西北农林科技大学《概率论与数理统计》习题册参考答案.doc

第一章 随机事件与概率
§1.1 随机试验 随机事件
一、 选择题
1. 设B表示事件“甲种产品畅销”，C表示事件“乙种产品滞销”，则依题意得A=BC.于是对立事件 ，故选D.
2. 由，故选D.也可由文氏图表示得出.
二 写出下列随机试验的样本空间
1. 2 3. 分别表示折后三段长度。
三、（1）任意抛掷一枚骰子可以看作是一次随机试验，易知共有6个不同的结果.设试验的样本点 ；则，
（2），，，，
四、（1）；（2）；（3）“不都发生”就是“都发生”的对立事件，所以应记为；（4）；（5）“中最多有一事件发生”就是“中至少有二事件发生”的对立事件，所以应记为：.又这个事件也就是“中至少有二事件不发生”，即为三事件的并，所以也可以记为.
§1.2 随机事件的概率
一、 填空题
1. 试验的样本空间包含样本点数为10本书的全排列10！，设，所以中包含的样本点数为，即把指定的3本书捆在一起看做整体，与其他三本书全排，然后这指定的3本书再全排。故。
2. 样本空间样本点，设事件表示这7个字母恰好组成单词SCIENCE，则因为C及C, E及E是两两相同的，所以包含的样本点数是，故
二、求解下列概率
1. (1) ; (2)
2.
3. 由图1.1所示，样本点为随机点M落在半圆内，所以样本空间测度可以用半圆的面积表示。设事件表示远点O与随机点M的连线OM与轴的夹角小于，则的测度即为阴影部分面积，
所以

§1.3概率的性质
一． 填空题
1．0.3; 2. ; 3. ; 4.

二． 选择题
1. C; 2. A; 3. D; 4. B; 5. B.
三． 解答题
解：因为所以由概率的性质可知：又因为所以可得 于是我们就有
.
如果则 ；
如果则这时有
如果则这时有
§1.4 条件概率与事件的独立性
一． 填空题
1. ；2. 0.3、0.5；3. ；4. ； 5. 2；
5. 因为，所以，则有，因为所以与是对立事件，即。所以，于是
二． 选择题
1. D； 2. B；3. A；4. D；5. B
1． 已知又所以于是得，注意到代入上式并整理后可得。由此可知，答案D。
三． 解答题
1. ； 2.
§1.5 全概率公式和逆概率（Bayes）公式
解答题
1. 0.973
2. （1）0.85；（2） 0.941
3.（1）；（2）
§1.6 贝努利概型与二项概率公式
一． 填空题
1. ；2.
二． 解答题
1. 0.5952.
2. ，，
3.（1）0.0839，（2）0.1240，（3）0.9597
章节测验
一． 填空题
1. ； 2. 对立；3. 0.7； 4.
二． 选择题
1.B 2.C 3.C 4.A 5.D
三、解答题
1.（1）0.69； （2）
2. .0038
四、证明题（略）。
2.1 随机变量 分布函数

一、填空题
1.；；；2. /π；3.
二、选择题
1、D； 2、A；
三、计算题
1.解：由题意知随机变量的分布列（律）为

3
4
5

所以得随机变量的分布函数为

2.解：（1）由条件知，当时，；
由于，则；
从而有 ；
由已知条件当时，有 ；
而，则
于是，对于有

所以
当时，，从而

（2）略。
2.2 离散型与连续性随机变量的概率分布
一、填空题
1．；2.

二、选择题
1.C； 2.A； 3.B

三、计算题
1.（1）；（2）；（3）
2.略。
2.3 常用的几个随机变量的概率分布
一、填空题
1.；2.；3.
二、计算题
1、；2、；3、；4、（1）；（2）
2.4 随机向量及其分布函数 边际分布
一、填空题
1、；；
2、；
二、计算题
1、（1）；（2）；
（3），
2、（1），,；
（2）。
3、，
2.5 二维离散型与连续性随机向量的概率分布
一、填空题
1、；2、，；3、；4、
二、计算题
1、；；
2、（1）；
（2）；

