余元索都为,利用前面的结果,有D(=,于是。=(-D+yD.=(-1)网”=aAit.定理3行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积 之和,即D=ayi Afl+al2 Ai2+a；“A；”(=1,2,),或 D=a1A1)+aAj；+a.；A(J=l,2,1,).证D=a(l+0+0 0+aj2+0 0+0+%17 根据引理,即得D=ad Ah+ai2Ai2+aA(i=l,2,，”).类似地,若按列证明,可得D-ahAy+a2jA2i+-+avAv(j=L,2,，”).证毕这个定理叫做行列式按行(列)展开法则.利用这一法则并结合行列式的性 质,可以简化行列式的计算.下面用此法则来计算例7的3-521D=1-1 21 3-40 1-15 3-3保留33,把第3行其余元素变为,然后按第3行展开,D Cl251-11-1113-10010-5-530=(-1产35-11-53-611-52-5-10-8056-52-5=40.12一5100例12证明范德蒙德(Vandermonde)行列式(8)其中记号“n”表示全体同类因子的乘积.证.用数学归纳法.因为1 I 2=工21=1J(jTi-X,),所以当=2时(8)式成立.现在假设(8)式对于”-1阶范德蒙德行列式成立,要证(8)式对n阶范德蒙德行列式也成立.为此,设法把D,降阶:从第n行开始,后行减去前行的倍,有 18.按第1列展开,并把每列的公因子（孙）提出,就有上式右端的行列式是n-1阶范德蒙德行列式,按归纳法假设,它等于所有（,-可）因子的乘积,其中ij2.故D=（.r2-x,）（X,-X!）-+aA.,=0,i ，.证 把行列式。=i a（.a.I 4”叼+勺2 A戶+0A*=:.%a”a.aMn在上式中把a.4换成a*（&=1,.），可得.19 第i行a,(A/(+a,2A,2+-+a.A,.a“a 第 i 行.i a当时,上式右端行列式中有两行对应元素相同,故行列式等于零,即得a”AO+,=0(*_/)-上述证法如按列进行,即可得,+。2,+amA.;=0(.证毕综合定理3及其推论,有关于代数余子式的重要性质:&fD,当“，a3.解 把四个点的坐标代入曲线方程,得线性方程组0+2+“3=。+2即+4a2+8a3=。+3+9a2+27a3=a0+4al+16a2+64a3=3,3,其系数行列式D=1111124813927141664是个范德蒙德行列式,按例12的结果（例12中范德蒙德行列式取。丁的形 式）,可得。=1*23121=12,23而Di=343-31234（庁14916-2一 6-1526827642J-3门6 1812 484180-2一 6-15123400-3026122612=36;1111111111343-31234123414916343-314916182764182764343-3=-18;=24;=-6.04184841848=一（-3）D?=5=4+2046因此,按克拉默法则,得惟解a=3,即=一 3/2,凹=2,即=-1/2,即曲线方程为一戸+2储.撇开求解公式（12）,克拉默法则可叙述为下面的定理:定理4如果线性方程组（11）的系数行列式D#0,則（11）一定有解,且解 是惟的定理4的逆否定理为:定理4如果线性方程组（H）无解或冇两个不同的解,则它的系数行列式 必为零.线性方程组（11）右端的常数项第.,，b,不全为零时,线性方程组（11）叫做非齐次线性方程组,当,瓦全为零时,线性方程组（11）叫做齐次线 性方程组.24 对于齐次线性方程组filial+Q|2 +.+0=0，叫+?+广。,（13）41 7|+a-2H2+ax=0,与=科=“=0 一定是它的解,这个解叫做齐次线性方程组（13）的零解 如果组不全为零的数是（13）的解,则它叫做齐次线性方程组（13）的非零解齐 次线性方程组（13）一定有零解,但不一定有非零解.