天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解.doc

.
第一章 随机变量 习题一

1、写出下列随机试验的样本空间
(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和
=
(2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数
=
(3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。
=
(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标
=
(5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度
=
其中分别表示第一、二、三段的长度
(6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U =
“在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U =
解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。}
其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、 10
( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… }
其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …
2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系
(1)与 互不相容 (2)与 对立事件
(3)与 互不相容 (4)与 相容事件
(5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 互不相容
(6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品 对立事件
解: 互不相容: ; 对立事件 : 且
3、设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件
(1)A发生，B与C不发生 - (2)A与B都发生，而C不发生 -
(3)A,B,C中至少有一个发生 - (4)A,B,C都发生 -
(5)A,B,C都不发生 - (6)A,B,C中不多于一个发生 -
(7)A,B,C中不多于两个发生-
(8)A,B,C中至少有两个发生-
4、盒内装有10个球，分别编有1- 10的号码，现从中任取一球，设事件A表示“取到的球的号码为偶数”，事件B表示“取到的球的号码为奇数”，事件C表示“取到的球的号码小于5”，试说明下列运算分别表示什么事件.
(1) 必然事件 (2) 不可能事件
(3) 取到的球的号码不小于5 (4) 1或2或3或4或6或8或10
(5) 2或4 (6) 5或7或9
(7) 6或8或10 (8) 2或4或5或6或7或8或9或10
5、指出下列命题中哪些成立，哪些不成立.
(1) 成立 (2) 不成立
(3) 不成立 (4) 成立
(5)若，则 成立 (6)若，且，则 成立
(7)若，则 成立 (8)若，则 成立
7、设一个工人生产了四个零件，表示事件“他生产的第i个零件是正品”，用,,,的运算关系表达下列事件.
(1)没有一个产品是次品； (1)
(2)至少有一个产品是次品；(2)
(3)只有一个产品是次品；(3)
(4)至少有三个产品不是次品
4)
8. 设 E、F、G是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列各式 ：
(1)(2) （3）
解 :(1) 原式
(2) 原式
(3) 原式
9、设是两事件且，问(1)在什么条件下取到最大
值，最大值是多少？(2)在什么条件下取到最小值，最小值是多少？
解: (1) (2)
10. 设 事 件 A， B， C 分 别 表 示 开 关 a， b， c 闭 合 ， D 表 示 灯 亮 ，
则可用事件A，B，C 表示：(1) D = ；(2) = 。

11、设A,B,C是三事件，且，
求A,B,C至少有一个发生的概率.
解:

12. (1)设事件A , B的概率分别为 与 ，且 A 与 B 互 斥，则 = .
(2).一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球 ，如果随机地无放回地摸3只球 ，则取到的3 只 都 是 红 球 的 事 件 的 概 率 等 于 _______。
(3) 一 袋中有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果
从每只袋中各摸一只球 ，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概 率
等于 ______。
(4) .设 A1 , A2 , A3 是随机试验E的三个相互独立的事件，
已知P(A1) = a , P(A2) = b，P(A3) = g ，则A1 , A2 , A3 至少有一个
发生的概率是 1(1a)(1 b)(1g) .

(5) ．一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3只球，
则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于 ______。
13、在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任取200个，求
(1)恰有90个次品的概率； (2)至少有2个次品的概率.
解:
14、两射手同时射击同一目标，甲击中的概率为0.9，乙击中的概率为0.8，两射手
同时击中的概率为0.72，二人各击中一枪，只要有一人击中即认为“中”的，
求“中”的概率.
解:“甲中” “乙中”

15、8封信随机地投入8个信箱(有的信箱可能没有信)，问每个信箱恰有一封信的概
率是多少？
解:
16、房间里有4个人，问至少有两个人的生日在同一个月的概率是多少？
解：设所求事件“至少有两个人的生日在同一个月的”
“任何两个人的生日都不在同一个月”

