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(完整版)多项式因式分解的方法
多项式的因式分解的方法

重庆师范大学涉外商贸学院 数学与应用数学 2009级 王康森
指导老师 孟开成

摘要：数学思想有很多,因式分解的方法也有不少，看似不相干的两个数学问题又是如何放在一起并同时发光发热；这里利用部分因式分解的方法来深入了解常见的数学思想；

关键词： 因式分解 数学思想的应用
Abstract: There are many mathematical ideas, methods of factorization of also many， seemingly unrelated two math problems and how to put together and at the same time to shine; this method of using partial factorization to in-depth understanding of mathematical ideas and common；
Key Words： factoring Application of mathematical thought

一 什么是因式分解

因式分解它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛的应用于初等数学
中同时它也被很多的中学数学的教育者和研究者称为“解决数学问题的有力工具”.
既然被称为有力的工具，那什么是因式分解？
把一个多项式化为几个最简整整式的乘积形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式)。
因式分解没有普遍的方法，在现有的中学教材中主要介绍了提公因式法、公式法；但为了学生更好的解题，很多的老师都会补讲拆项和添减项法、分组分解法、十字相乘法、待定系数法、双十字相乘法、对称多项式法、轮换对称多项式法、余式定理法、求根公式法、换元法、长除法、短除法、除法等，而到了大学中由于对高等代数以及数论的学习，又有了处理多元多项式的因式分解,同时也延伸出了处理一些特殊多元多项式的导数法，n元二次多项式的求秩合同变换法等等；那么在众多的方法中它们又是如何来体现我们的数学思想的？

二 什么是数学思想

数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想,它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征,并且是历史地发展着的。
数学思想发展至今，主要有转化思想、整体思想、类比思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、极限思想等.

三 因式分解中数学思想的应用

1.转化思想

在于将未知的，陌生的,复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。三角函数,几何变换，因式分解,解析几何，微积分，乃至古代数学的尺规作等数学理论无不渗透着转化的思想.常见的转化方式有：一般 特殊转化,等价转化，复杂 简单转化，数形转化,构造转化，联想转化，类比转化等.
例1 把下列各式分解因式：
（1）； （2）
(3）
分析：我们初看，他们都不能直接用公式来因式分解，但可以看成是关于某个字母的二次三项式；或者其中有两项可以分别看作是两数的平方形式，且符号相同。

解(1）由于16可以看作，于是有

;
（2)由幂的乘方公式，可以看作，可以看作，于是有

；
（3）由积的乘方公式，可以看作，于是有

说明：在运用完全平方公式的过程中，再次体现转化思想的应用，可见转化思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用.在这里就单举以上几个例子来阐述转化思想的转化形式.如果要把各种转化的类型都以例题拿出来，就没必要了。

2.整体思想
整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的的、有意识的整体处理。
例2 分解因式：：
分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，可以将它看成一个整体，利用整体思想将它变成我们已知的简单问题。
解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B

例3 分解因式
解：设为A
原式

说明：整体思想其实在因式分解中应用是相当的广泛的,单是因式分解常见分解方法中的分组分解法就是一个很好的范例，所以在这里就不另外举更多的例子来说明因式分解法中的整体思想。

3.类比思想

把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处,那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处；
例 4 已知三角形的三边a、b、c满足等式，证明这个三角形是等边三角形。
分析: 要证明以a、b、c为边的三角形是等边三角形，只要能证明a=b=c即可，题中给出了关于a、b、c的关系式，利用因式分解将它变形，在利用非负数的性质即可。
解 已知
即 (a+b+c)(－ab－bc－ca)=0
∵a+b+c≠0
∴－ab－bc－ca=0
∴（）+(）+（)=0
∴===0
∴a=b=c
∴这个三角形是等边三角形

例 5 若的三边a、b、c满足等式，试判断的形状.
解：因为, ①
， ②
③
所以①+②+③得
即 ④
又得
若，则。
由②得 ⑤
由③得 ⑥
得
即时，可推得。
若，则
代入④得。 ⑦
将代入中，。 ⑧
由⑦、⑧知.
即当时，可推得.
故是等边三角形.

