工程力学第三版教学 第二章 力系的平衡方程及其应用.pdf
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1、第二章力系的平衡方程及其应用本章主要研究系的简化、平衡条件和平衡方程,并应用平 衡方程求解物体及简单物体系统的平衡问题_直2-1平面一般系的简化回2-2平面系的平衡方程及其应用回习题课-回 2-3考虑摩擦时物体的平衡直2-4空间的平衡方程及其应用I 1 2-5物体的重心与形心年双中及网址:http:/-StringersFloor beam、2-1平面一般系的简化A平面一般系的工程实例4年教中及,社网址:http:/复习:的平移定理A复习:平面汇交力系的合成纭二E4多边形规则:作多边形,找封闭边。厂_ I隧|丨丨台4午双中及 甥 网址:http:/A复习:合力投影定理:尸R=K+B+居=2耳%
2、=耳y+Ky+=ZEJ平面汇交系合力的大小和方向分别为:yX外二小竈+以=)2+0:)/式中a为合力与X轴所夹的锐角。tanaK|I由%教履,社題网址:http:/一、平面一般系的简化1.平面一般系向作用面内一点简化主矢和主矩月二GM=此(4)FF;=F2,M2=MO(F2)F:=F,M=Mo(FjF:=Fn,Mn=Mo(FJ 尺=Z耳=即_M0=Mi=M0(Fi)_合手敖公及加覇网址:http:/A平面一般系的主矢和对简化中心的主矩:尺二Z平面一般系的主矢。M0=ZM。(耳)平面一般系对。点的主矩。思考:能否称只为合力?能否称“涉合力偶?若选取不同的简化中心,对主矢、主矩有无影响?_1 冋鹿
3、%款履題网址:http:/A平面一般系向作用面内一点简化结果:平面一般系向作用面内任一点。简化,可得一个和 个偶,这个力等于该系的主矢,作用线通过简化中心。这个偶的矩等于系对于点O的主矩。皿合4T教4及题网址:http:/主矢大小和方向:X扱=桨二与=耳/=Z 理=小口tana=/E与 厶E主矩的大小及转向:M=ZM(FJ%芋敖之发舅网址:http:/平面固定端的约束分析4年教中及,社网址:http:/A固定端工程实例4 T教中4K社題网址:http:/3.平面一般系的简化结果分析简化结果为合力偶,此时主矩与简化中 心的位置无关。简化结果为过简化中心的合力。IK NI IR名手敖了肌题网址:h
4、ttp:/冗WO(3 简化结果为不过简化中心的合力。其中Mf FR=F;合力矩定理根/4=。=河。(耳)系平衡。网I向4教,及 題网址:http:/例2-1如图所示平面一般系,已知工=尸2=10 N,尸3=居=10 N,若各方格边长=10 cm,试求力系向。点的简化结果。解(1 选取直角坐标系。町(图a 2 计算系的主矢和对。点的主矩%=、二一片+0-cos45+玛cos45=片=10N%=0 8+片 sin 45+冗 sin 451 ON+10J2 Nx +10V2 Nx 2 2二 10N I-尺二J(Z%+(Z,1+102 N=14.14NW合%款卡及题网址:http:/z工tana=1,
5、0=45Z4Mo-Mo(F)=Fxa+F2a-F3 cos 45 x 2q+/cos 45 x 2a=2x10 x0.lN-m=2N-m平面一般系、尸2、死,/4向。点 简化,得到作用于。点的个/,和 个偶,如图b所示。思考:本例中力系的最终简化结果是什 么?合%款履題网址:http:/练习:已知=2kN,g=4kN,=10kN,求此力系的简 化结果。由%款履題网址:http:/解:F;X=R=-FI+F3 COS a=4 kN 尸、二Z 尸2+&sin a=4 kN月=J(凡)2+(g=+42 kN=5.65kNMo-F、Q+F3sma-a-F3 cos aa-4a(kN m)河臼合
6、4T教中)及题网址:http:/ 2-2平面系的平衡方程及其应用一、平面一般系的平衡条件和平衡方程1.平面一般系平衡的充要条件力系的主矢和对作用面内任意点的主矩都等于零,即呢=0。=02.平面一般系的平衡方程一 FUY+WF,M=ZM。区)=一F=0平面一般系的平衡方程。Fv=0 (基本形式、两影一矩式)H=0)II|G4 nH版晶題网址:http:/A平面一般系平衡方程有三种形式z Z=0-尺 MU二矩式(矩心、万两点的连线不能与投影轴垂直)。000-MM M SIS三矩式(矩心、B、。三点不能共线)。由教履題网址:http:/二、平面特殊系的平衡方程L平面汇交系的平衡方程yXZ=0 2因言
