山西省吕梁市2021届高三数学上学期第一次模拟考试试题-理.doc

山西省吕梁市2021届高三数学上学期第一次模拟考试试题 理

山西省吕梁市2021届高三数学上学期第一次模拟考试试题 理

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山西省吕梁市2021届高三数学上学期第一次模拟考试试题 理
(本试题满分150分，考试时间120分钟。答案一律写在答题卡上)
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
3.考试作答时，请将答案正确地填写在答题卡上，答在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1.已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x2－3x－4<0}，则A∩B＝
A.{x|－2≤x<4} B.{x|－1<x≤2} C.{x|－1<x<4} D.{x|－2≤x≤2}
2.已知命题p：“∀x∈R，ax2＋bx＋c>0”，则¬p为
A.∀x∈R，x2＋bx＋c≤0 B.∃x0∈R，ax02＋bx0＋c≥0
C.∃x0∈R，ax02＋bx0＋c≤0 D.∀x∈R，ax2＋bx＋c<0
3.已知等比数列{an}满足a1＝1，4a4－a1a7－4＝0，则a7＝
A.4 B. C.8 D.
4.刘徽(约公元225年－295年)，魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一。他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作。割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积运用割圆术的思想，估计sin4°的值为

A.0.0524 B.0.0628 C.0.0785 D.0.0698
5.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a3＝3a1，a2＝3a1－1。则数列的前10项和为
A. B.55 C. D.65
6.已知a＝log23，b＝0.23，c＝log34，则a、b、c的大小关系为
A.c>b>a B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b
7.已知F为双曲线(a>0，b>0)的左焦点，若双曲线右支上存在一点P，使直线PF与圆x2＋y2＝a2相切，则双曲线离心率的取值范围是
A.(1，) B.(，＋∞) c.(1，) D.(，＋∞)
8.若＝m，则tan(α＋)等于
A. B. C. D.
9.函数f(x)＝lncosx的图象大致为

10.已知函数f(x)＝sin(2x＋)＋cos(2x－)，给出下列结论：①f(x)的最小正周期为π；②点6
(－，0)，是函数f(x)的一个对称中心③f(x)在(－，)上是增函数；④把y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度就可以得到f(x)的图象，则正确的是
A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④
11.已知f(x)＝ln(x2＋1)－x2，若f(x)＝k有四个零点，则k的取值范围为
A.(0，ln2－) B.(－∞，ln2－) C.(ln2－，ln2＋) D.(ln2＋，＋∞)
12.已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，AB＝2，若四棱锥P－ABCD外接球的体积为，则该四棱锥的表面积为
A.4 B.6 C.8 D.10
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.若向量、、，满足＋＋＝，||＝||＝1，则(－)·＝ 。
14.已知曲线y＝x3＋ax－2与x轴相切，则a＝ 。
15.已知直线l：x＝my＋1过抛物线C：y2＝2px的焦点F，交抛物线C于A、B两点，若，则直线l的斜率为 。
16.如图，已知棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，给出下列结论：

①异面直线AP与DD1所成的角范围为[，]；
②平面PBD1⊥平面A1C1D；
③点P到平面A1C1D的距离为定值；
④存在一点P，使得直线AP与平面BCC1B1所成的角为。
其中正确的结论是 。
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)
设a为实数，函数f(x)＝－x。
(1)若a＝1，求f(x)的定义域；
(2)若a≠0，且f(x)＝a有两个不同的实数根，求a的取值范围。
18.(本小题满分12分)
数列{an}满足a1＝2，an＋1＝。
(1)求证：数列{}为等比数列；
(2)设bn＝，求bn的前n项和Tn。
19.(本小题满分12分)
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a－b＝2c·cosB。
(1)求角C；
(2)若a＝2，D在边AB上，且，CD＝，求b。
20.(本小题满分12分)
如图，四棱锥S－ABCD中，AB//CD，BC⊥CD，侧面SCD为等边三角形，AB＝BC＝4，CD＝2，SB＝2。

(1)求证：BC⊥SD；
(2)求二面角B－AS－D的余弦值。
21.(本小题满分12分)
已知椭圆C：过点A(1，)，B(0，－1)。
(1)求C的方程；
(2)经过D(2，1)，且斜率为k的直线l交椭圆C于P、Q两点(均异于点B)，证明：直线BP与BQ的斜率之和为定值。
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝alnx－，(a∈R)。
(1)若f(x)≤0，求实数a的取值范围；
(2)求证：(n∈N*)。