17、将3个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概
率各是多少？
解：3个球放入4个杯子中去共有种放法，设表示杯子中球的最大个数为n的事件,表示每只杯子最多只能放一个球，共有种方法，故;表示有一只杯子中放2个球，先在3个球中任取2只放入4个杯子中的任意一只，共有种方法，剩下的一个球可以放入剩下的3只杯子中的任一只，有3种放法，故包含的基本事件数为，于是 ;表示有一只杯子中放3个球，共有4种方法，故.
18. 设 一 个 质 点 等 可 能 地 落 在 xoy 平 面 上 的 三 角 形 域 D 内 ( 其 中 D 是 x = 0 ，y = 0 ， x + y = 2所 围 成 的 ) ， 设 事 件 A 为： 质 点 落 在 直 线 y = 1 的 下 侧 ， 求 P(A) 。

19、(1)已知，求
(2)已知，求
解: (1) (2)

20、一批产品共100个,其中有次品5个，每次从中任取一个，取后不放回,
设( i =1，2，3，)表示第i次抽到的是次品，求：
， ，
， ，

21、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，
乙厂的合格率是80%。若用事件、分别表示甲、乙两厂产品，B表示合格品。
试写出有关事件的概率.
(1) 70% (2) 30% (3) 95%
(4) 80% (5) 5% (6) 20%
22、袋中有10个球，9个是白球，1个是红球，10个人依次从袋中各取一球，每人
取一球后，不再放回袋中，问第一人，第二人，……，最后一人取得红球的概
率各是多少？
解: 解：设第i个人取得红球的事件,
则为第i个人取得白球的事件，
显然 ,

同理
23、某种动物由出生活到20年以上的概率为0.8，活25年以上的概率为0.4，问现
年20岁的这种动物活支25岁以上的概率是多少？
解：设为{由出生活到20岁}的事件，为{由出生活到25岁}的事件
则所求事件的概率为

24、十个考签中四个难的，三人参加抽签，(不放回)甲先、乙次、丙最后，记事件
A,B,C分别表示甲、乙、丙各抽到难签，求.
解：
25. 设 0< P(C) <1 ，试 证 ：对 于 两 个 互 不 相 容 的 事 件 A，B，恒 有
P { ( A B )½C} = P{A½C} + P{B½C}
证:

26、设事件A与B互斥，且，证明.
证明：由于，故

27、一批零件为100个，次品率为10%，每次从中任取一个，不再放回，求第三次才
能取得正品的概率是多少？
解：设为{第i次取到正品}，由于次品率为10%，故100个零件约有90个正品，次品10个，设为{第三次抽到正品}，即第一次第二次都取得次品，第三次才取得正品，则由一般乘法公式得

28、设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000
个男人和 2000个女人中任意抽查一人， 求 这 个 人 是 色 盲 者 的 概 率。
解:
A ：“ 抽到的一人为男人”；B ： “ 抽到的一人为色盲者”
则

29、设有甲、乙两袋，甲袋装有n只白球，m只红球；乙袋中装有N只白球，M只红
球，今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白
球的概率是多少？

解：设表示从甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件，
表示从甲袋中任取一只红球放入乙袋中的事件，
表示从甲袋中任取一只球放入乙袋后再从乙袋中取一只白球的事件，
所求事件
由全概率公式：
易知：

于是
30、某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产品占全厂产品的比例
分别为25%,35%,40%；并且它们的废品率分别是5%,4%,2%
(1)今从该厂产品中任取一件问是废品的概率是多少？
(2)如果已知取出的一件产品是废品，问它最大可能是哪个车间生产的？

解：设“所取出的一件产品是废品”，“产品系甲车间生产”，
“产品系乙车间生产”， “产品系丙车间生产”
已知

(1)由全概率公式：

(2)由贝叶斯公式：

所以，所取出的一件废品最大可能是乙车间生产的.
31、如图1,2,3,4,5表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为，且设
各继电器接点闭合与否相互独立，求至是通路的概率.
1
3
2
4
5
L
R

解: 设为第i只继电器闭合的事件，为有电流从L流向R的事件，
已知
显然
故

32、在18盒同类电子元件中有5盒是甲厂生产的，7 盒是乙厂生产的，4盒是丙厂生产的，其余是丁厂生产的，该四厂的产品合格品率依次为0.8，0.7，0.6， 0.5 ， 现任意从某一盒中任取一个元件，经测试发现是不合格品， 试问该盒产品属于 哪一个厂生产的可能性最大 ？
解: Ai ( i = 1,2,3,4):“ 所取一盒产品属于甲，乙 ，丙 ，丁厂生产 ”
B ： “ 所 取 一 个 元 件 为 不 合 格 品 ”
则 ， ， ，
， ， ，
由 全 概 率 公 式 : =
由 贝 叶 斯 公 式 :

故 该 盒 产 品 由 乙 厂 生 产 的 可 能 性 最 大

33、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7。
飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6。若
三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.

