基于简化模型的铁路简支梁桥横向振动分析方法.pdf

第 卷 第 期 年 月铁 道 学 报 文章编号：（）基于简化模型的铁路简支梁桥横向振动分析方法战家旺，苗慧磊，王昱杰，许鑫祥（北京交通大学 土木建筑工程学院，北京；天津市政工程设计研究总院有限公司，天津）摘 要：为解决铁路简支梁桥横向车桥耦合仿真分析方法效率低下的问题，提出考虑桥墩影响的铁路简支梁桥横向振动简化模型和分析方法。首先将列车横向激励简化为移动蛇形力，将桥梁横向简化为弹性支承梁；其次推导弹性支承梁在移动蛇形力作用下的振动解析解并分析共振消振条件；最后将简化分析方法与既有车桥耦合仿真分析方法得到的结果进行对比，以验证该方法的正确性并对其适用性进行探究。结果表明：该方法得到的桥梁横向振动随相关参数的变化规律与既有车桥耦合仿真分析方法一致，同时大大提高了分析效率，具有一定实用价值。关键词：铁路简支梁桥；横向振动；简化模型；弹性支承梁；蛇形运动中图分类号：文献标志码：，（，；，）：，：；收稿日期：；修回日期：基金项目：国家自然科学基金（）作者简介：战家旺（），男，河北沧州人，教授，博士。：随着我国铁路运输业的快速发展，列车速度不断提高，车辆轴重不断加大，列车过桥引起的桥梁振动问题逐渐受到关注。其中较典型的是梁体或墩顶横向振幅偏大问题，严重影响了桥梁正常运营甚至危及行车安全。为解决列车过桥引起的桥梁振动问题，多数学者采用数值仿真的方法进行研究，逐渐形成了完善的车桥耦合振动分析方法。夏禾等提出采用模态坐标法建立桥梁模型，该方法用较少振型即可得到精度较高的结构响应。李奇考虑车体柔性及悬挂体系的非线性特征，建立了车辆桥梁 轨道系统耦合振动精细分析理论。张志超等提出对车桥耦合系统进行非平稳随机振动分析的虚拟激励精细积分法，计算表明该方法具有较高精度。张楠等提出了全过程迭代法，避免了时间步内车桥系统间的迭代过程，一定程第 期战家旺等：基于简化模型的铁路简支梁桥横向振动分析方法度上提高了车桥耦合动力分析的计算效率。古泉等基于轮轨竖向非线性接触关系，提出了一种可分析复杂车桥耦合动力问题的轮轨耦合单元模型，并验证了其可靠性。李小珍等建立了轨道不平顺随机场模型，该模型可完整反映实际线路中的轨道不平顺信息，提高了车桥耦合振动分析结果的可靠性。辛莉峰等提出基于整体式建模方法的车轨桥耦合计算模型，并通过分析结果与实测数据对比分析证明了该模型的可靠性。虽然车桥耦合仿真分析方法能够较详细地分析列车过桥过程，但计算量较大，且未明确揭示列车桥梁相互作用的潜在驱动机制，因此部分学者尝试对车桥振动问题进行化简，提出了一些简化分析方法。等将简支梁桥简化为竖向弹性支承梁，给出了移动荷载列作用下桥梁振动响应近似解，并对共振消振现象进行了分析。等提出一种计算匀速正弦力作用下简支梁振动响应的简单近似方法，并给出了共振消振方程。李慧乐等推导了简支梁在移动荷载列作用下的振动响应理论解，并得到共振及消振车速计算公式。等针对桥梁横向振动，将轮对蛇行运动产生的荷载简化为一系列简谐力，推导了简支梁振动响应解析解，并给出移动蛇行力作用下桥梁横向振动估算公式。既有研究表明，基于简化模型进行车桥耦合振动分析可大大提升计算效率，同时更便于分析相关现象产生的原因。但既有研究多对梁体竖向振动进行分析，针对横向振动的简化分析方法研究很少，且未见开展考虑桥墩影响的横向振动简化分析方法相关研究。在这种背景下，本文系统研究了考虑桥墩影响的铁路简支梁桥横向振动简化分析方法，推导了振动解析解，确定了共振消振条件，并将简化分析结果与成熟的车桥耦合分析结果进行对比，验证了所提简化方法的有效性。简化车辆激励及桥梁模型 简化车辆激励轮对蛇形运动被认为是影响桥梁横向振动的主要因素，为简化分析，本文将列车横向激励简化为一系列由轮对蛇形引起的移动简谐力。轮对蛇形运动示意见图。为便于说明，首先分析桥上仅有一个移动轮对时的情况，时刻该轮对蛇形引起的移动简谐力（）为（）（）（）式中：为蛇形力幅值；为蛇形力圆频率。的计算式为（）式中：为车速；为轮对蛇形波波长，其值由轮对滚动圆间距、轮对滚动圆半径及车轮踏面锥度确定。