把定理4应用于齐次线性方程组（13）,可得定理5如果齐次线性方程组（13）的系数行列式DK0,则齐次线性方程组（13）没有非零解.定理5如果齐次线性方程组（13）有非零解,则它的系数行列式必为零定理5（或定理5）说明系数行列式D=0是齐次线性方程组有非零解的必 要条件.在第三章中还将证明这个条件也是充分的.例16问取何值时,齐次线性方程组（5-A）x+2y+2z=0,v 2x 十（6 ）y=0.2x+（4）z=0有非零解?解由定理5可知,若所给齐次线性方程组有非零解,则其系数行列式D=0.而5一人 2 2D=2 6-A 02 0 4-A=（5）（6）（4）-4（4）-4（6-A）=（5-A）（2-A）（8-A）,由 D=0,得=2、A=5 或 A=8.不难验证当2、5或8时,所给齐次线性方程组确有非零解.习题一1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:2 0 11-4-1 5-1 8 3(1)a b c b c a X cab-25(3)a 6 ca2 b2 cl y z+y(4)y+y x x+y x y2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:(0 1 2 3 4;(2)4 1 3 2;3 4 2 1:(4)2 4 1 3;（5）1 3（21）2 4（2豌）；（6）1 3（2棘-D（2）（2第-2）2.3.写出四阶行列式中含有因子。“a的项.4.计算下列各行列式:其中a.b.c互不相等.6.证明：ax by ay+bz az+ay+bz az bx ax+az+bx ax+by ay+a2(a+2(a+2)2(a+3)2 从(6+BJ(+2(6+3)2 J(e+02(c+2)2 Q+3)2 d2(d+D2(d+2)2(d+3)z26=(b)(a-c)(a-d)(6-c)(6id)(c-d)(a+6+c+d);=aI*+a+,+G|x+a0.7.设阶行列式D=det（）,把D上下翻转、或逆时针旋转90.、或依副对角线翻转,依次得证明8.计算下列各行列式（2为阶行列式）:（1）D,=,其中对角线上元素都是叫未写出的元素都是（h提示:利用范德蒙德行列式的结果.a.b.a I M（4）,其中未写出的元索都是;27(5)D.=det(/),其中 ay=;1+也!I1 1+a i(6)D11n.,其中町。20.1 1 1+au3 1-12.，-5”1 3-49.设 D=,2 0 1-11 7 3.-3D的(i,元的代数余子式记作A。,求Aji+3A3z 2A3s+2A乂.10”用克拉默法则解下列方程組;X|+xa+x3+4=5,+2*2 3+4 4=-2,(1)=0Xi+xj+(1-A)x3=0 有非零解?.28.第二章矩阵及其运算1矩 阵定义1由m X个数（i=1,2,加=1,2,）排成的加行列 的数表即1 12 4”2i a 22 a2=1 a m2 Q.R称为m行兀列矩阵,简称X w矩阵.为表示它是个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它,记作%2 0；a2i a 22.a 2-A=:,41 am2，这根X 个数称为矩阵A的元索,简称为元,数位于矩阵A的第:行第，歹,称为矩阵A的（山庄.以数为（i,j）元的矩阵可简记作（）或（）.X n矩阵A也记作4.*.元素是实数的矩阵称为镂库,元素是复数的矩阵称为挺阵,本书中的矩 阵除特别说明者外,都指实矩阵行数与列数都等于n的矩阵称为”阶矩阵或酬堡n阶矩阵A也记作A.只有一行的矩阵A=（at a?a,）称为行矩阵,又称行向量.为避免元索间的混淆,行矩阵也记作A=（。1,。2,，）只有一列的矩阵.29 b2B=；称为廳鲜，又称烈鯉两个矩阵的行数相等、列数也相等时,就称它们是同型矩阵.