3、

2.6 条件分布 随机变量的独立性

一、选择题
1、B； 2、A； 3、D； 4、C； 5、D
二、计算题

1、

2、
3、（1）；（2）；（3）不独立。
4、
2.7 随机变量函数的概率分布
一、填空题

1、

2、
二、选择题
1、B； 2、D；
三、计算题
1、； 2、
3、；
第二章测验
一、填空题
1、；2、；3、；4、
二、选择题
1、C； 2、A； 3、B
三、计算题
1、，则随机变量的概率函数为

其分布函数为：

2、（1）；
（2），；
（3）不独立；
（4）。
3、（1）；（2）
第三章 随机变量的数字特征
3.1数学期望
一 、填空题
1、 ，， ； 2、， 3、 ，
二、计算题
1. 解： 根据公式
得到

2． 0 ；3．:
4. 2/3，4/3 ，-2/3，8/5 ； 5．4/5，3/5，1/2，16/15
3.2方差
一、填空题
1. 0.49 ；2. 1/6 ； 3. 8/9 ；4. 8 ，0.2
二、计算题
1.： 0.6 ，0.46
提示： 设

则相互独立，并且，显然

2.：1/3，1/3 ； 3．： 16/3 ，28

三、 证明题
提示：

3.3协方差与相关系数
一、 选择题
1. A； 2.C ； 3.C
二、 计算题
1. ，， ，
与不独立
2. 0 ，0
提示：

同理可得，

3. ：
3.4矩与协方差矩阵
1.
2.（1）0.7，0.6，0.21，0.24 ；（2）-0.02 ；（3）-0.0089
（4）

第三章 测验
一、 填空题
1．18.4 ； 2. 1 ，0.5； 3．
二、 选择题
1．B ； 2.A；3.D
三、 计算题
1.解：设表示该学徒工加工的零件中报废的个数，又设

则由题设知

于是有 且
从而
2.： 10分25秒
提示：设乘客到达车站的时间为，由题意可知为[0,60]
上的均匀分布，根据发车时间可以得到等候时间，且是关于的函数
3. 0,0
第四章习题

4.1 切比雪夫不等式 随机变量序列的收敛性
1．解：由切比雪夫不等式知，

2．解：设为在次试验中事件出现的次数，则，为频率．

由题意知
而由切比雪夫不等式有
所以有，得

4.2 大数定理
1． 证：有题设知Xn（n=2，3，…）的概率分布为：

故Xn的数学期望为

Xn的方差为

故的数学期望

方差

在利用车比雪夫不等式得

因此，X1，X2，…，Xn，…服从大数定理。
2．证：由于X1，X2，…，Xn相互独立，且，存在，
令
则
有限。

故由车比雪夫不等式知，。

即
4.3 中心极限定理
1．解：设为抽取的100件中次品的件数，则，

则2．解：（1） 设X为一年中死亡的人数，则，其中n=10000，p=0.006
保险公司亏本则必须1000X>120000，即X>120
P{保险公司亏本}==
=
（2）P{保险公司获利不少于40000元}

3．解：设Xi={每个加数的舍入误差}，则Xi ~ U(-0.5, 0.5)，
，，i = 1, 2, …
故由独立同分布中心极限定理知X1，X2，…服从中心极限定理。
（1）

（2）
，
由中心极限定理得，，所以
，解得．

第四章 测验
一、填空题
1．1/4；．
2．．提示：利用切比雪夫不等式估计．
3．1/12
4．0．
5．0.5．
6．．
二、选择题

1．A 2．C 3 D．

三、应用题
1．解：设为1000次中事件A出现的次数，则

2．解：设至少要掷n次，有题设条件知应有

其中， i=1，2，…
独立同分布，且
， ，

（1） 用切比雪夫不等式确定

而
即要求
即
即至少应掷250次才能满足要求。
（2）用中心极限定理确定

得
查标准正态分布表的
，
所以
即在这种情况下至少应掷68次才能满足要求。
3．解：设X为每天去阅览室上自习的人数。
则有
（1）

（2）设总座位数为n
由中心极限定理知，
，查表得=0.85，，所以应增添986-880=105个座位。
4．解：令n为该药店需准备的治胃药的瓶数
X为在这段时间内购买该药的老人数
则由题意知，
由中心极限定理知，
，查表得，所以