解：设表示“恰有i人击中飞机”，为飞机被击落，

同理

易知，
由全概率公式

34、袋中装有只白球，一只红球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只白
球，这样继续摸下去，问第次摸球时摸到白球的概率是多少？

解：设事件表示第次摸到白球，则事件表示第次摸到红球。
因为袋中只有1只红球，而每次摸出一球总换入一只白球，故为了第k次摸到红球，前k-1次
一定不能摸到红球，因此等价于下列事件: 在前k-1次摸球时都摸到白球而第k次摸出红球，
所以
因此

第2章一维随机变量 习题2

一. 填空题：
1.设 离 散 型 随 机 变 量 x 的 分 布 函 数 是 ， 则 用 F (x) 表 示 概
= __________。 解：
2.设 随 机 变 量 x 的 分 布 函 数 为 则
P{ 0<x<1} = _________。 解： P{ 0<x<1} =
3.设 x 服 从 参 数 为 l 的 泊 松 分 布 ， 且 已 知 P{ x = 2 } = P{ x = 3 }，
则 P{ x = 3 }= ___ 或 3.375e-3____。
4.设 某 离 散 型 随 机 变 量 x 的 分 布 律 是 ，
常 数 l>0， 则 C 的 值 应 是 ___ e-l_____。
解：
5 设 随 机 变 量 x 的 分 布 律 是
则 = 0.8 。
解：
令 得

6.若 定 义 分 布 函 数 ， 则 函 数 F(x)是 某 一 随 机 变 量 x 的 分 布 函 数 的 充 要 条 件 是
F ( x ) 单 调 不 减 ， 函 数 F (x) 右 连 续 ， 且 F (¥ ) = 0 ， F ( + ¥ ) = 1

7. 随机变量，记，
则随着的增大，之值 保 持 不 变 。
8. 设 x ~ N ( 1， 1 )，记x 的概率密度为 j( x ) ，分布函数为 F ( x )，则
0.5 。

9、分别用随机变量表示下列事件
(1)观察某电话总机每分钟内收到的呼唤次数，试用随机变量表示事件
.“收到呼唤3次” ，“收到呼唤次数不多于6次”
(2)抽查一批产品，任取一件检查其长度，试用随机变量表示事件.
“长度等于10cm” = ；
“长度在10cm到10.1cm之间” =
(3)检查产品5件，设A为至少有一件次品，B为次品不少于两件，试用随机变量表示事件
.
解:

10 、一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以x表示取出的3只球中的最

X
3
4
5

大号码，则X的分布律为:

二. 计算题：
1、将一颗骰子抛掷两次，以表示两次所得点数之和，以表示两次中得到的小的点数，试分别写出的分布律.

2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

2、设在15只同类型的零件中有2只次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数.求X的分布律；.
X
0
1
2

3、(1)设随机变量X的分布律为：为常数，试确定常数.
解: 因 , 故
(2)设随机变量X的分布律为：，试确定常数.

4、飞机上载有3枚对空导弹，若每枚导弹命中率为0.6，发射一枚导弹如果击中敌机则停止，如果未击中则再发射第二枚，再未击中再发射第三枚，求发射导弹数的分布律.

X
1
2
3

0.6
0.24
0.16

5、汽车需要通过有4盏红绿信号灯的道路才能到达目的地。设汽车在每盏红绿灯前通过(即遇到绿灯)的概率都是0.6；停止前进(即遇到红灯)的概率为0.4，求汽车首次停止前进(即遇到红灯，或到达目的地)时，已通过的信号灯的分布律.
解：汽车在停止前进时已通过的信号灯数是一个随机变量，用x表示x可取值为0,1,2,3,4，又设A的表示事件：{汽车将通过时第i盏信号灯开绿灯}，
由题意
表示{已通过的信号灯数是0(即第一盏信号灯是红灯)},故
表示{已通过的信号灯数是1(即第一盏信号灯是绿灯，而第二盏是红灯),故.
同理

