西南大学《数理统计》作业及参考答案.doc

数理统计第一次
1、设总体服从正态分布，其中已知，未知，为其样本，,则下列说法中正确的是（ ）。
（A）是统计量 （B）是统计量
（C）是统计量 （D）是统计量
2、设两独立随机变量，，则服从（ ）。

3、设两独立随机变量，，则服从（ ）。

4、设是来自总体的样本，且，则下列是的无偏估计的是（ ）.

5、设是总体的样本，未知，则下列随机变量是统计量的是（ ）.
（A）； （B）； （C）； （D）

6、设总体，为样本，分别为样本均值和标准差，则下列正确的是（ ）.

7、设总体X服从两点分布B（1，p），其中p是未知参数，是来自总体的简单随机样本，则下列随机变量不是统计量为（ ）
( A ) . ( B )
( C ) ( D )
8、设为来自正态总体的一个样本，，未知。则的最大似然估计量为（ ）。
（A） （B）（C）（D）

1、（D）；2、 ；3、；4、；5、（B）；6、7、( C ) ；8、（B）。

第二次

1、设总体，为样本，分别为样本均值和标准差，则服从（ ）分布.

2、设为来自正态总体的一个样本，，未知。则的置信度为的区间估计的枢轴量为（ ）。
(A) (B) (C) (D)

3、在假设检验中，下列说法正确的是（ ）。
(A) 如果原假设是正确的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第一类错误；
(B) 如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误；
(C) 第一类错误和第二类错误同时都要犯；
(D) 如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误。
4、对总体的均值和作区间估计，得到置信度为95%的置信区
间，意义是指这个区间（ ）。
(A)平均含总体95%的值　　　　　　　(B)平均含样本95%的值
(C)有95%的机会含样本的值　　　　　(D)有95%的机会的机会含的值
5、设是未知参数的一个估计量，若，则是的（ ）。
(A)极大似然估计　　　(B) 有偏估计　　(C)相合估计　　(D) 矩法估计
6、设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中
正确的是( ).
（A）是的无偏估计量. （B）是的极大似然估计量.
（C）是的相合（一致）估计量. （D）不是的估计量.
7、设总体，未知，为样本，为修正样本方差，则检验问题：，（已知）的检验统计量为（ ）.
（A）（B） （C）（D）.
1、；2 (C) ；3、(A)；4、 (D)；5、 (B) ；6、（A）；7、（D）.

第三次
1、设总体服从参数为的泊松分布，是来自总体的简单随机样本，则 ．
2、设为来自正态总体的样本，若为的一个无偏估计，则_____。
3、设，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体中抽取的样本，则的矩估计值为 。
4、设总体服从正态分布，未知。为来自总体的样本，则对假设；进行假设检验时，通常采用的统计量是____________，它服从____________分布，自由度为____________。
5、设总体,为来自该总体的样本，,则______.
6、我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的特点是 ．
7、已知，则 ．
8、设，是从总体中抽取的样本，求的矩估计为 ．
9、检验问题：，（含有个未知参数）的皮尔逊检验拒绝域为 ．
10、设为来自正态总体的简单随机样本，设

若使随机变量服从分布，则常数 ．
11、设由来自总体的容量为9的简单随机样本其样本均值为，则的置信度为0.95的置信区间是 （）.
12、若线性模型为，则最小二乘估计量为 ．

1、，2、1，3、1.71，4、，，,5、2/5，6、独立性，代表性；
7、1/2；8、；9、；10、1/3；11、；12、。 .

第四次
1、设总体X服从两点分布B（1，p），其中p是未知参数，是来自总体的简单随机样本。指出之中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？
2、设总体X服从参数为（N，p）的二项分布，其中（N，p）为未知参数，为来自总体X的一个样本，求（N，p）的矩法估计。
3、设是取自正态总体的一个样本，试问是的相合估计吗？
4、设连续型总体X的概率密度为, 来自总体X的一个样本，求未知参数的极大似然估计量，并讨论的无偏性。
5、随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11设钉长服从正态分布。 若已知σ=0.01（厘米），试求总体均值的0.9的置信区间。（）
6、甲、乙两台机床分别加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布与，为比较两台机床的加工精度有无显著差异。从各自加工的轴中分别抽取若干根轴测其直径，结果如下：
总体
样本容量
直径
X(机床甲)