四、证明题

1．证明：设

则有

由切比雪夫不等式得，，
所以当时，即
．

2．证：因为相互独立且同分布，所以，，…，相互独立且同分布，且有相同的数学期望与方差：
，
满足独立分布中心极限定理条件，所以近似服从正太分布，即近似服从
第五章 数理统计的基本概念
5.1 总体 样本 统计量
一、选择题
1.(D)
2.(A)
3. (D)
二、应用题

1. 5，2.44
2.
3.
5.2抽样分布
一、选择题
1.(C) 注： 才是正确的.
2.(B) 根据得到
3.(A)
解：，
由分布的定义有
二、应用题
1.
2. (1) (2) 0.2061
3. 26.105
第五章 测验
一、选择题
1. ( C )
2.（C） 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数
3（D）
对于答案D,由于，且相互独立，根据分布的定义有

4.(C) 注：，才是正确的
5.(C)

=
二、填空题
1. ，
2. ，，，，
3.
4. 2
5

三、应用题
1.
2. 0.1
3.
第六章 参数估计
6.1 参数的点估计
一、选择题
1.A 2.A
二、解答题
1.解 （1）

用代替，则得的矩估计量

（2）分布参数的似然函数

取对数
解似然方程
得的极大似然估计量

2.解 （1），用代替总体均值，则得参数的矩估计量为
（2）
因为
所以

3.解 取由定义

所以
6.2 参数的区间估计
一、选择题
1. C 2. A
6.3 一个总体均值的估计
1.解 由于 故查分布表得又 故得的99%的置信区间为

2.解 计算得样本均值
（1） 总体均值的90%的置信区间为

（2）查t分布表得，总体均值的90%的置信区间为

3.解：计算得， n-1=7，查分布表得，计算得株高绝对降低值μ的95%的置信下限为.
4.解 每的平均蓄积量为，以及全林地的总蓄积量，估计精度为
5. [372.37, 452.67]
6.4 一个总体方差与频率的估计
1.解 由样本资料计算得,,,又由于，，， 查分布表得临界值
从而及的置信概率为的置信区间分别为[0.2099，0.9213]与[0.4581，0.9598].
2. 解 （1）由于查t分布表得又，故得总体均值的95%的置信的区间为

（2）由于 ，查分布表得，，故得总体方差的90%的置信区间为

3. 解查分布表得 ，又计算得，，故得该地年平均气温方差的90%的置信区间为

4. 解 造林成活率的置信区间为
6.5 两个总体均值差的估计
1. 解 由于，查分布表得临界值又从而求得的置信概率为95%的置信区间为[7.536，20.064].即以95%的概率保证每块试验田甲稻种的平均产量比乙稻种的平均产量高7.536kg到20.064kg.
2.解 由样本值计算得 ，，，故的95%的置信区间为

3. 解 由样本值计算得 ， 查分布表得故得的95%的置信区间为
4. [-13.93，-9.77]
6.6 两个总体方差比的估计
解 查F分布表得
故 的95%的置信区间为：

第六章 测验
一、选择题
1.D 2.C 3.A
二、填空题
1. 2. 3. 4. 5.
三、计算题
1.解 因为X～N 所以于是，
查分布表得 所以
2.解 （1）；
（2）.
3.解 因为X～N ，于是从而，故

4.解 （1）；（2）
5.解 设施肥与不施肥的收获量分别为总体且X～N Y～N ,计算可得又查分布表得临界值从而计算均值差的95%的置信区间为

故在置信概率0.95下，每亩水稻平均收获量施肥比不施肥的增产0.6到2.8斤.
第七章 假设检验
7.1 假设检验概念和原理
一、填空题：
1、概率很小的事件在一次试验（抽样）中是不至于发生的。
2、为真，通过一次抽样拒绝所犯错误； 为假，通过一次抽样接受所犯错误。

二、选择题
1、B ；2、D。

三、应用计算题
1、解：

2、解：（1）、
（2）、因 故拒绝原假设。
（3）、

7.2 一个总体参数的假设检验
一、填空题：
1、 。
2、。
3、
二、选择题
1．A 2.D 3. B
三、应用计算题
1、（1）若根据以往资料已知=14 ；（2）未知。
解：（1）

