2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(19).doc

陈自山整理
2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(19)
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
【第1题:概率】
甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军.4个人相互比赛的胜率如表所示：

表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4.那么甲刻冠军的概率是 .
【第2题：立体几何】
如图，正方体的棱长为1，中心为，则四面体的体积为 .
【第3题:柯西不等式取等号条件为0时】
均为非负实数，满足，则的最大值与最小值分别为 .
【第4题:平面向量：奔驰定理】
若为内一点，满足，设，则 .
【第5题:构造函数，集合关系容易漏解】
设，．若的非空子集个数为1，
则实数的取值范围是 ．
【第6题:】
已知，则的取值范围是_______________.
【第7题:复数概念】
已知复数，则 .
【第8题:圆锥曲线】
已知双曲线的左、右焦点分别为，是右支上的一点，是的延长线上一点，且，若，则的离心率的取值范围是______________．
【第9题:规划面积问题】
已知为非零复数，的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，所对应的向量的端点运动所形成的图形的面积为 .
【第10题：不等式取等条件】
已知正实数与非负实数满足
(1) ;
(2) ，则 的最大值为__________．
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）
【第11题：数列】
已知正项数列的前n项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的前项和．
【第12题：解析几何】

【第13题:导数】
已知函数.
（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域.
【第14题：平面几何：2016西部赛，多圆问题】

【第15题：组合最值之方格，2009年全国女子数学竞赛】

2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟19参考答案
【第1题】根据概率的乘法公式 ，所示概率为.
【第2题】
【第3题】由柯西不等式可知，当且仅当时，取到最大值.
根据题意，有，于是解得.于是的最小值当时取得，为.
【第4题】根据奔驰定理，有.
【第5题】解：由已知得恰含一个元素．设，分以下情况讨论：
（1）若，则，但是当时，的零点，故应舍去，而经验证满足条件；
（2）若，则根据二次函数图像性质，必有，即，解得或，但应舍去，而经验证满足条件．
综上所述，有．
【第6题】解：不妨设，
∵，
∴

∴
消去得，即
当且仅当时，等号成立

考虑到图形的对称性，令，得
即，
∴
【第7题】根据题意，有
【第8题】
【第9题】设，由于，于是
如图，弓形面积为，
四边形的面积为.
于是所示求面积为.
【第10题】解：.由均值不等式知,
于是 ,
即.
取满足条件,且取到最大值.
【第11题】
解：（1）因为，且，所以，所以． 所以 …①，当时，有 …②，①、②两式作差得， 所以，因为，所以，又因为，所以．（2）因为，，所以，，所以当时，，＝＝ 又也适合上式，所以所以＝＝，
所以＝＝，＝．
【第12题】

【第13题】
解：（1）因为对恒成立，等价于对恒成立，设得，　故在上单调递增， 当时，由上知，所以,即，所以实数的取值范围为；　
（2）对求导得，　
记，，由（1）知在区间内单调递增，又，
所以存在唯一正实数，使得，当时，，，函数在区间单调递减；时，，，函数在区间单调递增； 所以在内有最小值，由题设即．又因为．所以．　根据（1）知， 在内单调递增，，所以．令，则，函数在区间内单调递增，所以，即函数的值域为．　　
【第14题】

【第15题】