陕西省西安中学2021届高三数学下学期4月第六次模拟考试试题-理.doc

陕西省西安中学2021届高三数学下学期4月第六次模拟考试试题 理

陕西省西安中学2021届高三数学下学期4月第六次模拟考试试题 理

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姓名：

13

陕西省西安中学2021届高三数学下学期4月第六次模拟考试试题 理
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2、已知为虚数单位，且复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．1或 -1 B．-1 C．1 D．0
3、已知向量则“的夹角为锐角”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4、铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，相邻两块砖之间的夹角固定为36°，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（ ）

A． B． C． D．
5、已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（ ）
A. B. 80 C. D.
6、已知数列的前项和，则数列的前10项和等于（ ）
A．35 B. 45 C．55 D. 1023
7、已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D.
8、在平面直角坐标系中，已知圆，圆，则两圆的公切线的条数是（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
9、清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
10、数列中，，.若数列是等差数列，则的最大值为（ ）
A． B. C． D．
11、已知曲线C上任意一点满足，则曲线C上到直线的距离最近的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
12、函数，当时，关于的不等式
恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、在中，已知,为边中点，点在直线上，且则边的长度为 .

14、已知函数,的部分图像如右图，则 .

15、已知随机变量的分布列如下表，表示的方差，则 .

16、已知四面体的所有棱长均为，分别为棱的中点，为棱上异于的动点.则下列结论中正确的结论的序号为 .
①线段的长度为1；
②若点为线段上的动点，则无论点如何运动，直线与直线都是异面直线；
③的余弦值的取值范围是；
④周长的最小值为.
三、解答题（本大题共7小题，第17—21题为必考题，第22、23题为选考题）
（一）必考题：共60分
17.（本小题满分12分）
的内角的的对边分别为.已知的面积为，.
（1）若；
（2）若为边的中点，求线段长的最小值.

18.（本小题满分12分）
如图，直三棱柱中，,分别为的中点.
（1）求证：；
（2）.

19.（本小题满分12分）
如图所示，抛物线关于轴对称，它的顶点为坐标原点，点均在抛物线上．

求抛物线的方程及其准线方程；
当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．

20.（本小题满分12分）
某机器生产商对一次性购买2台机器的客户推出2种超过质保期后2年内的延保维修方案：
方案一：交纳延保金6000元，在延保的2年内一共可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1 500元；
方案二：交纳延保金7740元，在延保的2年内一共可免费维修4次，超过4次每次收取维修费a元．
某工厂准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理100台这种机器超过质保期后2年内维修的次数，统计得下表：
维修次数
0
1
2
3
机器台数
20
10
40
30

以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后2年内共需维修的次数．
(1)求X的分布列；
(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算？

21.（本小题满分12分）
已知函数
（1）设曲线处的切线方程为，求证
（2）若方程有两个根，求证：.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做第一题计分
22.（本小题满分10分）
直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（1）曲线与直线：交于两点，求;
（2）曲线的参数方程为，当时，若与有两个交点，极坐标分别为求的取值范围，并证明.
23.（本小题满分10分）
已知函数
（1）解不等式;
（2）记函数的最小值为，且，其中均为正实数，求证：.

西安中学高2021届高三第六次模拟考试
理科数学答案
一、选择题
1、D 2、B 3、A 4、C 5、C 6、B 7、D 8、B 9、A 10、C 11、B 12、D
二、填空题
13、 14、 15、2 16、①④
三、解答题
17、解：（1），根据余弦定理
（2）

18、

19、解：由图与题意可设抛物线的标准方程为：．
把点代入抛物线方程可得：，解得，
抛物线的方程为：．
证明：由题意可知直线的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零．   设，
直线的方程为，   直线的方程为，   
联立得，
由题意知此方程的一个根为1，
，即．同理， 
，  
，    ，    直线AB的斜率为定值．
或：直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
，化简可得．
直线AB的斜率，所以直线AB的斜率为定值．
20、解　(1)X所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6，
P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝××2＝，P(X＝2)＝×＋××2＝，
P(X＝3)＝××2＋××2＝，P(X＝4)＝×＋××2＝，
P(X＝5)＝××2＝，P(X＝6)＝×＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
6
P

(2)设选择方案一所需费用为Y1元，则Y1的分布列为
Y1
6 000
7 500
9 000
10 500
12 000
P

E(Y1)＝×6 000＋×7 500＋×9 000＋×10 500＋×12 000＝8 580.
设选择方案二所需费用为Y2元，则Y2的分布列为
Y2
7 740
7 740＋a
7 740＋2a
P

E(Y2)＝×7 740＋×(7 740＋a)＋×(7 740＋2a)＝7 740＋.
当E(Y1)－E(Y2)＝840－>0，即0<a<2 000时，选择方案二更合算，
当E(Y1)－E(Y2)＝840－＝0，即a＝2 000时，选择方案一、方案二均可；
当E(Y1)－E(Y2)＝840－<0，即a>2 000时，选择方案一更合算．
21、解：

22、解：（1）将曲线代入曲线

（2）曲线消参得到圆的方程为代入得到曲线的极坐标方程为得到
，又.
由于有两个交点，

23、解：（1）令，
①当时，，则
②当时，，则
③当时，，则
综上：不等式的解集为.
（2）因为，则，
则
又（当且仅当时取等号），则，
则，故得证．