如果4=(%)与8=(%)是同型矩阵,并且它们的对应元素相等,即0t)=6(*=1,2,mjJ=1,2,),那么就称矩阵A与矩阵B 照,记作A=B.元素都是零的矩阵称为蟀院,记作.注意不同型的零矩阵是不同的.矩阵的应用非常广泛,下面仅举几例.例1某厂向三个商店发送四种产品的数量而列成矩阵all al2 al3 a MA=a2l a22 a23 a24 a31 a32 a33 341其中a“为厂向第t店发送第，种产品的数!！.这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵其中如为第t种产品的单价,如为第2种产品的单件重量.例2四个城市间的单向航线如图2.1所示.若令=1,从，市到，市有1条单向航线,a=0,从市到，市没有单向航线,则图2.1可用矩阵表示为0 111,!0 0 0,0 10 010 10图2.1一般的,若干个点之间的单向通道都可用这样的矩阵表示.例3”个变殽叫,叫,，工与，n个变量“，”，,口之间的关系式 30.1=aJ：i+i2 2+1.“,2=O21X|+a2ix2+-+a2x,S.(2).%=%Hi+a2 x2+amx表示一个从变量,必,，h”到变量,，的缓坡嬖，其中先为常 数线性变换(2)的系数构成矩阵4=(4)”.给定了线性变换(2),它的系数所构成的矩阵(称为艰蠟逹)也就确定.反 之,如果给出个矩阵作为线性变换的系数矩阵,则线性变换也就确定.在这个 意义上,线性变换和矩阵之间存在着对应的关系.例如线性变换”=小，=%，.乂=叫做恒等变换,它对应的一个n阶方阵1 0 00 1-0E=:：.0 0 1叫做”阶要螂逹,简称豊鰻这个方阵的特点是:从左上角到右下角的直线(叫做(圭)过楚)上的元素都是1,其他元素都是.即单位阵E的(W,j)元为=：.(3尸1，2,0,当 zWj又如线性变换尸1.=22，.=A.x,对应n阶方阵A,0-0,0 A=.；.,0 0 A.这个方阵的特点是:不在对角线上的元索都是。.这种方阵称为对角矩阵,31.简称对角阵.对角阵也记作A=diag（Al,A2,-,A,）.由于矩阵和线性变换之间存在对应的关系,因此可以利用矩阵来研究 线性变换,也可以利用线性变换来解释矩阵的含义.例如矩阵。:所对应的线性变换卜I=工,I=0可看作是xOy平面上把向盘中=（；）变为向母而:=（；）=（；）的变换（或 看作把点P变为点P的变换,参看图2 2）,由于向量函是向量在轴上 的投影向量（即点是点P在轴上的投影）,因此这是个投影变换.图2.2 图2.3（cos 0-sin p,屮 屮对应的线性变换sin（p cos fplX|=cos（p-ysin（p,.yI=xsin p+ycos（p把O平面上的向盘中=（；）变为向量碉=（；设的长度为福角为。,即设 X=rcos 夕,y=rsin 6,那么X|=r（cos pcos 6-sin（psin 6）=rcos（6+sin 0）=rsin（0+（p）,表明函的长度也为r而辐角为6+.因此,这是把向量（依逆时针方向）旋 转平角（即把点P以原点为中心逆时针旋转角）的旋转变换（参看图2.3）.32.2矩阵的运算、矩阵的加法定义2设有两个矩阵A=(%)和B=(%),那么矩阵A与B的和 记作A+B,规定为,a”+b“an+*12,。+”。21+*21 0 22+*22 。2”+*2.A+B=.a-i+*i a2+*-2 J+6.应该注意,只有当两个矩阵是同型矩阵时,这两个矩阵才能进行加法运算.矩阵加法满足下列运算规律(设A,B,C都是X 矩阵)(i)A+B=B+Ai(ii)(A+B)+C=A+(B+C).设矩阵A=(4),记-A-(a),-A称为矩阵A的负复速,显然有A+(-A)=O,由此规定矩阵的减法为A-B=A+(-B).二、数与矩阵相乘定义3数与矩阵A的乘积记作JIA或/U,规定为 a“Aa(2 Aa),.Aam!a.?,a.