因 故接受原假设. 从而包装机工作正常。
(2).先检验标准差

故拒绝原假设
其次检验

因 故接受原假设
所以，综合上述两个检验可知包装机工作正常。
2、解：

故接受原假设。标准差没有明显增大。
3、解：

故两个水平下均接受原假设。

7.3 两个总体参数的假设检验
一、填空题
1、等方差。
2、服从.分布。
3、, 其中。
二、选择题
1、 B 2. A
三、应用计算题
1、解：

因 故接受原假设。
2、解：检验

因 故接受原假设即认为两种工艺下细纱强力无显著差异。
3、解：

因 故拒绝原假设，即认为乙厂产品的合格率显著低于甲厂。
7.4 非参数假设检验
一、填空题
1、
2、由抽样检验某种科学科学理论假设是否相符合。
3、。
二、选择题
1. A；2. C
三、应用计算题
1、解：该盒中的白球与黑球球的个数相等。
记总体表示首次出现白球时所需摸球次数，则服从几何分布，
其中表示从盒中任摸一球为白球的概率。若何种黑球白球个数相等，则此时
从而， ，
，

则接受原假设。
2、解： 的概率密度为
，
，

因
故接受原假设即认为的概率密度为 。
3、解： 公民对这项提案的态度与性别相互独立

因 故拒绝，即认为公民对这项提案的态度与性别不独立。
4、略。
第七章 测验
一、填空题（每小题4分，共20分）
1、
2、；
3、；；
4、；；
5、；．
二、选择题（每空4分，共20分）
1、A ； 2、C； 3、B；4、C；5、A
三、应用题（共60分）
1、解：检验

因 故接受原假设
2、解：

故拒绝原假设
3、解：先检验
（） 查表的
因故可认为方差相等。
其次检验

因 故接受原假设
4、解：，

因 故拒绝原假设。
5、解：
（1）
（2）
第八章 方差分析与回归分析
8.1方差分析的概念与基本思想
一、名词解释
1. 因素：影响试验指标变化的原因。
2. 水平：因素所设置的不同等级
3. 单因素试验：在试验中仅考察一个因素的试验
4. 多因素试验：在试验中考察两个或两个以上因素的试验，这类试验一般可用因素的数目来命名
5. 处理：一个试验中所考察因素不同水平的组合
6. 处理效应（组间误差）：试验中所考虑且加以控制的因素不同水平对试验指标的影响
7. 随机误差：试验中为考虑或未控制的随机因素所造成的试验指标的变异
二、问答题
1. 单因素试验中，因素的每一个水平即为一个处理，试验有几个水平，就相应地有几个处理；多因素试验中，处理的数目是各因素水平的乘积。例如，三因素试验中，A因素有a个水平，B因素有b个水平，C因素有c个水平，则处理数为abc个。
2. 方差分析的基本思想：将测量数据的总变异按照变异来源分解为处理效应和随机误差，利用数理统计的相关原理建立适当的统计量，在一定显著性水平下比较处理效应和随机误差，从而检验处理效应是否显著。
8.2单因素方差分析
一、填空题
1. 平方根变换，角度（弧度）反正弦变换，对数变换；
2. 最小显著差数法，最小显著极差法；新复极差法，q法；
3. 总平方和，随机误差平方和，组间平方和。
二、计算题
1.
变产来源
离差平方和
自由度
均方
值

组间
28.60
（4）
7.15
14.30
3.63
组内
（4.5）
9
0.5
总和
（33.1）
（13）

2.解：，，

方差分析表如下：

来源
平方和
自由度
均方和
值
因素
495.36
4
123.84
26.35
误差
94
20
4.7
总平方和
589.36
24

因为，所以，当显著性水平，5个温度对产量的影响有显著差异。
3.该题属于单因素4水平等重复试验的方差分析。其方差分析表如下：

变异来源
自由度df
离差平方和SS
均方差MS
F值

处理间
3
22.61
7.537
15.226**
4.07
7.59
处理内
8
3.96
0.495

总变异
11
26.57

说明不同浓度氟化钠溶液处理种子后，对芽长有极显著的影响。
多重比较省略。
4.该题属于单因素不等重复方差分析。
变异来源
自由度df
离差平方和SS
均方差MS
F值