7、,款中拡及甥网址:http:/2.平面平行系的平衡方程平面平行力系的平衡方程有两种形式匕=。(各力不得与投影轴垂直)MA MB=0二0(矩心、两点连线不得与各平行)%至敖4及製舅网址:http:/3.平面力偶系的平衡方程回手敖,社网址:http:/三、平面力系平衡方程的应用L单个物体平衡问题的求解例22如图所示悬臂梁,端为固定端支座,端为自由端,已知梁 上作用有载荷集度为的均布载荷和集中力,且歹=2%a=45,不计 梁的自重,试求固定端支座的约束。解取梁为研究对象。(2)画出梁的受图。梁上所受的均布载荷、集中力正和支座约束qCAaBa工和耳及约束偶乜 组成平面一般系。其 中有三个未知量,可以
8、求解。q“I I I IcBaa由4教卡及取題网址:http:/(3)建立坐标系,列平衡方程并求解。工工=。qa AyaFAY-FCOS6Z=0FAX=Feos a=2qa cos 45=72qCBa工月=0 FAV-F sin a-qa=0FAy=F sin a+qa=2qa sin 45+qa=(+6)qa Z此(/)=。MA-qa-sin a 2a=0例23 简易起重机如图所示。横梁4端为固定絞支座,刀端用拉杆刀。与 立柱相连。已知梁受重力Gi=4kN,载荷G2=12kN,梁长=6m,a=30。试求当载荷离端距离x=4m时,拉杆。的受力和钱支座的约束。今为敖卡及題网址:http:/解取横
9、桀43(含电动葫芦和重物)为研究对象。(2)因4C杆为构件,横梁与(含电动葫芦和重物)的受如图所示。(3)选取坐标系如图所示(约定这种常规的坐标系可不画出),列平衡方程 求解。儿2)二Fglsin(X G?x 0_ 2G2%+G _ 2x12x4+4x621 sin a 2x6sin30z凡=0 七一爲 cosa=0FAX=尸B cos a=20 cos 300=17.32 kNWX=FAyFBsina-Gl-G2=0A%二G1+G23 sina=4+12 20sin30=6kNP局敖卡及取題网址:http:/例24三角形支架的受情况如图所示。已知=10kN,=2kN/m。试求钱链、处的约束。
10、解(1)取三角形支架整体为研究对象。(2)因C杆为构件,可画出整体的受力图,如图 所示。整体受均布载荷%集中力户及支座约束力以、和,它们组成平面一般系。(3)列平衡方程求解MA(F)=0-FX1.2-X1.2X0.6+Fg sinocX0.6=00.8m q:0.4mt*1AaC DB q1.2F+O.720 _ 1,2x10+0.72x2O.bsma0.6x0.8=28 kNSE(下)=0-Fxl.2-xl.2x0.6-Fx0.6=0FAX1.2+0.72 0.61.2x10+0.72x2”1-=-22.4 kN0.6Mc(F)=0-x0.4+xl.2x0.2-死y x0.8=0-0.4F+
11、0.2400.8-0.4x10+0.24x2 1R1-=-4.4 kNBC D0.8.):Fy=F4y+FB cos。1.2q F=4.4+28x0.6 1.2x2 10-0F%加手教而及题网址:http:/讨论:A在受分析中,指向未知的约束力可以先假设个方向,当计算 结果为正时,说明其实际方向与所设的方向相同;当计算结果为负 时,说明实际方向与所设的方向相反;A平面一般系有三个独立的平衡方程,最多能求解三个未知量,但非独立的平衡方程可以校核计算结果是否正确;均布载荷的合力等于载荷集度与其分布长度的乘积,均布载荷 对某一点之矩或在某个轴上的投影,分别由合力矩定理或合力投 影定理计算。%|向为敖
12、及題网址:http:/例25已知系统如图,不计杆、轮自重,忽 略滑轮大小,G=20kN。求系统平衡时,杆 AB.万。的受。解(1)46、5C杆为杆,取滑轮刀(或点 B,画受图。(2)建立图示坐标系,列平衡方程订=。-FBA+/cos 60-Fn cos 30.2 二 G解得:FRA=-7.32IkN=0FBC-4cos30-FT2 COS 60=0解得:F=27.32kNT合敖卡及題网址:http:/例2-6已知求支座、刀处约束。解法1:(1)取刚架为研究对象(2)画受图(3)建立坐标系,列方程求解2二,+尸=。FAX=FCDaB 777ZMA尸)=o,FB:,FB=Fz=,+I FAy=F%