数乘矩阵満足下列运算规律(设A,B为根X”矩阵,“为数):()4=(M)；(ii)(A+/z)A=AA+/xA;(iii)A(A+B)=AA+AB.矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.33三、矩阵与矩阵相乘设有两个线性变换/必=1t+即2叫+3必,、1 一,，1%a2l-rl+。22H2+。2323,1=6+612 r2,”2=。21 +2，2 (4)、3=优出+%2“，若想求出从,到加,加的线性变换,可将(4)代入(3),便得12 21+。1331)+(。“d2+a 12622+a 13 月2)，2,仃)1，2=(。21 11+a22 b21+2=21+02212+十 021t,+%2工2+利用矩阵的乘法,可记作y=ax.这里,列向量（列矩阵）X表示力个变量叫,叫,列向量Y表示加个37变量”，力.,.线性变换（2）把变成丫,相当于用矩阵A去左乘X得到 Y.用矩阵A=（：去左乘向欧=（；）,相当于把向黄投影到X轴上（参看图2.2）.sin kep cos k(p用矩阵AT005 m n左乘向量=(),相当于把向量前旋转屮sin p cos p I、丁，角(参看图2.3).进步还可推知,以A*=(8sp-别 左乘向量,应sin p cos p I把向生旋转”个角,即旋转np角,而旋转np角所对应的矩阵为 cos nfp 一 sin n(p)sin np cos np/例6证明cos p-sin/cos n(p-sin np sin(p cos(p I sin np cos np从前段说明已能推知本例的结论,下面按矩阵寤的定义来证明此结论.证 用数学归纳法,当=1时,等式显然成立.设=时成立,即设 cos(p-sin p：/cos kp 一 sin k(p sin(p cos(p/要证非工+1时成立.此时有/cos(p-sin 1 sin fp cos(p I_/cos(p-sin(pk I cos 夕 sin p cos(p)(sin p/cos kp-sin k(p /cos ip sin kp cos k(p I(sin 屮_(cos kcpcos cp-sin sin p sin 加cos(p+cos sin p(cos(+1)sin()(psin(+1)火 cosQ+1)中于是等式得证.cos p/-sin(p cos 屮，一 cos Apsin p 一 sin 9?cos ep-sin sin p+cos Aojcos 1=flll-Tl+即22+小,2=ai+a2+七，I“=a“i,+a2jc2+ax,它的系数矩阵是个阶矩阵A,若记则线性变换(7)可记作Y=AX(8)以A的伴随阵A 左乘上式两端,并利用例9的结果,可得 A Y=AAX,即 A Y=AX,当I A I/O时，可解出x=TTTA，y,记B=:I A,上式可记作X=BY.(9)(9)式表示一个从y到X的线性变换，称为线性变换(8)的逆变换.我们从(8),(9)两式分析变换所对应的方阵A与逆变换所对应的方阵B之 间的关系.用(9)代入(8),可得 42.y=A(B)=(AB)Y,可见AB为恒等变换所对应的矩阵,故AB=E.用(8)代入(9)得X=B(AX)=(BA)X,知有BA=E.于是有AB=BA=E.由此我们引入逆矩阵的定义.定义7对于n阶矩阵A,如果有一个”阶矩阵B,使AB=5A=E,则说矩阵A是婴的,并把矩阵B称为A的迴更険,简称遗屋.如果矩阵A是可逆的,那么A的逆阵是惟的这是因为:设B,C都是A 的逆阵,则有B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C,所以A的逆阵是惟的.A的逆阵记作A-即若AB=BA=E/lJ B=A-.定理1若矩阵A可逆,则I A|证A可逆，即有A:使AA-E.