由图 可知，桥梁实际运营状态下，多个轮对按排列顺序依次过桥，各轮对均会产生移动蛇形力，故在式（）基础上，进一步表示 时刻第 个轮对的蛇形力（）为（）（）（）式中：为第 个蛇形力的上桥时刻。假设列车轮对数为，将各轮对的移动蛇行力叠加，即得到简化列车荷载为（，）（）（）（）（）（）式中：为桥梁跨度；为 函数；为单位阶跃函数，（）。图 轮对蛇形运动示意 简化桥梁模型为使本文提出的振动分析方法更具普适性，取多跨简支梁桥中跨的一跨进行简化分析，并同时考虑梁和墩结构参数对桥梁横向振动的影响。将一孔简支梁桥横向简化为弹性支承梁，见图。图 中，两端桥墩对梁体的横向约束简化为刚度 和 的横向弹簧。图 简支梁桥简化模型横向弹簧刚度由墩身弯曲刚度、基础扭转刚度及基础横向水平刚度组成，其表达式分别为，（）铁 道 学 报第 卷式中：，（，）、，（，）、，（，）分别为单位力作用在 墩或 墩墩顶时，墩身弯曲、基础扭转及基础平移引起的墩顶横桥向水平位移。分析桥梁振动响应时，仅考虑简化模型第 阶振型可得到较好的精度，因此本文基于第 阶振型推导弹性支承梁振动解析解。弹性支承梁第 阶振型见图。通过对比弹性支承梁、简支梁及弹簧约束刚性梁的 阶振型形状可知，弹性支承梁的 阶振型可由后两者的 阶振型叠加得到，则梁体的柔度 为（）（）式中：、分别为两侧墩顶及梁体跨中的计算柔度；为梁长。将柔度以刚度表示，从而得梁长范围内振型表达式（）为（）（）式中：和 分别为墩 和墩 对应的梁墩刚度比，即（）其中，为 梁 体 弹 性 模 量；为 梁 体 截 面 横 向 惯性矩。图 弹性支承梁第 阶振型 基于简化模型的桥梁振动解析解及共振消振分析 结合第 节推导的简化车辆激励和简化简支梁桥模型，忽略阻尼时，可得到列车以速度 通过简支梁桥时，个轮对蛇行力激励下的桥梁横向振动方程为（，）（，）（，）（）式中：为梁体每延米质量；（，）为 个轮对蛇行力按实际排列产生的总激励（见式（）。广义坐标（）与振型函数（）采用振型叠加法求该解横向振动方程，将（，）（）（）代入式（），将方程两侧同时乘以（），并在梁长 上对 积分，化简为（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）式中：为简化的弹性支承梁的自振频率；为理想简支梁的自振频率。式（）和式（）分别为弹性支承梁和理想简支梁的自振频率表达式。可以看出，与理想简支梁相比，弹性支承梁自振频率除了与梁体质量和刚度分布相关外，还受梁墩刚度比的影响。采用 积分求解式（），得到多轮对蛇形力作用下桥梁振动的广义坐标为（）（）（）（）（）（）（）在式（）的基础上，开展本节的振动解析解推导及共振消振分析研究。蛇形力作用下弹性支承梁振动解析解由式（）简化得到单个轮对蛇形波作用下桥梁振动的广义坐标为（）（）（）（）（）不考虑蛇形力初相位，将荷载速度圆频率 代入将式（）简化可得（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）第 期战家旺等：基于简化模型的铁路简支梁桥横向振动分析方法（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）理想简支梁广义坐标方程为（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）式（）中桥墩刚度趋于无穷（即、）时，弹性支撑梁变为简支梁的广义坐标与理想简支梁广义坐标方程（式（）相同，从而证实了推导公式的可靠性。由式（）可知，该方程存在多个分式，当项出现分母为 的情况（、或）时，振动发散。其中，无实际意义，不可能发生；实际情况中，蛇形波频率 和结构频率 都要比荷载速度圆频率 大，故 也不会发生；仅后 种情况有可能出现。但实际情况中，相比于 和 均较小，因此 种共振通常集中分布在 附近。在单个蛇形波作用下的广义坐标公式（）基础上，进一步分析 个轮对过桥时的振动情况。鉴于轮对出桥后，桥梁振动并非立即消失，仍将以自由振动形式存在，因此多个轮对过桥时的梁体振动情况应为桥上轮对蛇形力引发的强迫振动和出桥后轮对蛇行力引发的自由振动（按低阻尼体系自由振动考虑）叠加。