2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(9).doc
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1、陈自山整理2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(9)一、填空题(共10小题,每小题6分,满分60分。请直接将答案写在题中的横线上)1已知数列满足,(),则的最小值为 。2对于函数,若对任意的,存在唯一的,使得,则称函数在上的几何平均数为。已知,则函数在上的几何平均数 。3若三个非零且互不相等的实数、满足,则称、是调和的;若满足,则称、是等差的。已知集合,集合是集合的三元子集,即。若集合中元素、既是调和的,又是等差的,则称集合为“好集”。则不同的“好集”的个数为 。4已知实数,满足,且,则的最小值为 。5如图,在四面体中,是边长为3的等边三角形。若,则四面体外接球的面积为 。6在正十边形的
2、10个顶点中,任取4个点,则以这4个点为顶点的四边形为梯形的概率为 。7方程在区间内的所有实根之和为 。8已知为上增函数,且对任意,都有,则 。9已知集合的元素都是整数,其中最小的为1,最大的为200。且除1以外,中每一个数都等于中某两个数(可以相同)的和。则的最小值为 。(符号表示集合中元素的个数)10已知函数,则函数在区间上的最大值为 。二、解答题(共5小题,每小题20分,满分100分。要求写出解题过程)11将各项均为正数的数列排成如下所示的三角形数阵(第行有个数,同一行中,下标小的数排在左边)。表示数阵中,第行、第1列的数。已知数列为等比数列,且从第3行开始,各行均构成公差为的等差数列(
3、第3行的3个数构成公差为的等差数列;第4行的4个数构成公差为的等差数列,),。(1)求数阵中第行、第列的数(用、表示)。(2)求的值;(3)2013是否在该数阵中?并说明理由。12已知、为抛物线:上的两个动点,点在第一象限,点在第四象限。、分别过点、且与抛物线相切,为、的交点。(1)若直线过抛物线的焦点,求证:动点在一条定直线上,并求此直线方程;(2)设、为直线、与直线的交点,求面积的最小值。13如图,在中,它的内切圆分别与边、相切于点、,连接,与内切圆相交于另一点,连接、。(1)求证:;(2)若,求证:。14已知。(1)求在区间上的最小值;(2)利用函数的性质,求证:(,且);(3)求证:(
4、,且)。15已知集合。,为集合中构成等差数列的个元素。求的最大值。2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟9参考答案1 【解答】由,知,。上述个等式左右两边分别相加,得。 ,又时,;时,。 时,取最小值。2【解答】 当时, 在区间上为增函数,其值域为。 根据函数几何平均数的定义知,。3【解答】若、既是调和的,又是等差的,则,。即“好集”为形如()的集合。由“好集”是集合的三元子集知,且。 ,且。符合条件的可取1006个值。4 【解答】由知,。 。设,则,。当且仅当,即,时等号成立。 的最小值为27。5 【解答】面积为。6 【解答】设正十边形为。则以为底边的梯形有、共3个。同理分别以、为底边的
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