故|A|AT|=|E|=I,所以丨A丨 六.定理2若lAlWO,则矩阵A可逆，且A 1=A ,(10)其中A 为矩阵A的伴随阵证由例9知AA =A A=I A I E,因IA I WO,故有厶击厶二击A=E所以,按逆阵的定义,即知A可逆,且有击 证毕当丨A|=0时,A称为鱷至凶,否则称非奇异矩阵.由上面两定理可知:A 是可逆矩阵的充分必要条件是I A IHO,即可逆矩阵就是非奇异矩阵由定理2,可得下述推论.推论 若 AB=E(或 BA=.E)U B=A”.证|A|B|=|El=l,故|A|XO,因而AT存在,于是b=eb=(a-a)b=a(ab)=ae=a1.证毕方阵的逆阵满足下述运算规律:43.(i)若A可逆,则亦可逆,且(A-)t=A(ii)若A可逆,数,则AA可逆,且(乂)7=一二(iii)若A,B为同阶矩阵且均可逆,则AB亦可逆,且(AB)-=B-A1.证(AB)(eT)=A(BB7)A=AEA1=AA=E,由推论,即 有(AB)t-I-.(iv)若A可逆,則4丁亦可逆,且(aT)-=(AT)t证 At(A-)T=(AA)t=Et=E,所以(aT)t=(A )t.证毕当A可逆时，还可定义A=E,A*=(A 1)*,其中k为正整数.这样,当A可逆,为整数时,有 AA=A,(A)，=aM.例10求二阶矩阵A=(：的逆阵利用逆阵公式(10),当丨A|#0时,有.-I _ 1._ 1/d-b厶=TaTa=d-c 例n求方阵1 2 3A=2 2 13 4 3,的逆阵.解 求得;Al=2W0,知A存在.再计算丨A|的余子式Mi=2,=3 9 M ij=2 9Mu=-6,M22=-6t Mz3=-2,Mji=-4,M32=-5 9 M33=2,Mu-M2I 必4 2 6-4得 A*=-MgMn-M32=-3-6 5丹-M23 M3J.2 2-2 443所以TaTa1321-3例12设313.,B=-2A=12322453123301求矩阵X使其满足AXB=C.解若4157存在,则用A 7左乘上式,右乘上式,有A AXBB =A CB,即 x=acb.由上例知I AIKO,而|B|=1,故知A,B都可逆,且是 于解2 52 1-33 _ 1 13-21一 A=例13,AP=PA,求 A.|Pl=2,P-=14-2-1 1A=PAP,A2=PAP PAP*=PA2P ,A=PAP1,而故Y MY：）（；“需 7瑞（iT篇（）.45设 9(x)=a0+):+,+ax为的，次多项式,A为”阶矩阵,记(A)=a0E+atA+aA,3(A)称为矩阵A的机次多项式.因为矩阵AA1和E都是可交换的,所以矩阵A的两个多项式屮(A)和“A)总是可交换的,即总有p(A)f(A)=f(A)(A)=a0E+alA+aA=Pa0EP+Pa,AP +PaMAP=P（A）=a0E+alA+-+aA?(A,)中(2)屮(，)例14设P=1 1 1 11 0 2,A=21 1-1求 A）=A3+2A2-3A.-11 1 0 2解 IPI=1 0 2 士!011-1 1 1,AP=PA,-3,02=6.知P可逆,从而-1A 二 PAP-中（A）=P（A）p7.而9（1）=0,尹（2）=10,（-3）=0.故（A）=diag（0,10,0）.46,而于是-1口（A）=P（A）P7=10 1 0=0 0 0 00 1 0A uA建A 130 2j|10 Utp,A21 A3 1 A12 A 22 A 32A2J Aji=-J 0 0 0A23 A”J A12 A22 A32Al-I _，3人=一 1 1=0A32=-，=3,1 0 1W（A）=5 0 0 01 0 14矩阵分块法对于行数和列数较高的矩阵A,运算时常采用金魁,使大矩阵的运算化 成小矩阵的运算,我们将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每 个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵例如将3X4矩阵Gn 0 13 a A=fl 21 a22 a23 a24a 32 a 33 a 川,分成子块的分法很多,下面举出三种分块形式:47即Au，A|2，A2,A22为A的子块,而A形式上成为以这些子块为元素的分块 矩阵.