Y(机床乙)
8

7
20.5 19.8 19.7 20.4 20.1 20.0 19.0 19.9

20.7 19.8 19.5 20.8 20.4 19.6 20.2
试问在α=0.05水平上可否认为两台机床加工精度一致？（）
7、为了检验某药物是否会改变人的血压，挑选10名试验者，测量他们服药前后的血压，如下表所列：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
服药前血压
134
122
132
130
128
140
118
127
125
142
服药后血压
140
130
135
126
134
138
124
126
132
144
假设服药后与服药前血压差值服从正态分布，取检验水平为0.05，从这些资料中是否能得出该药物会改变血压的结论？
1、 解：都是统计量，不是统计量，因p是未知参数。
2、 解：因为，只需以分别代解方程组得。
3、解：由于 服从自由度为n-1的-分布，故
，
从而根据车贝晓夫不等式有
，所以是的相合估计。
4解：似然函数为，令，得.由于，
因此的极大似然估计量是的无偏估计量。
5、 解：，置信度0.9，即α=0.1，查正态分布数值表，知, 即,从而，，所以总体均值的0.9的置信区间为
.
6、解：首先建立假设：

在n=8，m=7, α=0.05时,

故拒绝域为, 现由样本求得=0.2164，=0.2729，从而F=0.793，未落入拒绝域，因而在α=0.05水平上可认为两台机床加工精度一致。
7、、解：以X记服药后与服药前血压的差值，则X服从，其中均未知，这些资料中可以得出X的一个样本观察值：6 8 3 -4 6 -2 6 -1 7 2
待检验的假设为
这是一个方差未知时，对正态总体的均值作检验的问题，因此用t检验法当时，接受原假设，反之，拒绝原假设。依次计算有
，
，
由于， T的观察值的绝对值. 所以拒绝原假设，即认为服药前后人的血压有显著变化。

1、设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料：
日售出台数
2 3 4 5 6
合计
天数
20 30 10 25 15
100
求样本容量n，样本均值和样本方差。
2、设为总体X服从的一个样本，求.（）
3、设总体X具有分布律
X
1
2
3
Pk
θ2
2θ(1－θ)
(1－θ) 2
其中θ(0<θ<1)为未知参数。已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的最大似然估计值。
4、求均匀分布中参数的极大似然估计．
5、为比较两个学校同一年级学生数学课程的成绩，随机地抽取学校A的9个学生，得分数的平均值为，方差为；随机地抽取学校B的15个学生，得分数的平均值为，方差为。设样本均来自正态总体且方差相等，参数均未知，两样本独立。求均值差的置信水平为0.95的置信区间。（）
6、设A，B二化验员独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定，其测量值的修正方差分别为，设和分别为所测量的数据总体（设为正态总体）的方差，求方差比的0.95的置信区间。
7、某种标准类型电池的容量（以安-时计）的标准差，随机地取10只新类型的电池测得它们的容量如下
146，141，135，142，140，143，138，137，142，136
设样本来自正态总体，均未知，问标准差是否有变动，即需检验假设（取）：。
8、某地调查了3000名失业人员，按性别文化程度分类如下：
文化程度
性别
大专以上 中专技校 高中 初中及以下
合计
男
女
40 138 620 1043
20 72 442 625
1841
1159
合计
60 210 1062 1668
3000
试在α=0.05水平上检验失业人员的性别与文化程度是否有关。（）
第五次1、设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料：
日售出台数
2 3 4 5 6
合计
天数
20 30 10 25 15
100
求样本容量n，样本均值和样本方差。
2、设为总体X服从的一个样本，求.（）
3、设总体X具有分布律
X
1
2
3
Pk
θ2
2θ(1－θ)
(1－θ) 2
其中θ(0<θ<1)为未知参数。已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的最大似然估计值。
4、求均匀分布中参数的极大似然估计．
5、为比较两个学校同一年级学生数学课程的成绩，随机地抽取学校A的9个学生，得分数的平均值为，方差为；随机地抽取学校B的15个学生，得分数的平均值为，方差为。设样本均来自正态总体且方差相等，参数均未知，两样本独立。求均值差的置信水平为0.95的置信区间。（）
6、设A，B二化验员独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定，其测量值的修正方差分别为，设和分别为所测量的数据总体（设为正态总体）的方差，求方差比的0.95的置信区间。
7、某种标准类型电池的容量（以安-时计）的标准差，随机地取10只新类型的电池测得它们的容量如下
146，141，135，142，140，143，138，137，142，136
设样本来自正态总体，均未知，问标准差是否有变动，即需检验假设（取）：。
8、某地调查了3000名失业人员，按性别文化程度分类如下：
文化程度
性别
大专以上 中专技校 高中 初中及以下
合计
男
女
40 138 620 1043
20 72 442 625
1841
1159
合计
60 210 1062 1668
3000
试在α=0.05水平上检验失业人员的性别与文化程度是否有关。（）
1、解：样本容量为n=100
样本均值，样本方差，样本修正方差分别为