个轮对通过桥梁时梁体的振动广义坐标式（）乘上振型（）即可得到梁体的振动位移（，）。（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）式中：为阻尼比；（）和（）分别为单个蛇形力过桥时，广义坐标在 时的振动值及其对时间的偏导数在 时的值。共振消振分析列车的多个轮对按实际排列过桥时，各轮对蛇形力会形成周期性激励，当满足某种前述条件时，会引发桥梁结构共振，影响桥梁和行车安全，因此有必要对产生共振的条件进行探究。对比单个蛇形力和多个蛇形力作用下的式（）和式（）可知，式（）中出现了式（）所示的三角级数项。不同的级数项叠加会使多个蛇形力产生区别于单个蛇形力作用时的振动放大或缩小效应。（）（）（）（）（）为便于说明简化方法，假设轮对蛇形力以间隔 均匀排列，取第一个蛇形力的上桥时刻 ，根据三角变换公式和有限项三角级数和公式，对式（）中第一个级数项进行化简可得 （）（）由式（）可知，当，时，方程为 型不定式，采用洛必达法则求其极限得 （）可以看出，满足，条件时，多个蛇形力作用下的结构响应是单一蛇形力作用下响应的 倍，此时结构出现共振现象。按照第一个级数项的化简思路，对式（）的其他级数项进行简化计算，得到多个共振条件，即 ，（），（），（）对式（）中各参数进行分析，可知共振条件可分铁 道 学 报第 卷为两类：速度 与蛇形力圆频率 之间满足一定关系（鉴于 也是与速度的相关参数，且 相比 较小，故前 个共振条件均属于此类情况），此类条件在理论上虽较易满足，但由于实际情况中的轮对磨耗是随机性的，导致轮对蛇形激励的频率也是随机的，一般不能形成稳定的周期性激励，所以其效应并不明显；速度 与结构频率 满足关系 ，（第 个共振条件属于此类情况），这一条件不受轮对蛇形激励的影响，出现时将会产生较大的振动。对于消振条件，仍以式（）中第一个级数项为例进行说明，使各个三角函数的波叠加以后相互抵消，即 （）（）以式（）为基础对各三角级数的消振条件进行推导，结果为 ，（），（），（）当某一个消振条件满足时，该级数项的振动就会消失。由式（）可见，消振条件位于共振峰值之间，两个共振峰值点之间存在 个消振点。为更直观地体现本节提出的共振和消振条件，不同蛇形力个数下，第一个级数项幅值随 的变化关系见图。由图 中可知：随着 的变化，多个蛇形力作用的级数项在，处出现卓越峰值，其幅值为单个蛇形力作用下幅值的 倍，蛇形力个数越多，放大倍数越大；此外，也可明显看出消振点处于共振峰值点之间。简化分析方法的验证本节将基于简化分析方法的桥梁横向振动分析结果与既有车桥耦合仿真分析结果进行对比分析，来验证所提方法的有效性。建立车桥耦合仿真分析模型：车辆采用重载列车，编组为，车速取 ，车辆为 个自由度的多刚体模型，各车体和转向架均考虑点头、摇头、横摆、侧滚和沉浮等 个自由度。跨简支梁桥有限元模型见图。桥梁具体参数见表。轮轨间竖向密贴，横向轮轨关系按照密贴处理，考虑轮对蛇形；激励源考虑轮对蛇形激励和轨道不平顺，其中蛇形激励根图 振动幅值随 与蛇形力个数变化关系据新车轮和轮缘磨耗至极限时的波长范围，按均匀分布的随机变量进行处理，轨道不平顺采用美国五级谱；车桥系统响应采用 法进行求解。图 桥梁有限元模型表 桥梁初始参数参数梁体桥墩跨度 高度 密度（）截面面积 弹性模量 横向截面惯性矩 基础水平刚度（）基础扭转刚度（）为便于对比分析，简化分析方法采用的模型参数与车桥仿真方法相同，蛇形力间距根据轮对实际情况进行排列。由于简化分析方法忽略了桥墩质量，导致其频率和实际结构频率有一定差别，而第 节的推导表明频率大小会直接影响振动结果，为消除频率差异造成的影响，分析时对简化分析方法中的梁体质量参数进行修正，以保证二者频率相等。据表 中的桥梁参数计算简化模型的弹性支承刚度及修正后的梁体质量，其中弹性支承刚度按式（）计算，梁体质量根据式（）和式（）进行修正。梁体刚度的影响梁体刚度大小直接影响桥梁振动响应，从梁体刚度变化的角度，对比车桥耦合仿真和简化分析方法的计算结果，以确定简化分析方法的适用性。