分法(ii)及(iii)的分块矩阵请读者写出.本章第2节证明公式丨AB I=I A I I B I时出现的矩阵(,及-E B Ii A fl正是分块矩阵,在那里是把四个矩阵拼成一个大矩阵,这与把大矩-E I阵分成多个小矩阵是同一个概念的两个方面分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似,分别说明如下:(i)设矩阵A与B的行数相同、列数相同，采用相同的分块法,有An AlrA=:：,B=A,(A,.其中A与B”的行数相同、列数相同,那么B Blr B“Atl+B1(A I,+BlrA+B=:A“+Bfl A,r+B,rA ii(ii)设 A=,A为数,那么(iii)设A为,X，矩阵,B为/Xn矩阵,分块成其中A“，A,?,，A”的列数分别等于B”，B,，B“的行数,那么其中 q=財(：=1,，$；，=i,.例15设,48求AB解10-1101210 01 00 001,B=1-11-1020-11042把,3分块成1 0-1.11-1.-1 E01,21020-10 01 01 00 14 i2 0E A,Bu IAI E I I B2BhAI Bn+B21A】Bh+B2a,+b22Jr;抽:H，：)A1+B2z(iv)设 A=-300-1-2 4-1 1-1 2；H:筒;:AB=1 0-1 2-2 4-1 1,则 At=1 00 13 33 1簿A=BA=0 0 bEE%则而于是E OE42+021010TAA；(v)设A为阶矩阵,若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块,其余 子块都为零矩阵,且在对角线上的子块都是方阵,即OA,49 其中,&=1,2）都是方阵,那么称A为金幽嬷呼 分块对角矩阵的行列式具有下述性质由此性质可知,若|A；|WO（i=1,2.,s）:则丨AIWO,并有5例16设A=0 0所以A1=0 03 1,求 At2 15:000:3 1;2 1A1 A2解 A=对矩阵分块时,有两种分块法应予特别重视,这就是按行分块和按列分块.根X”矩阵A有m行,称为矩阵A的m个行向量,若第i行记作a：=（a”，3,），则矩阵A便记为A=.I冽X，矩阵A有筌列,称为矩阵A的个列向盘,若第，列记作 今后列向母（列矩阵）常用小写热体字母表示,如o,a,x等,而行向fiH行矩阵）则用列向他的转 置表示,如oT.aT.xT等.50对于矩阵A=(,与矩阵8=(%),x.的乘积矩阵AB=C=(%)”,若把A按行分成块,把B按列分成”块,便有由此可进步领会矩阵相乘的定义.以对角阵A.左乘矩阵A-时,把A按行分块,有可见以对角阵A,左乘A的结果是A的每一行乘以A中与该行对应的对角元.以对角阵A,右乘矩阵A&-时,把A按列分块，有12.AA=(at,a2,a)=(A:at,A2 a2,A.a,),A.可见以对角阵A右乘A的结果是A的每一列乘以A中与该列对应的对角元.例17 证明矩阵A=的充分必要条件是方阵AT A=O.证条件的必要性是显然的,下面证明条件的充分性.设A=()MK”，把A用列向量表示为A=(%,a2，明),则51T z T Ta.a,%a.a,0.J-ala I a：a?即AtA的(i J)元为a：a,因AJA=0,故a：a,=0(i,j=1,2,，”)，特殊地,有a同=0(j=1,2,),而 a：a,=（a，a2，）?-+aj+at,.at由a：,+鬲+a=0,（因%为实数）得。=a2i=am）=0,（；=1