13、款履題网址:http:/解法2:工,鼠+F=05/)=0,FB2a-M=02X(歹)=o,FAy 2a+Fat-M=02a fC解上述方程,得晨二一尸,七二一尸,二尸AB解法3:ZMA(F)=Q,FB2a-M-Fa=QYMB(F)=0,FAy2a+Fa+M=0YMc(F)=0,FAxa+FB2a-M=0解上述方程,得已,心,二合手教及題网址:http:/例2-7已知 順=M2=10Nm,M=20Nm,/=200mm,求光滑 螺柱、3所受水平。解:由偶只能由偶平衡的性质,其受如图。5 L L M.+M0+M,-解得 F=Fn=亠-2-=200N有場子敖及加网址:http:/练习1:已知力C=CB
14、=4 G=10kN。求钱链和刀Cff受。解(1 取48梁,画受图。(2 列平衡方程求解二0%sin45 2/=0E=0 x+%cos45=0Z 4二 4+为 sin45/=0解得心二28.28kNFAX=-20kN 厶=10kN慢%教履,社題网址:http:/练习2:取起重机如图所示。已知3=10kN,G2=40kN,尺寸如图。求轴 盛4、处的约束。解:取起重机,画受图。_-5_1.5.d_3.56=0F=-31kNZ以=+爲=o心二31kN二0 七Gf=0.kN J手敖中方发刀 题 网址:http:/练习3:已知G、外M=Ga、解:取吕梁,画受图。%=。FA、=OM。FB 4/M G,2a
15、q,3 1r Cz HqaXFy=0 FAy-q2a-GFB,求支座、5处的约束。由 G丄3%教履,社网址:http:/例2-8欲使起重机满载和空载时均不翻倒,求平衡锤的重量。解:取起重机为研究对象,其受力如图所示。(I)满载时,其限制条件是:FNJ0%(尸)=0C(a+b)一久的-Ge卬=062 解得 G23La+b(2)空载时,其限制条件是:FN/?0G瓶XMA(F)=0,G2a+FNBb-G(e+b)=0解得G2 V生士 a因此,弓2必须满足:ABbN8Ge+GJr/G(e+-S Cr2 s-a+b aa敖田及,社骸网址:http:/M练习4:已知下=8kN,M=4kNm求、万处的约束解
16、:取刚架为研究对象,受力如图所示。Z月=0 F+FAX=Q.FAX=-F=-8kNE仍)=o x4M x2.5=0尸 M+Fx2.5 FR 二-二 6k4 4Eg=0 FB+FAy=0二 FAy=FB=6kN%教及小題网址:http:/应用平面力系平衡方程的解题步骤可总结如下:根据题意,选取适当的研究对象。画受图。约束力根据约束的类型来确定,要注意正确判别 构件,由二平衡条件确定其约束力作用线的位置。当约束 力的方向未知时,可以先假设个方向,最后根据计算结果的正 负可确定其实际方向。列平衡方程,求解未知量。应根据物体所受力系的形式,选 取相应系的平衡方程及平衡方程的适当形式。要选取适当的矩 心
17、和投影轴,求在个平衡方程中只含一个未知量,以便简化 计算。为此,在应用投影方程时,投影轴尽可能与较多的未知力 垂直;在应用矩方程时,矩心应尽可能取在较多未知力的交点 上。列出非独立的平衡方程,以校核计算结果是否正确。阉|向%敖及木題网址:http:/2.物体系统的平衡静定和静不定问题,平面汇交系只有两个独立方程,只能求两个未知量。平面力偶系只有一个独立方程,只能求一个未知量。平面平行力系只有两个独立方程,只能求两个未知量。、平面一般系只有三个独立方程,只能求三个未知量。受图(系)独立平衡方程个数存在的未知量个数 可求未知量个数-?-若干个物体通过适当的约束所组的系统,称为物系。静定问题:未知量
18、个数W独立平衡方程个数超静定问题:未知量个数独立平衡方程个数,也称静不定问题。!一_回 IAI回手敖広队,社 网址:http:/静定与静不定问题刚体静力分析只能解决静定问题。4手敖一打及題网址:http:/a%款履題网址:http:/物系平衡的特点:A当物体系统平衡时,系统内任一物体(或几个物体组成的部分)均 处于平衡,求解静定物体系的平衡问题时,可以选每个物体为研究 对象,列出全部平衡方程,然后求解。A也可以先取整个系统为研究对象,列出平衡方程,这样的方程因 不含内力,式中未知量较少,解出部分未知量后,再从系统中选取 某些物体为研究对象,列出另外的平衡方程,直至求出所有的未知 量为止。用尽量
19、少的平衡方程,平衡方程中尽量只含一个未知量,简 化计算。不P合%款卡及取題网址:http:/例2-9 图示组合梁,已知77P=10kN,M=20kN.m,夕=10kN/m,4=lm,试 求固定端、可动较支座刀及中间较链。的约束。Q化C分析:该组合梁由C梁和CB梁组成,其中固定端有三个未知的约束 力,中间较链c处有两个未知的约束,可动较支座刀处有一个未知的 约束,共有六个未知量,因此取整体不可解;取/C梁为研究对象,有五个未知量,也不可解;取。梁为研究对象,有三个未知量,可以求解。因此,应先取C8梁为 研究对象,求出。、万处的约束之后,再取C梁或整体可求出处的约 束。M L I%敖及題网址:ht