将梁体刚第 期战家旺等：基于简化模型的铁路简支梁桥横向振动分析方法度乘以变化系数以模拟梁体刚度变化，并分析其对梁体跨中横向振动最大值的影响规律。两种分析方法得到的梁体横向刚度和跨中横向振动最大值的关系见图。图 横向振动最大值随梁体刚度变化梁体横向刚度的变化改变了墩梁体系横向自振频率，横向振动最大值随体系横向基频的变化曲线见图。图 结构频率和振动最大值关系从图 和图 可知：（）对于不同梁体刚度，车桥仿真与简化计算结果的变化规律一致，均随着梁体横向刚度的增大，呈现出降升降的变化规律，且在梁体刚度系数 左右（见图），对应体系横桥向基频满足多个蛇形力共振条件 ，即 时（见图），车桥仿真与简化计算结果均出现振动峰值，即墩梁体系出现共振。这说明利用本文所提出的简化分析方法不仅可以得到与传统车桥仿真分析方法规律相似的结果，而且合时可以较准确地反应出车桥耦合计算中的车桥共振现象。（）梁体刚度系数大于 ，即墩梁结构体系横向基频大于 时，简化计算所得结果与车桥仿真结果幅值差异较小且误差相对稳定。桥墩刚度的影响桥墩刚度是影响桥梁结构振动响应的另一重要因素。通过改变中间跨一侧桥墩侧推刚度，对比车桥耦合仿真结果和简化方法分析结果，见图，从而探究该方法的适用性。图 横向振动最大值随桥墩刚度变化桥墩横向刚度变化将改变结构横向自振频率，梁体横向振动幅值随横向基频变化曲线见图。图 横向振动最大值随频率变化从图 和图 可知：（）对于不同桥墩刚度，车桥耦合仿真和简化分析方法得到的曲线整体变化趋势一致，随着桥墩侧推刚度 的增加，两曲线均在桥墩刚度系数 左右（见图），对应体系横桥向基频满足多个蛇形力共振条件 ，即 （见图）处出现卓越峰值。简化分析方法得到的曲线较为平滑，峰值更加明显，特征突出，可见本文提出的简化分析方法具有一定实用价值。（）桥墩横向刚度较小时，两条曲线基本重合，说明桥墩截面相同的情况下，该简化分析方法在墩高较大的简支梁桥中具有更好的适用性。综合前述分析结果可知，虽然利用本文所提简化方法得到的分析结果与车桥耦合仿真结果在幅值上存在一定差距，但两种方法得到的结果在符合实际的桥梁结构参数范围内具有较好的规律一致性，且利用简化分析方法可较准确分析出车桥系统的横向共振铁 道 学 报第 卷现象。结论本文提出了考虑桥墩影响的铁路简支梁桥横向振动简化分析方法，并对该简化方法的适用性进行了分析和验证，主要结论如下：（）对横向车辆激励和桥梁进行简化，提出以轮对蛇行力和弹性支承梁为基础的铁路简支梁桥横向振动分析模型。（）基于该简化模型进行理论分析，得到了弹性支承梁在移动蛇形力作用下的振动解析解及桥梁横向共振消振条件。（）与传统车桥耦合振动分析方法相比，本文所提的简化模型和分析方法计算效率大大提高。不仅可以分析墩梁体系的振动响应，并可较准确预测车桥耦合振动系统的共振现象。（）鉴于简化方法在墩梁刚度比较大时与既有仿真方法所得幅值仍有较大差距，后续将对该简化方法进行进一步修正，以扩大其适用范围。参考文献：卜建清，娄国充，罗永会铁路桥梁横向振幅超限的原因及加固减振方法探讨铁道工程学报，（）：，（）：同长虹，黄建龙，李国芳，等列车提速后的铁路桥梁横向振动控制振动测试与诊断，（）：，（）：，夏禾，张楠车辆与结构动力相互作用 版北京：科学出版社，：，李奇车辆桥梁 轨道系统耦合振动精细分析理论及应用上海：同济大学，：，张志超，张亚辉，林家浩车桥耦合系统非平稳随机振动分析的虚拟激励精细积分法工程力学，（）：，（）：张楠，夏禾基于全过程迭代的车桥耦合动力系统分析方法中国铁道科学，（）：，（）：张楠，郭薇薇，夏禾高速铁路车桥耦合动力学北京：北京交通大学出版社，：，古泉，李维泉，国巍，等新型二维轮轨耦合单元及 实现铁道学报，（）：，（）：李小珍，辛莉峰，肖林，等考虑轨道不平顺全概率分布的车桥随机分析方法土木工程学报，（）：，（）：辛莉峰，李小珍，肖林，等轨道不平顺随机性对高速铁路桥梁动 力 响 应 的 影 响 铁 道 学 报，（）：，（）：，（）：，（）：李慧乐，夏禾，郭薇薇移动荷载作用下简支梁共振与消振机理研究工程力学，（）：，（）：，：，（）：曹雪琴，陈晓轮轨蛇行引起桥梁横向振动随机分析铁道学报，（）：，（）：（责任编辑 聂现会）