2、解： 因每个与总体X有相同分布，故服从，则服从自由度n=7的-分布。因为，查表可知, 故
3、解：似然函数

ln L(θ )=ln2+5lnθ+ln(1－θ)
求导
得到唯一解为
4、解：由X服从[a，b]上的均匀分布，易知

求a，b的矩法估计量只需解方程, 得
5、解：根据两个正态总体均值差的区间估计的标准结论，均值差的置信水平为0.95的置信区间为

6、解：n=m=10, 1-α=0.95，α=0.05,
,
从而
故方差比的0.95的置信区间为[0.222，3.601]。
7、这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验问题。
检验统计量为
。
代入本题中的具体数据得到。
检验的临界值为。
因为，所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设，即认为电池容量的标准差发生了显著的变化，不再为1.66。
8、解：这是列联表的独立性检验问题。在本题中r=2，c=4，在α=0.05下，
, 因而拒绝域为：. 为了计算统计量(3.4)，可列成如下表格计算：

大专以上 中专技校 高中 初中及以下

男
女
36.8 128.9 651.7 1023.6
23.2 81.1 410.3 644.4
1841
1159
合计
60 210 1062 1668
3000
从而得
,
由于=7.326<7.815，样本落入接受域，从而在α=0.05水平上可认为失业人员的性别与文化程度无关。

1设是取自正态总体的一个容量为2的样本，试证下列三个估计量都是μ的无偏估计量：, 并指出其中哪一个估计量更有效。

可见第三个估计量更有效。
2设是取自正态总体的一个样本，试证是的相合估计。
证明：由于服从自由度为n-1的-分布，故
，
从而根据车贝晓夫不等式有
， 所以是的相合估计。

3 随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11设钉长服从正态分布，试求总体均值的0.9的置信区间。（1）若已知σ=0.01（厘米），（2）若σ未知。
解：（1）  ，置信度0.9，即α=0.1，查正态分布数值表，知, 即, 从而，， 所以总体均值 的0.9的置信区间为.
（2）σ未知
, 置信度0.9，即α=0.1，自由度n-1=15，查t-分布的临界值表

所以置信度为0。9的μ的置信区间是

4 某农场为了试验磷肥与氮肥是否提高水稻收获量，任选试验田18块，每块面积1/20亩进行试验，试验结果：不施肥的10块试验田的收获量分别为8.6，7.9，9.3，10.7，11.2，11.4，9.8，9.5，10.1，8.5（单位：市斤），其余8块试验田在插种前施加磷肥，播种后又追施三次氮肥，其收获量分别为12.6，10.2，11.7，12.3，11.1，10.5，10.6，12.2。假定施肥与不施肥的收获量都服从正态分布，且方差相等，试在置信概率0.95下，求每1/20亩的水稻平均收获量施肥比不施肥增产的幅度。

答：　设正态总体 分别表示施肥和不施肥的每1/20亩的水稻收获量，据题意，有

对1-α=0.95，即α=0.05，查t分布表（自由度为n+m-2=16），得 ，于是

所以在置信概率0。95下，求每1/20亩的水稻平均收获量施肥比不施肥增产0.6到2.8市斤。

1 某厂用自动包装机装箱，在正常情况下，每箱重量服从正态分布，某日开工后，随机抽查10箱，重量如下（单位：斤）：99.3，98.9，100.5，100.1，99.9，99.7，100.0，100.2，99.5，100.9，问包装机工作是否正常，即该日每箱重量的数学期望与100有显著差异（给定水平α=0.05，并认为该日的仍为1.15）？
答：以该日每箱重量作为总体 ，它服从 ，问题就归结为根据所给的样本观察值对方差已知的正态总体检验 ，可采用U-检验法。
原假设 ，由所给样本观察值算得 ，于是

对于α=0.05，查标准正态分布表得 ，因为 ，所以接受 ，即可以认为该日每箱重量的数学期望与100 无显著差异，包装机工作正常。
2 设某包装食盐的机器正常工作时每袋食盐的标准重量为500克，标准差不得超过10克，某天开工后从包装好的食盐中随机抽取9袋，测得其净重如下（单位：克） 497 , 507 , 510 , 475 , 484 , 488 , 524 , 491 , 515 . 问此时包装机工作是否正常?
解：，
选取检验统计量：  ，计算得，在n=9,α=0.05时，。拒绝域，因此 此时包装机工作是正常的。
3 由累积资料知道甲、乙两煤矿的含灰率分别服从. 现从两矿各抽n=5, m=4个试件，分析其含灰率为(%)
甲矿
24.3
20.8
23.7
21.3
17.4
乙矿
18.2
16.9
20.2
16.7