20、tp:/解(1)选取。石梁为研究对象,画出其受图。列平衡方程Mc=0,FBx2a-F?sm300 xa-qax=0二丄(弓 sin30。+巧(10sin30+a)=5kNZa=0,%一片 cos3(y=0FCx=Fp cos300=10cos30=8.66kN 工=0,FCy-qa-Fp sin 30+7=0FCy=qa+Fp sin 30-7=lOkNMl I慢%款履題网址:http:/(2)选取C梁为研究对象,画出其 MA受力图。列平衡方程 万吟M/=0,MA-M-qax-Fcyx2a p MA M+-qa2+2aF=55kN 1aEa=o,七一居二o LW=8.66kNZ二,FAy-Fc
21、y-qa=Q FAy=qa+%=20kNq 亜 c a本题也可在取。梁之后,再取组合梁整体为研究对象。%款履題网址:http:/讨论:本题中的组合梁,如将C絞链去掉,会发现C梁可以独立平衡 载荷,称为基本部分,而梁不能独立平衡载荷,称为附属部分。由基本部分与附属部分组成的结构,称为主从关系的结构。对这 类结构,应先算附属部分,后算基本部分。4T教4及题网址:http:/主从关系的结构基本部分+附属部分先算附属部分,后算基本部分q例210如图所示三校刚架,已知Fp=12kN,夕=8kN/m,试求 支座、刀及钱。处的约束。Q Fp|4mCki/l0 4T双寸及 题 网址:http:/分析:分析整体
22、和左、右折杆的受力,画出它们的受力图,如图所示。整体和左、右折杆都分别有四个未知量,但总未知量的个数只有六个,左、右折杆 受平面一般系作用,可列出六个独立的平衡方程,因此可以求出六个未知量。若分别选取左折杆和右折杆,则需要解联立方程,计算较繁琐。若取整体为 研究对象,虽然也有四个未知力,而只有三个独立的平衡方程,但由于,B 两个钱在同一水平线上,以点和与点为矩心建立矩方程,可求出、B 支座的竖向约束力和歹坊,然后再考虑左折杆或右折杆的平衡,每个折 杆都只有三个未知量,可求出全部未知量。qcrrrmc什回 I|BJ44教中式收題网址:http:/解(1)取整体为研究对象,画出其受图。列平衡方程求
23、解力(尸)=0-qx6x3一片X8 十七,X12=OqC塩18+8 !8x8+8x12”丁=-L=-=20kN12(/)二12 X 6x9+为 x4/7bxi2=0七=54+4月二 54X8+4X12.okN12ER=。,FAX-FBX12=,FAX=FBX(a)FA(2)取右折杆为研究对象,画出其受图。ZMc(F)=O,4X2+七X6。X8=0 65-2的卜=-及 86x20-2x12 1丁-二!2kN8BBx=0.+=0%=的5=-8kN 号=0,FCFBX=0 匕=5=l2kN由式(a)得 FAx=FBx=l2kNB以FKJ丨合%教履題网址:http:/讨论:对于两个固定较(上、。钱)在
24、同一水平线上的三钱结 构,一般先取整体为研究对象,求出两个竖向约束力后,再取受力简单的部分为研究对象,可求出全部未知量。yi合为敖及題网址:http:/求解物体系统平衡问题的一般步骤总结如下:习题课小结:1.平面一般系向平面内任一点。简化,一般情况下,可得一个作 用线通过简化中心的力和一个偶,这个力等于该系的主矢,这 个偶的矩等于该系对于点。的主矩,即n nF=此(.),=1 1=12.平面一般系向一点简化,可能出现的四种情况:主矢 主矩 简化结果 说 明此为原系的合力,合力的作用线通过简 化中心Mo=0 氏-Mo0此W0F;=0-Mo=0合力合力偶合力作用线离简化中心的距离d=Afo/a此偶
25、为原系的合力偶,在这种情况下主矩与简化中心的位置无关平衡%教履,社題网址:http:/3.平面一般系平衡的必要与充分条件是:系的主矢和对任一点的主 矩都等于零,即:/三ZB=0,、2(歹)二04.平面一般系的平衡方程基本形式 z4二,X4二,Z)0矩式 工凡二,ZM/歹)二,Z%(歹)二(投影轴*不得垂直于矩心、刀两点的连线)三矩式 Z也(歹)二,Z%(歹)=o,Jc(歹)二0(矩心、B、。三点不得共线)%教履,社題网址:http:/5.其它各种平面力系都是平面一般系的特殊情形,其平衡方程如下:系名称平衡方程独立平衡方程的数目共线系纭=0 1平面偶系ZM 二。1平面交系 Fx=Q-”,=02平
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