于是x的分布律为
即
x
0
1
2
3
4

0.4
0.24
0.144
0.0864
0.1296

6、自动生产线调整以后出现废品的机率为，生产过程中出现废品时立即重新进行调整，求两次调整之间生产的合格品数的分布律.

x
0
1
2
…
k
…

7、一大楼内装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻：
(1)恰有两个设备被使用的概率是多少？
(2)至少有3个设备被使用的概率是多少？

(3)至多有3个设备被使用的概率是多少？

(4)至少有1个设备被使用的概率是多少？

8、设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，
(1)进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率.
(2)进行7次独立试验，求指示灯发出信号的概率.
解：(1){5次独立试验,指示灯发出信号}=
(2){7次独立试验,指示灯发出信号}

9、设某批电子管正品率为，次品率为，现对这批电子管进行测试，只要测得一个正品，管子就不再继续测试，试求测试次数的分布律.
解：解：设测试次数为x，则随机变量x的可能取值为：，当时，相当于{前 次测得的都是次品管子，而第k次测得的是正品管子}的事件，
，
10、每次射击命中率为0.2，必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的命中率，
(1)不小于0.9？ (2)不小于0.99？
解：已知n次独立射击中至少击中一次的概率为；
(1)要使，必须，即射击次数必须不小于次.
(2)要使，必须，即射击次数必须不小于次
11、电话站为300个用户服务，在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，试用泊松定理近似计算，在一小时内有4个用户使用电话的概率.
解：由二项分布得
现用泊松定理近似计算，,故
12、某一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为
0.0001，在某天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？
(利用泊松定理计算)
解：设x为发生事故的次数，则
用泊松定理计算，

13设X服从泊松分布，且已知，求
解：，由，得，

14、. 求离 散 型 随 机 变 量 x 的 分 布 律 为 ， ( k = 1， 2， …)， 的
充 分 必 要 条 件。
解：由
且
且 b > 0

15 设x服从参数l = 1的指数分布 ，求方程 4x2 + 4xx + x + 2 = 0无实根的概率 。
解： 知
故
16. 已 知 连 续 型 随 机 变 量 x 的 概 率 密 度 为 且 知 x 在 区 间 ( 2，3 )内 取 值 的 概 率 是 在 区 间 ( 1，2 ) 内 取 值 的 概 率 的 二 倍 ，试 确 定 常 数 A ，B 。
解：由 条 件
即 知 有
又 由 即
解 得 A = ，B =

17、设有函数
试说明能否是某随机变量的分布函数.
解：不 能
因 为 当 时 ， j ( x ) = sin x < 0
故 在 上 ， j ( x ) = sin x 不 是 非 负 。

18、设某人计算一连续型随机变量x的分布函数为：
试问他的计算结果是否正确？ 答：不正确

19、在区间上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标，这个质点落在中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求x的分布函数.
解：P { 0 < x x } = cx ；

20、设连续型随机变量X的分布函数为

求(1)常数A,B (2) (3)概率密度
解: (1) (2) (3)

21、某种型号的电子管寿命X(以小时计)，具有如下概率密度：
现有一大批此种电子管(设各电子管损坏与否相互独立)，任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？并求.
解：设使用寿命为x小时

，所求事件的概率：

再求

22、设随机变量X具有对称的概率密度，即为偶函数，，证明：对任意有：
(1) ; (2)
(3)
证明：(1)，令，

又因为：

(2)
证明：

(3)
证明：

23、设顾客在银行的窗口等待服务的时间X(以小时计)服从指数分布，其概率密度为
某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求.
解：
24、设，求(1) (2) (3)
(4) (5)确定c使得
解：(1) (2) (3) (4) (5)
25、一个工厂生产的电子管寿命X(以小时计)，服从参数，的正态分布，若要求，允许最大为多少？
解:
，故允许最大为31.25

26、公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01米以下设计的，设男子身高x服从的正态分布，即问车门的高度应如何确定？
解：设车门高度为cm，按设计要求，或，
因为，故
查表得 即
设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头的机会不超过0.01。

27、设随机变量X的分布律为
X
0
1
2
3
4
5

求的分布律.