吕梁市2020 - 2021学年度高三年级第一次模拟考试（理科）数学参考答案
一，选择题
1.【答案】B【解析】.所以，故选B.
2.【答案】C【解析】由全称命题的否定为特称命题，可知C正确.故选C
3.【答案】A 【解析】因为，所以，所以，再由得，，故选A．
4.【答案】D【解析】将一个单位圆平均分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4°，因为这90个扇形对应的等腰三角形的面积和近似于单位圆的面积，所以，所以，故选D.
5.【答案】C【解析】设等差数列的公差为，则，所以
所以，数列的前10项和，故选C
6.【答案】D 【解析】：由题知 ， ，，故选D
7.【答案】B 【解析】：直线PF与圆相切，则直线PF的斜率，
又点P在双曲线的右支上，所以，即，所以，所以，即，故选B
8.答案：C 解析：因为，
则，故选C
9.【答案】A【解析】，由，所以为奇函数，可排除B，D，又，故选A
10.【答案】C【解析】：由题知，则周期，故①正确；故②正确；当时，，故③正确；把的图像向左平移个单位长度就可以得到的图像，故④错误，故选C
11.【答案】 A 【解析】，由，得或或，可知在处取极小值，或处取极大值.因，，，所以当时，有四个零点.故选A.
12.【答案】B【解析】：设底面ABCD的中心为M,正三角形的中心为N,过M作直线垂直于平面ABCD,过N作直线垂直于正三角形APD，
则两条直线的交点就是外接圆的球心O,设外接球半径为r,由题知
,即OA=,又ON=1,所以AN=1,所以AD=,
，因为 ,,
因为,所以,,所以
二、填空题
13.【答案】0【解析】因为，，
所以
14.【答案】【解析】：设曲线上切点坐标为，
因为，所以，解得
15.【答案】【解析】由直线过，所以，设，由，可得，直线与抛物线联立得，，所以，可得，所以.
16.【答案】②③【解析】对于①，当在点时，，异面直线与所成的角最大为，当在点时，异面直线与所成的角最小为，异面直线与所成的角的范围为，故①错误；对于②，因为平面，所以平面平面，故②正确；对于③平面，所以点到平面的距离为定值，且等于的，即，故③正确；对于④直线与平面所成的角为，，当时，最小，最大，最大值为，故④不正确，故填②③。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本题满分10分）
【解析】（1）当时，对任意的，，
所以， ------------2分
解得或， ---------------4分
所以的定义域为 ---------5分
（2）得
设，所以有2个不同的实数根.---------7分
整理得，，-------------8分
同时，所以-----------------10分
18.（本小题满分12分）
【解析】（1）由得，，………………3分
又，所以为首项为1，公比为的等比数列，………………5分
（2）由（1）得，，即.………………7分
所以，①………………8分

②………………9分
由①-②得，………………10分
………………11分
所以………………12分
19.解析：(1)因为，由正弦定理得：
，-------2分
因为代入上式得，
, ------4分
即因为，所以,
又因为C是三角形内角，所以C= -------6分
（2）解1：由题知，
即，, --------8分
,即，解得 --------12分
解2：由题知，
可设，则, --------7分
在中，由余弦定理得：，
即 ① -------8分
在中，由余弦定理得：
，
即 ② ---------9分
在中，由余弦定理得：
即③ ---------10分
①+2②得：，和③联立得， -------11分
解得 ----------12分
20.（本小题满分12分）
【解析】（1）由已知BC=4，SC =2，得，
，所以∠BCS=90°--------2分
所以，又，所以平面----------3分
又平面，所以----------4分
（2）以D为坐标原点，取AB中点E，的方向分别为轴，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则 .----------5分

所以.----------6分
平面的法向量为.
则即取，则
所以.----------8分
平面的法向量为
则即，得，取，则
所以..----------10分
从而----------11分
因二面角B-AS-D为锐角，故二面角B-AS-D的余弦值为.----------12分

21.【解析】（1）因为椭圆过点，得，1分
过点，得，，.3分
所以椭圆的标准方程为.5分
（2）由题设知直线的方程为，.6分
与椭圆方程联立，整理得.7分

设，，
则.8分
从而直线与的斜率之和
.9分
.10分
.11分
所以直线与的斜率之和为定值1.12分
22.解析：解1：（1）因为， ------1分
当时，，符合题意 ------------2分
当时，，在上单调递减，
而，不合题意-----------3分
当时，令，得，，令，得，即在上单调递增，在上单调递减，所以，解得----------------5分
综上：实数的取值范围为---------------------------------------6分
解2：由已知若，即对恒成立，-----1分
当时，，不等式显然成立；--------2分
当时，由得，设，则，由得，由，得，即在单调递减，在单调递增，所以，所以；---------4分
当时，由，得，由，因为，所以，即在上单调递减，且当时，，所以，，所以，--------5分
综上，-------------6分
（2）由（1）知，当时，，即，---------------------------7分
所以，-------------------------------------8分
所以，-------------------------------------10分
所以即证-----12分