说明：其实类比的思想在因式分解的应用中用的并不是很多，毕竟在最开始的转化思想中,类比转化就有包含类比思想在里边,在这里将类比思想独立为一个板块是让读者能够更清晰的看到这种类比的意义。

4。数形结合思想

“数无形，少直观，形无数，难入微”,利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易,化繁为简。把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答,这种方法在解析几何里最常用。

例6 在△ABC中,∠BAC=90°，AC＞AB，AD是高，M是BC的中点，求证：AD=BM—DM．

D
A
证明∵BM-DM
=(BM+DM）(BM—DM)
=（CM+DM)（BM—DM)
C
B
M
=CD·DB=AD，
∴AD=BM—DM．

例6 如图，利用图形因式分解：a2+7ab+12b2

已知3种形状的长方形和正方形纸片,用它们拼成一个长为，宽为的长方形，各需多少块？并画出图形

解 由上图知正方形的面积为长乘以宽恰好是;刚好为上图的长和宽
则长为宽为，那么面积为
那么总共需要3个 ， 5个，2个

说明:数形结合思想在因式分解中的应用道不是很多，基本能够普遍看到的也就只有实际教学中的平方差公式和完全平方公式和一些偶尔沾边的题，但是反过来在很多的有关图形的计算题中，因式分解用的道很多。这里将它归为一类主要还是为了突出这种思想的重要性。

5.方程思想

当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。例如证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。
例7 设4x－y为3的倍数，求证：4x+7xy－2y能被9整除．
分析：要证明一个式子能够被9整除，没法直接证明最好是能够建立一个方程；于是有,可以利用方程来证明这个题；
证明
，
又

原式

为的倍数
能被整除
例8 求=在有理数域上的因式分解式。
解 先把它转换成求=的有理根。
的常数项和首项系数的全部因数分别为，与，,,则需要检验的有理数为，，,。
由于=0，故—1是的根，且易知=.
按照同样的方法可求=的有理根，易知的有理根为,且是的单根。
=
=.

说明：方程思想在因式分解中用的不是很多，这个跟方程的实际应用有关，它主要是解决现实生活中的一些实际应用问题，但是并不是说因式分解中就不能用到，我们看上面的这几个例题，虽然通常的其它方法依然可以解决该题，但是我将它特别整理后，利用方程的思想来解决，也算是因式分解以及方程思想的联合应用吧！

6.分类讨论思想

分类思想就是当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。

例6 求方程4x2－4xy－3y2=5的整数解。
分析:原方程看着很复杂而且含有多个未知数，而且次数不为一，所以这个题没法直接解答,但是原方程可化为（2x－3y)(2x＋y)=5，而且x、y是整数。
故2x－3y和2x＋y必是整数.
又∵5=5×1=（－5)×(－1），
因此原方程可化为四个方程组分类进行讨论：

解这四个方程组，便可得原方程的四组解为：

说明：分类讨论思想根据其的基本定义，是用于不同情况的讨论，但是对于传统的因式分解来说是通常是很难用到的，但是为了使读者更好的理解分类讨论思想，特意找了这么一个和因式分解和分类讨论都有关的题目，让读者在因式分解的同时也了解到分类讨论思想的可贵性。

7。极限思想

极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。但是在解决极限问题时因式分解也是有用到的.
例7 若,则a，b的值分别是（）
（A） a=14，b=-51
（B） a=—14，b=51
（C） a=14.，b=51
（D） a=-14，b=-51
解:由
=，
知含有可设

,
则知
已知式化为，则有

解得
,带入a，b得a=14，b=-51。
选（A）。

说明：在中学学习的因式分解中还真的找不到有关极限思想的应用，所以我把目光放到了《数学分析上》，但是找啊找都未能找到有关因式分解和极限思想的应用,但好在功夫不负有心人，我最终在学校图书馆找到一篇关于《导数在因式分解中的应用》，经过综合分析后才有了上面的这个例题。

参考文献

［1］《长春师范学院学报》，第19卷第5期，导数在因式分解中的应用，陈良云,许晓宁；
［2]《南都学坛（自然科学专号）》第14卷1994年第6期，n元二次多项式的因式分解，王宗申；
［3］教育部全日制义务教育数学(7-9年级）人民教育出版社;
［4]《普通高中课程标准实验教科书·数学1》人民教育出版社；
［5］《数学分析》高等教育出版社；

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