解:
Y
0
2
8
18

28、设，求(1)的概率密度 (2)的概率密度
(3)求的概率密度
解：(1)设

即
(2)，当时，Y的分布函数，

当时，，Y的概率密度

即
(3)，当时，Y的分布函数

当时，，的概率密度
当时，

29、设电流是一个随机变量，它均匀分布在9安~11安之间，若此电流通过2欧姆的电阻，在其上消耗的功率为，求的概率密度.
解：由题意I的概率密度为

对于
由于，所以当时，其分布函数，
故的概率密度；

30、设 正 方 体 的 棱 长 为 随 机 变 量 x ，且 在 区 间 ( 0 ， a ) 上 均 匀 分 布 ，
求 正 方 体 体 积 的 概 率 密 度 。 ( 其 中 a > 0 )
解:
正 方 体 体 积 h = x 3
函 数 y = x 3 在 ( 0 ， a ) 上 的 反 函 数

h 的 概 率 密 度 为
31. 设 随 机 变 量 x 的 概 率 密 度 为
求 随 机 变 量 h = l n x 的 概 率 密 度 。
解：函 数 y = l n x 的 反 函 数 x = h ( y ) = e y ，
当 x 在 ( 0 ， +¥ )上 变 化 时 ， y 在 (¥ ， + ¥ ) 上 变 化 ，

于 是 h 的 概 率 密 度 为

32. 已 知 某 种 产 品 的 质 量 指 标 x 服 从 N(m , s2)， 并 规 定 | x m | £ m时 产 品 合 格 ， 问 m取 多 大 时 ， 才 能 使 产 品 的 合 格 率 达 到 95%。 已 知 标 准 正 态 分 布 函 数 Φ (x)的 值 ：Φ (1.96) = 0.975 , Φ (1.65) = 0.95 , Φ (1.65) = 0.05, Φ (0.06) = 0.475 .
解：P{ | x m | £ m} = 0.95，此式等价于 P{mm £ x £ m + m} = 0.9
因 为 x 服 从 N(m , s2 )， 故
P{mm £ x £ m + m} =

查 表 得 m = 1.96s
故 m 取 1.96s 时 才 能 使 产 品 合 格 率 达 到 95%。

第三章 多维随机变量及其分布

一、填空题
1、随机点落在矩形域的概率为
.
2、的分布函数为，则 0 .
3、的分布函数为，则
4、的分布函数为，则
5、设随机变量的概率密度为
，则 .
6、随机变量的分布如下，写出其边缘分布.

0
1
2
3

1
0

0

3

0
0

7、设是的联合分布密度，是的边缘分布密度，则 1 .
8、二维正态随机变量，和相互独立的充要条件是参数 0 .

9、如果随机变量的联合概率分布为

1
2
3
1

2

则应满足的条件是 ；若与相互独立，则 ， .
10、设相互独立，，则的联合概率密度
，的概率密度 .
12、 设 ( x 、 h ) 的 联 合 分 布 函 数 为
则 A =__1___。
二、证明和计算题
1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球
上标的数字为，第二次取的球上标的数字，求的联合分布律.
X
Y
1
2
1
0

2

解：

2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设为投入1号信箱的信数，为投入2
号信箱的信数，求的联合分布律.
解：的可能取值为0,1,2,3 的可能取值为0,1,2,3

0
1
2
3
0

1

0
2

0
0
3

0
0
0
3、设 函 数 F(x , y) =   ；问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的
联 合 分 布 函 数 ？ 并 说 明 理 由 。
解： F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数
因 P{0 < x £ 2， 0 < h £1}= F(2 , 1) F(0 , 1) F(2 , 0) + F(0 , 0)
= 111 + 0 = 1 < 0
故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 。
4、设，有
证明：可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。
证明：易验证，又
＝
符合概率密度函数的性质，可以是二维连续型随机变量的概率密度函数。

5、在[ 0,] 上 均 匀 地 任 取 两 数 X 与 Y，求}的值。
解：，＝
6、设随机变量的密度函数为
(1)确定常数 (2)求的分布函数 (3)求
解：(1)

(2)

(3)

7、设随机变量的概率密度为
求
解：

8、设随机变量在矩形区域内服从均匀分布，
(1)求联合概率密度及边缘概率密度. (2)问随机变量是否独立？
解：(1)根据题意可设的概率密度为

于是，故

即

即
(2)因为，故与是相互独立的.
9、随机变量的分布函数为求：
（1）边缘密度；（2）验证X,Y是否独立。
解：（1），
.