问甲、乙两矿所采煤的含灰率的数学期望有无显著差异（显著水平α=0.05）？
答：分别以甲乙两矿所采煤的含灰率作为总体 和总体 ,问题归结为根据所给的样本观察值对方差已知的两个正态总体检验 ，可采用U-检验法。
原假设 ，由所给样本观察值算得 ，于是

对于α=0.10，查标准正态分布表得 ，因为 ，所以拒绝 ，即可以认为 有显著差异。
4 两台车床生产同一种滚珠（滚珠直径按正态分布见下表），从中分别抽取8个和9个产品，比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否相等（α=0.05）？
甲床
15.0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8
乙床
15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 15.0 14.8 15.1 14.8

答：已知n=8，m=9，α=0.05，假设 ，α=0.05，α/2=0.025，第一自由度n-1=7，第二自由度m-1=8，在 成立的条件下选取统计量 服从自由度分别为7，8的F分布

查表： ，因为F=3.69<4.53,所以接受假设 ，即可以认为两台车床生产的滚珠直径的方差相等。
5 自某种铜溶液测得9个铜含量的百分比的观察值为8.3，标准差为0.025。设样本来自正态总体，均未知。试依据这一样本取显著性水平检验假设：。
解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于左边检验问题，
检验统计量为
。
代入本题具体数据，得到。
检验的临界值为。

1 从一批机器零件毛坯中随机抽取8件，测得其重量（单位：kg）为：230，243，185，240，228，196，246，200。
（1）写出总体，样本，样本值，样本容量；
（2）求样本的均值，方差及二阶原点距。
答：（1）总体为该批机器零件重量ξ，样本为 ，样本值为230，243，185，240，228，196，246，200，样本容量为n=8；
　　（2）

2 设总体X服从正态分布，其中已知，未知，是来自总体的简单随机样本。
（1）写出样本的联合密度函数；
（2）指出之中哪些是统计量，哪些不是统计量。
答：（1）因为X服从正态分布 ，而是取自总体X的样本，所以有Xi服从 ，即

故样本的联合密度函数为
。
　　　　（2）都是统计量，因为它们均不包含任何未知参数，
而
不是统计量。
3 设总体X服从两点分布B（1，p），其中p是未知参数，是来自总体的简单随机样本。指出之中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？
答：都是统计量，不是统计量，因p是未知参数。
4 设总体服从参数为的指数分布，分布密度为
求和.
解：由于，所以
；
；
。
5 设总体X服从，样本来自总体X, 令, 求常数C，使CY服从-分布。
解：因为样本  独立同分布，所以服从，服从，同理服从, 因此服从，服从，且两者相互独立，由-分布的可加性，知Y/3服从，所以取C=1/3 。

6 设总体X服从，是取自总体X的简单随机样本，为样本均值，分别是样本方差和样本修正方差，问下列统计量各服从什么分布。
答：　由定理知 服从自由度为n-1的 -分布，由定理的系得 服从自由度为n-1的t-分布，由 服从 ，可得 服从 ， 服从 ，由于 相互独立因此由 -分布的可加性，得 服从自由度为n的 -分布。

7 设总体X服从，和为样本均值和样本修正方差，又有服从，且与相互独立，试求统计量服从什么分布。
答：　由X服从 ， 服从 ， 服从 ， 服从 ，又由 服从自由度为n-1的 -分布，注意t分布的定义 服从自由度为n-1的t-分布。由 服从 ， 服从 ，又由 服从自由度为n-1的 -分布，注意F分布的定义 服从自由度为（1，n-1）的F-分布。
（不好意思，X都写成了，让教师费心了！！）

　1 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）
74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002
求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S2。

解：μ，σ2的矩估计是
。
2总体X的概率密度为，其中为未知参数，样本来自总体X，求未知参数的矩法估计与极大似然估计。
答：首先求数学期望
从而解方程
得 的矩法估计为 。
似然函数为

令
解得 的极大似然估计为 。

3 求均匀分布中参数的极大似然估计．
解 先写出似然函数

该似然函数不连续，不能用似然方程求解方法，只有回到极大似然估计原始定义，注意最大值只能发生在

4 设连续型总体X的概率密度为, 来自总体X的一个样本，求未知参数的极大似然估计量，并讨论的无偏性。
答：　似然函数为
　　其中
因此 的极大似然估计量 是 的无偏估计量。

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