江西省宜春市高安中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题-文.doc

江西省宜春市高安中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 文

江西省宜春市高安中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 文

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姓名：

7

江西省宜春市高安中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 文
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，，那么集合等于（ ）
A． B． C． D．
2．复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．已知函数．则的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．已知等边三角形的边长为2，按照斜二测画法作出它的直观图，则直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．函数 的图像大致为( )
A． B．
C． D．
7．渐近线方程为的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
8．在四面体中，两两垂直，且均相等，是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
9．已知定义在上的奇函数且为减函数，若成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点在正方体的面对角线上运动，
则下列结论不总成立的是（ ）
A．三棱锥的体积不变 B．平面，
C．平面平面 D．
11．设函数若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数的图像在点处的切线为，若也与函数，的图像相切，则实数必满足（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．）
13．已知,,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是 .
14．函数在上的值域是 .
15．在中，，，，为外一点，满足，则三棱锥的外接球的半径为 ．
16．不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.

18．已知函数， 且.
（1）证明在上单调递增；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

19．新型冠状病毒，因2019年病毒性肺炎病例而被发现，此病母是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒，为此，某科研机构对戴口罩是否能有效预防传染进行跟踪研究，以下是新型冠状病毒肺炎患者及其家属在疫情期间是否戴口罩的统计数据：所得列联表如下：

未戴口罩(人数)
戴口罩(人数)
总计
感染(人数)

未感染(人数)
13

40
总计
20
30
50

（1）计算列联表中，，，的值；
（2）能否有的把握认为未感染与戴口罩有关系？
附表及公式

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

20．在直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线的参数方程为（为参数，），曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值.

21．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，为上一点，且.
（1）在上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
（2）求三棱锥的体积.

22．已知椭圆的标准方程为，该椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆长轴上一点(其中为常数)作两条互相垂直的弦, ．若弦, 的中点分别为,，证明：直线恒过定点．

江西省高安中学2020-2021学年度下学期期中考试
高二年级数学（文）试题答案
一.选择题： 在下列各题列出的四个选项中，只有一项是最符合题意的。（本题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选择
C
A
B
B
B
A
B
C
C
D
D
D
二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.
14.
15.
16.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 解析：（1）证明：因为在直三棱柱中，底面
所以
又因为，
所以平面.
（2）取的中点，因为为的中点，
所以∥，且
因为为的中点，∥，且
所以∥，且，所以四边形为平行四边形
所以∥
又因为 平面， 平面
所以∥平面.

18.（1）设且，则

因为且
所以，
所以即
则在上单调递增
（2）若不等式在上恒成立
所以在上恒成立
由（2）知在上递增
所以
所以

19. （1）由题意，，，；
（2）由题意结合（1）可得，
所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为未感染与戴口罩有关系.

20. （1）由，得，
∴曲线的直角坐标方程为.
（2）将直线的参数方程代入得到.
设，两点对应的参数分别为，，
则，.
∴ ，
当时取到等号.
∴.
21. （1）在中，，,由余弦定理可得，
，，
，即.
底面，平面,,
，平面，平面，， ，
平面，又平面，.
过点作于点，连接，则可知平面，，
，，,由，可得，
存在点，使得平面，此时.
（2）由（1）得，底面为平行四边形
.
，，
，.
22. （1）解：∵点在椭圆上，∴，
又∵离心率为，∴，∴，
∴，解得，，
∴椭圆方程为．
（2）证明：设直线的方程为，，则直线的方程为，
联立，得，
设，，则，，
∴，
由中点坐标公式得，
将的坐标中的用代换，得的中点，
∴直线的方程为，，
令得，∴直线经过定点，
当时，直线也经过定点，综上所述，直线经过定点．