,

(2) 因为，故与是相互独立的.
10、一电子器件包含两部分，分别以记这两部分的寿命(以小时记)，设的分布函
数为
(1)问和是否相互独立？ (2)并求
解：(1)

易证，故相互独立.
(2)由(1)相互独立

11、设 随 机 变 量 (x , h)的 分 布 函 数 为 求：( 1 )
系 数 A , B及 C的 值 ， ( 2 ) (x , h)的 联 合 概 率 密 度 j(x , y)。
解：( 1 )

由 此 解 得
( 2 )

1
3

12、设相互独立且分别具有下列表格所定的分布律

0

试写出的联合分布律.
解：

0

1

3

13、设相互独立，且各自的分布律如下：

1
2

1
2

求的分布律.
解：

的分布律为
的全部取值为2,3,4

14、 X,Y相互独立，其分布密度函数各自为

求的密度函数.

解：的密度函数为，
由于在时有非零值，在即时有非零值，
故在时有非零值

当时，
故

第4章 随机变量的数字特征
一、填空题
1、设为北方人的身高，为南方人的身高，则“北方人比南方人高”相当于

2、设为今年任一时刻天津的气温，为今年任一时刻北京的气温，则今年天津的气温变化比北京的大，相当于 .
3、已知随机变量服从二项分布，且，则二项分布的参数
n= 6 , p= 0.4 .
4、已知服从，则. = 1 ,= 1/2 .
5、设的分布律为

0
1
2

则9/4 .
6、设相互独立，则协方差 0 .
这时，之间的相关系数 0 .
7、若是随机变量的相关系数，则的充要条件是.
8、是随机变量的相关系数，当时，与 不相关 ，当时， 与 几乎线性相关 .
9、若，且相互独立，则 36 .
10、若为常数，则.
11、若相互独立，，则 0 .
12、若随机变量服从上的均匀分布，则 π .
13、若，则 12 ， 85 ，
37 .
14、已知，，则 30 .
15、若随机变量的概率密度为，则 2 ，
1/3 .

二、计算题
1、五个零件中有1个次品，进行不放回地检查，每次取1个，直到查到次品为止。设
表示检查次数，求平均检查多少次能查到次品？

解: 的分布律为:

1
2
3
4
5

1/5
1/5
1/5
1/5
1/5

(1+2+3+4+5)=3.
答：略

2、某机携有导弹3枚，各枚命中率为，现该机向同一目标射击、击中为止，问平均射]
击几次？
解: 设为射击次数，则的分布律为:

1
2
3

答：略

3、设的密度函数为，求、
解:

故

4、(拉普拉斯分布)的密度函数为，求. 、
解:

故
5、设连续型随机变量的分布函数
求 、、、.
解: 为连续型随机变量，
为连续函数.

可解得; , .
的概率密度

=0

令 ，则

6、一台设备由三大部件构成，运转中它们需调整的概率分别为0.1、0.2、0.3, 假设它们的状态相互独立，以表示同时需调整的部件数，求、
解: 设表示第个部件需调整，=1,2,3
则

故

7、对圆的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间内，求圆面积的数学期望.
解: 因为~，所以的密度

设=“圆面积”，则 =，所以
.
8、设随机变量、，求、.
解: 显然
所以 .

1
2
3
-1
0.2
0.1
0
0
0.1
0
0.3
1
0.1
0.1
0.1
9、设的分布律为

求 .
解:

10、已知随机变量的概率密度为
求的概率密度
解:

所以

所以
11、设随机变量的密度函数为
求.
解: ：
=.
12、设随机变量和相互独立，且，
求 .
解:

13、设 二 维 随 机 变 量 的 均 值、存 在 ，
证 明 ： 。
证：因为

所以
14、证 明 ： 如 果 随 机 变 量 与 相 互 独 立 ， 且， 存 在 ， 则
证：

15、设区域为，二维随机变量服从上的均匀分布，判断、
的相关性、独立性.
解: 显然，二维随机变量的概率密度函数为

所以

因此
同样可得
又
所以
故、不相关，但由于

所以与不相互独立.

16、设随机变量和的联合分