陕西省商洛市2020-2021学年高二数学上学期期末教学质量检测试题-理.doc

陕西省商洛市2020-2021学年高二数学上学期期末教学质量检测试题 理

陕西省商洛市2020-2021学年高二数学上学期期末教学质量检测试题 理

年级：
姓名：

13

陕西省商洛市2020-2021学年高二数学上学期期末教学质量检测试题 理
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：北师大版必修5，选修2-1．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知空间向量，，若，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．双曲线的虚轴长为（ ）
A． B．2 C． D．
5．已知命题若直线l的方向向量与平面的法向量垂直则，命题等轴双曲线的离心率为，则（ ）
A．为真命题 B．为假命题
C．为真命题 D．为真命题
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．如图在平行六面体中，AC与BD的交点记为M．设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）

A． B．
C． D．
8．抛物线上一点到焦点F的距离为（ ）
A． B．5 C． D．33
9．在三棱锥中，平面BCD，，，，，点E在棱AD上，且，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则 （ ）
A． B． C． D．
11．正三棱柱的底面边长和高均为2，点D为侧棱的中点，连接AD，BD，则点到平面ABD的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．已知椭圆的左右焦点分别为，，点P为C上一点，，的内切圆与外接圆的半径分别为，，若，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为__________．
14．已知，，，则的最小值为__________．
15．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”设第一天这根木棰被截取一半剩下尺，第二天被截取剩下的一半剩下尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下尺，则__________．
16．已知双曲线，直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，过A作圆的切线，D为其中一个切点若，则C的离心率为__________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知是等差数列，，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
18．（12分）
的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，．
（1）求；
（2）若的周长为，求的面积．
19．（12分）
已知椭圆C的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，长轴为，且等于双曲线的实轴长，C的离心率为．
（1）求C的标准方程；
（2）若P为C上一动点，且P不在坐标轴上，求面积的取值范围．
20．（12分）
在直四棱柱中底面ABCD为正方形，，M，N，P分别是AD，，的中点．

（1）证明：平面平面；
（2）求直线DP与平面MNC所成角的正弦值．
21．（12分）
如图，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，，．

（1）证明：；
（2）若，点E在线段CD上，且求二面角的余弦值．
22．（12分）
已知抛物线与双曲线有相同的焦点F．

（1）求C的方程，并求其准线l的方程；
（2）如图，过F且斜率存在的直线与C交于不同的两点，，直线OA与准线l交于点N．过点A作l的垂线，垂足为M．证明：为定值，且四边形AMNB为梯形．
2020~2021学年度第一学期期未教学质量检测
高二数学试卷参考答案（理科）
1．B 存在量词命题的否定是全称量词命题．
2．D 因为，，
所以．
3．A 因为，所以．
4．C 由，得，所以，则．
5．D 如果直线l的方向向量与平面的法向量垂直，那么或，
所以p为假命题．“等轴双曲线的离心率为”是真命题．
6．A 若，
则，，成立．
若，
则，得，或．
当时，；
当时，．
故“”是“”的充分不必要条件．
7．B ．
8．C 依题意可得，所以，
则．
9．A 建立如图所示的空间直角坐标系，
得，，，，

由，得，
所以，．
设异面直线CD与BE所成角为，
所以．
10．B 由，得，
因为，所以，
．
11．C 如图，建立空间直角坐标系，O为的中点，

由已知，，，，，
所以，，
可求得平面ABD的法向量为，，
则点到平面ABD的距离为．
12．D 设，则．
因为，
所以，
则，则．
由等面积法可得，
整理得，
因为，所以，故．
13．15 作出可行域（图略），由图可知，
当直线经过点时，z取得最大值，且最大值为15．
14． 因为，，
所以．
15．24 依题意可知，，，，…成等比数列，且公比为，
则．
16．
将代入C的渐近线方程，得，则．
不妨假设，则．
因为，所以，即，
故．
17．解：（1）因为，，所以公差，
则的通项公式为．
（2）由（1）知，
所以
．
18．解：（1）因为，
所以．
（2）因为，所以．
由余弦定理得，
则．
因为的周长为，所以，
解得．
所以的面积为．
19．解：（1）因为双曲线的实轴长为，
所以，
解得，
所以C的标准方程为或．
（2）因为，所以．
所以P到的距离，
所以面积的取值范围为．
20．（1）证明：因为M，N，P分别是AD，，的中点，
所以，．
又平面MNC，平面MNC，
所以平面MNC．
同理平面MNC，
又，
所以平面平面．
（2）解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
，，．
设平面MNC的法向量为，
则，
令，得．
设直线DP与平面MNC所成角为，
则，
所以直线DP与平面MNC所成角的正弦值为．
21．（1）证明：由题意易知．
作，垂足为H，则，
故．
因为，所以．
因为平面ABCD，平面ABCD，所以．
因为平面APC，平面APC，且，
所以平面APC．
因为平面APC，所以．
（2）解：因为，，且，
所以．
以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，
从而，，，．
设平面APE的法向量为，
则，令，得．
设平面PCE的法向量为，
则，
令，得．
设二面角为，由图可知为锐角，
则．
22．（1）解：因为双曲线的右焦点为，
所以，则，即，
故C的方程为，
其准线的方程为．
（2）证明：由题意可知，直线AB过点F且斜率存在，设其方程为，
联立，整理得，
恒成立，
，故为定值．
因为点N在准线上，设点N为，
则由，可得．
又，所以．
因此轴，
易知，，，故四边形AMNB为梯形．