高中物理竞赛-话题4:曲率半径问题.doc
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1、话题4:曲率半径问题一、曲率半径的引入在研究曲线运动的速度时,我们作一级近似,把曲线运动用一系列元直线运动来逼近。因为在 的极限情况下,元位移的大小和元弧的长度是一致的,故“以直代曲”,对于描述速度这个反映运动快慢和方向的量来说已经足够了。对于曲线运动中的加速度问题,若用同样的近似,把曲线运动用一系列元直线运动来代替,就不合适了。因为直线运动不能反映速度方向变化的因素。亦即,它不能全面反映加速度的所有特征。如何解决呢?圆周运动可以反映运动方向的变化,因此我们可以把一般的曲线运动,看成是一系列不同半径的圆周运动,即可以把整条曲线,用一系列不同半径的小圆弧来代替。也就是说,我们在处理曲线运动的加速
2、度时,必须“以圆代曲”,而不是“以直代曲”。可以通过曲线上一点与无限接近的另外两个相邻点作一圆,在极限情况下,这个圆就是点的曲率圆。二、曲线上某点曲率半径的定义在向心加速度公式中为曲线上该点的曲率半径。圆上某点的曲率半径与圆半径相等,在中学物理中研究圆周运动问题时利用了这一特性顺利地解决了动力学问题。我们应该注意到,这也造成了对意义的模糊,从而给其它运动的研究,如椭圆运动、抛体运动、旋轮线运动中的动力学问题设置了障碍。曲率半径是微积分概念,中学数学和中学物理都没有介绍。曲率是用来描述曲线弯曲程度的概念。曲率越大,圆弯曲得越厉害,曲率半径越小,且。这就是说,曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的
3、曲率互为倒数。二、曲线上某点曲率半径的确定方法1、 从向心加速度的定义式出发。 将加速度沿着切向和法向进行分解,找到切向速度和法向加速度,再利用求出该点的曲率半径。例1、将的小球从点以的初速度水平抛出,设重力加速度,求:在抛出点的曲率半径; 抛出后时的曲率半径。解析: 初时在点向心加速度,方向竖直向下,所以小球在曲线上点的曲率半径 如图,抛出后时到达点,切向速度,.向心加速度小球在点的曲率半径 2、已知曲线,由可得某点曲率半径。证明:对于任意曲线,均可理解为方向的匀速直线运动及方向的变速运动的叠加。 如图,速度沿切向,例2、筑路工人把从山上挖出来的土石,盛在一个箩筐里,沿一条钢索道滑到山下。如
4、索道形状为的抛物线,且箩筐及它所盛的土石可以看作质量的质点。求箩筐自处自由滑至抛物线顶点时箩筐对钢索的压力大小。解析:如图所示,建立坐标系,钢索呈顶点为坐标原点、开口向上的抛物线。箩筐自处自由滑至抛物线顶点时速度大小,方向沿方向。抛物线上任意点的曲率半径在原点,所以。而此时,所以。3、矢量分解法求椭圆的长轴与短轴端点的曲率半径(已知长半轴和短半轴分别为和)。如图所示,设质点在平面内沿椭圆轨道以速率运动。这个运动在平面的一个分运动轨道恰成半径为的圆,则两平面间夹角。对于椭圆上点,设曲率半径为,质点以线速度通过点,则该点的向心加速度 对在平面上的投影点,其线速度为,向心加速度为沿平面方向分量,则
5、比较、两式可得,同理,对点及其投影点有, 即4、构造运动法构造两个相互垂直的分运动,写出分运动表达式。如图所示为椭圆 ,求椭圆上A、B两点处的曲率半径。解:椭圆 ,可以看成是两个函数的合成。 , 即可进一步写出,两个方向的速度和加速度则 , , 在处, ,求得处的曲率半径为在处, ,求得处的曲率半径为5、利用开普勒第二定律和机械能守恒定律求椭圆的曲率半径例3、地球绕太阳(固定)作椭圆运动,已知轨道半长轴为,半短轴为,如图所示,试求地球在椭圆各顶点、的运动速度的大小及其曲率半径解:对顶点、,由机械能守恒定律有 根据开普勒第二定律有 式中由式解得由万有引力提供向心力得 解得对顶点,由机械能守恒得将
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