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多项式因式分解的方法.doc
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1、(完整版)多项式因式分解的方法多项式的因式分解的方法重庆师范大学涉外商贸学院 数学与应用数学 2009级 王康森指导老师 孟开成摘要:数学思想有很多,因式分解的方法也有不少,看似不相干的两个数学问题又是如何放在一起并同时发光发热;这里利用部分因式分解的方法来深入了解常见的数学思想;关键词: 因式分解 数学思想的应用 Abstract: There are many mathematical ideas, methods of factorization of also many, seemingly unrelated two math problems and how to put toge
2、ther and at the same time to shine; this method of using partial factorization to in-depth understanding of mathematical ideas and common;Key Words: factoring Application of mathematical thought一 什么是因式分解因式分解它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛的应用于初等数学中同时它也被很多的中学数学的教育者和研究者称为“解决数学问题的有力工具”.既然被称为有力的工具,那什么是因式分解? 把一个多项
3、式化为几个最简整整式的乘积形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式)。因式分解没有普遍的方法,在现有的中学教材中主要介绍了提公因式法、公式法;但为了学生更好的解题,很多的老师都会补讲拆项和添减项法、分组分解法、十字相乘法、待定系数法、双十字相乘法、对称多项式法、轮换对称多项式法、余式定理法、求根公式法、换元法、长除法、短除法、除法等,而到了大学中由于对高等代数以及数论的学习,又有了处理多元多项式的因式分解,同时也延伸出了处理一些特殊多元多项式的导数法,n元二次多项式的求秩合同变换法等等;那么在众多的方法中它们又是如何来体现我们的数学思想的?二 什么是数学思想数学思想,是指现实世界
4、的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中,经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识;基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想,它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征,并且是历史地发展着的。 数学思想发展至今,主要有转化思想、整体思想、类比思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、极限思想等.三 因式分解中数学思想的应用1.转化思想在于将未知的,陌生的,复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的,熟悉的,简单的问题。三角函数,几何变换,因式分解,解析几何,微积分,乃至古代数学的尺规作等数学理论无不渗透着转化的思想.
5、常见的转化方式有:一般 特殊转化,等价转化,复杂 简单转化,数形转化,构造转化,联想转化,类比转化等.例1 把下列各式分解因式: (1); (2) (3)分析:我们初看,他们都不能直接用公式来因式分解,但可以看成是关于某个字母的二次三项式;或者其中有两项可以分别看作是两数的平方形式,且符号相同。 解(1)由于16可以看作,于是有 ; (2)由幂的乘方公式,可以看作,可以看作,于是有 ; (3)由积的乘方公式,可以看作,于是有 说明:在运用完全平方公式的过程中,再次体现转化思想的应用,可见转化思想是重要而且常用思想方法,要真正理解,学会运用.在这里就单举以上几个例子来阐述转化思想的转化形式.如果
6、要把各种转化的类型都以例题拿出来,就没必要了。 2.整体思想整体思想就是从问题的整体性质出发,突出对问题整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的的、有意识的整体处理。例2 分解因式:分析:本题若直接用公式法分解,过程很复杂,观察a+b,b+c与a+2b+c的关系,可以将它看成一个整体,利用整体思想将它变成我们已知的简单问题。 解:设a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B例3 分解因式 解:设为A原式 说明:整体思想其实在因式分解中应用是相当的广泛的,单是因式分解常见分解方法中的分组分解法就是一个很好的
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