处理间
2
153.53
76.76
21.51**
3.47
5.78
处理内
21
74.93
3.57

总变异
23
228.46

母猪对仔猪体重存在极显著的影响作用。
8.3双因素方差分析
1. 本题是双因素无重复观察值的方差分析。方差分析表如下：
变异来源
自由度df
离差平方和SS
均方差MS
F值

品种间（A）
3
2758.39
919.46
10.02**
3.16
5.09
室温间（B）
6
10530.21
1755.04
19.12**
2.66
4.01
误 差
18
1652.36
91.80

总变异
27
14940.96

F检验结果表明，品种和室温对家兔血糖值的影响均达极显著水平。
2. 本题为两因素等重复试验的方差分析。方差分析表如下：
变异来源
自由度df
离差平方和SS
均方差MS
F值

原料（A）
2
1554.1667
777.0833
12.67**
3.35
5.49
温度（B）
2
3150.5000
1575.2500
25.68**
3.35
5.49
A×B
4
808.8333
202.2083
3.30*
2.73
4.11
误 差
27
1656.5000
61.3519

总变异
35
7170

由方差分析表可知，原料、温度间的差异均达极显著水平，原料×温度的差异达显著水平。
8.4回归分析的基本概念
1.如何用数学语言描述相关关系？
相关关系就是一个或一些变量与另一个或一些变量之间有密切关系，但还没有确切到由其中一个可以唯一确定另一个的程度，其数学语言描述可为：如果给定变量任意一个具体取值,存在变量的一个概率分布与其对应，并且该概率分布随的不同而不同；同时给定变量任意一个具体取值,存在变量的一个概率分布与其对应，并且该概率分布随的不同而不同，则称与之间具有相关关系。相关关系是两个随机变量之间的平行相依关系。
2.什么是回归关系？回归关系与相关关系有何联系？
回归关系是指在相关关系中，如果容易测定或可人为控制，就将看成为非随机变量，并记为（称为预报因子），这时与（称为预报量）之间的关系称为回归关系。
回归关系是相关关系的简化，是变量之间的因果关系。

8.5 一元线性回归模型的建立与检验
一、填空题
1. 。
2. ， 。
二、应用题
1. 解：

（1）先求回归方程，由于

所以关于的回归方程为

（2）用相关系数检验法计算样本相关系数

因为而故可认为与的线性相关关系是极显著的
（3）把代入回归直线方程，得
，
2. 略。
3. 证明略。
8.6预测、控制与残差分析
（1） 解：

（1）先求回归方程，由于

所以关于的回归方程为

在检验，用相关系数检验法计算样本相关系数

取，查相关系数检验表得，由于故可认为与的线性相关关系是极显著的。
（2）把代入回归直线方程，得
，
，

故当时，腐蚀深度的95%预测区间为

即 .
（3）要使腐蚀深度在之间，即的取值在区间内时，则由方程组

解得

8.7可线性化的一元非线性回归
一、填空题
；。
二、解答题

解：做散点图如右图。由于与散点图呈指数曲线形状，于是有

两边取对数，令

模型转化为线性模型

对所给数据进行形影变换得到

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

7.8827
7.572
7.3092
6.9912
6.6399
6.2879
6.1821
5.6699
5.4205
5.3181
由公式计算可得

所以对的样本回归方程为

用检验法检验对的回归效果是否显著，取显著性水平为0.05，可得

即线性回归效果是显著的。代回原变量，得曲线回归方程

第八章 测验
一、选择题
1、A； 2、C； 3、B； 4、D
二、填空题
1. 正态 ，独立， 等方差 。
2. 。
3. 。
三、解答题
1.提示与解答：
单因素等重复方差分析，方差分析表为
方差来源
离差平方和
自由度
均方差

显著性
药品
1627.826
3
542.609
29.223
9.78
﹡﹡
误差
111.41
6
18.568

总和
1739.236
9

方差分析结果表明，农药的杀虫效果是极显著的。
2. 提示与解答：一元线性回归方程建立、检验、应用.
销售费用与销售收入之间的经验回归方程为

销售费用与销售收入之间的线性回归关系是显著的。
- 35 - / 35