北师大数学七年级下册第二章《相交线与平行线.doc

《相交线与平行线》全章复习与巩固（提高）知识讲解

【学习目标】
1． 熟练掌握对顶角，余角，补角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；
2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；
3. 了解尺规作图的概念，熟练掌握用尺规作角或线段的方法.
【知识网络】

【要点梳理】
要点一、两条直线的位置关系
1.同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行.
要点诠释：
（1）只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点.
（2）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”表示.
2.对顶角、补角、余角
（1）定义：
①由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角.
②如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．
（2）性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．对顶角相等．
3.垂线
（1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图．

（2）垂线的性质：
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
②垂线段最短．
（3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
要点二、平行线的判定与性质
1．平行线的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：内错角相等，两直线平行．
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.
（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2．平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
3．两条平行线间的距离
如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.

要点诠释：
（1）两条平行线之间的距离处处相等.
（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.
（3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.
要点三、用尺规作线段和角
1.用尺规作线段
（1）用尺规作一条线段等于已知线段.
（2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数.
（3）用尺规作一条线段等于已知线段的和.
（4）用尺规作一条线段等于已知线段的差.
2.用尺规作角
（1）用尺规作一个角等于已知角.
（2）用尺规作一个角等于已知角的倍数.
（3）用尺规作一个角等于已知角的和.
（4）用尺规作一个角等于已知角的差.
【典型例题】
类型一、两条直线的位置关系
1. (1)如图（1）已知直线AB，CD相交于点0．
(2)如图（2）已知直线AE，BD相交于点C．
分别指出两图中哪些角是邻补角? 哪些角是对顶角?

【答案与解析】
解： (1)邻补角是∠DOA与∠AOC，∠AOE与∠EOB，∠BOC与∠COA，∠COE与∠DOE，∠DOA与∠DOB，∠DOB与∠BOC；对顶角是∠AOD与∠COB，∠AOC与∠DOB.
(2)邻补角是∠ACB与∠ACD，∠ECD与∠DCA，∠DCE与∠ECB，∠ECB与∠ACB；对顶角是∠ACB与∠DCE，∠BCE与∠ACD．
【总结升华】当需要写出的角较多时，写完后再计算一下个数，可以检验是否写全.
2.（2015春•桃园县校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作两条射线OM、ON，且∠AOM=∠CON=90°
①若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数．
②若∠1=∠BOC，求∠AOC和∠MOD．

【答案与解析】
解：①∠AOM=∠CON=90°，OC平分∠AOM，
∴∠1=∠AOC=45°，
∴∠AOD=180°﹣∠AOC=180°﹣45°=135°；
②∵∠AOM=90°，
∴∠BOM=180°﹣90°=90°，
∵∠1=∠BOC，
∴∠1=∠BOM=30°，
∴∠AOC=90°﹣30°=60°，∠MOD=180°﹣30°=150°．
【总计升华】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，解此题的关键是能根据角平分线定义和已知求出各个角的度数．
举一反三：
【变式】（2015秋•辛集市期末）如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE=90°，OF平分∠AOE，∠COF=28°，求∠BOD的度数．

【答案】
解：由角的和差，得∠EOF=∠COE﹣COF=90°﹣28°=62°．
由角平分线的性质，得∠AOF=∠EOF=62°．
由角的和差，得∠AOC=∠AOF﹣∠COF=62°﹣28°=34°．
由对顶角相等，得
∠BOD=∠AOC=34°．
类型二、平行线的性质与判定
3.如图所示，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，试说明BE⊥DE．

【思路点拨】这是初学几何时较为复杂的题目，通常是过“拐点”(拐角处的顶点)作平行线为辅助线，把一个大角分成两个角，分别与两个已知角建立起了联系．
【答案与解析】
解：过E点作EF∥AB，
因为AB∥CD(已知)，
所以EF∥CD．
所以∠4＝∠D(两直线平行，内错角相等)．
又因为∠D＝∠2(已知)，
所以∠4＝∠2(等量代换)．
同理，由EF∥AB，∠1＝∠B，可得∠3＝∠1．
因为∠1+∠2+∠3+∠4＝180°(平角定义)，
所以∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，
即∠BED＝90°．故BE⊥DE．
【总结升华】解此题的关键是如何构造平行关系，即过哪一点作哪条直线的平行线，只有通过适当的练习才能逐步达到熟练解题的目的．
举一反三：
【变式1】已知直线AB∥CD，当点E在直线AB与CD之间时，有∠BED＝
∠ABE+∠CDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是( ).
A．∠BED＝∠ABE+∠CDE或∠BED＝∠ABE-∠CDE
B．∠BED＝∠ABE-∠CDE
C．∠BED＝∠CDE-∠ABE或∠BED＝∠ABE-∠CDE
D．∠BED＝∠CDE-∠ABE
【答案】C （提示：过点E作EF∥AB）
【变式2】如图，两直线AB、CD平行，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝ .

【答案】900°
4.如图，已知CD∥EF，∠1＋∠2＝∠ABC，求证：AB∥GF.

【答案与解析】
证明：如图，过点C做CK∥FG，并延长GF、CD交于点H，

∵ CD∥EF （已知），
∴ ∠CHG＝∠1(两直线平行，同位角相等）.
又∵ CK∥FG，
∴ ∠CHG＋∠2＋∠BCK＝180°（(两直线平行，同旁内角互补）.
∴ ∠1＋∠2＋∠BCK＝180°（等量代换）.
∵ ∠1＋∠2＝∠ABC（已知），
∴ ∠ABC＋∠BCK＝180°（等量代换）.
∴ CK∥AB（同旁内角互补，两直线平行）.
∴ AB∥GF（平行的传递性）.
【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应联想到角相等或互补.
类型三、用尺规作线段和角
5. A
B
E
D
C
已知：如图，AB//CD，BC//DE，∠B＝70°，
（1）求∠D的度数.
（2）用尺规在图上作一个∠，使∠=∠D—∠B（不写作法，保留痕迹）.

【思路点拨】
（1）根据作一个角等于已知角的方法即可作出；
（2）根据平行线的性质即可求解．
【答案与解析】
解：（1）∵AB//CD，BC//DE，
∴ ∠C＝∠B＝70°，∠D＝180°－∠C＝180°－70°＝110°.
（2）作法如图：

【总结升华】本题考查了基本作图：作一个角等于已知角的差，以及平行线的性质定理，正确掌握基本作图是关键．
类型四、实际应用
6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边BC的夹角∠EFB＝30°，你能说出∠EGF的度数吗？

【思路点拨】长方形的对边是平行的，所以AD∥BC，可得∠DEF＝∠EFG＝30°，又因为折后重合部分相等，所以∠GEF＝∠DEF＝30°，所以∠DEG＝2∠DEF＝60°，又因为两直线平行，同旁内角互补，所以∠EGC＝180°－∠DEG，问题可解.
【答案与解析】
解：因为AD∥BC（已知），
所以∠DEF＝∠EFG＝30°（两直线平行，内错角相等）.
因为∠GEF＝∠DEF＝30°（对折后重合部分相等），
所以∠DEG＝2∠DEF＝60°.
所以∠EGC＝180°－∠DEG＝180°－60°＝120°（两直线平行，同旁内角互补）.
【总结升华】本题利用了：（1）折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；（2）平行线的性质．
举一反三：
【变式】（山东滨州）如图，把—个长方形纸片对折两次，然后剪下—个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（ ）．
A．60° B．30° C．45° D．90°
【答案】C

《相交线与平行线》全章复习与巩固（提高）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1．(济南)已知，如图所示，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是( ).

A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角
2．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) .
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°.
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°.
C．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°.
D．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°.
3．（2016•邯山区一模）如图，AB、CD、EF、MN均为直线，∠2=∠3=70°，∠GPC=80°，GH平分∠MGB，则∠1=（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°
4．两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是（ ）.
　　A．同位角 　　　B．同旁内角 　　　C．内错角 　　　D. 同位角或内错角
5. 如图所示，b∥c，a⊥b，∠1＝130°，则∠2＝（ ）．
A．30° B. 40° C. 50° D. 60°
6. 如图，已知∠A＝∠C，如果要判断AB∥CD，则需要补充的条件是（ ）．
A．∠ABD＝∠CEF B．∠CED＝∠ADB
A
B
C
D
E
C．∠CDB＝∠CEF D．∠ABD+∠CED＝180°
(第5题) (第6题) (第7题)
7.如图，，则AEB＝（ ）．
A． B． C． D．

8. 如图所示，把一张对面互相平行的纸条折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论不正确的有（ ）．
A
B

C
D
E
F
G

A. B. ∠AEC＝148° C. ∠BGE＝64° D. ∠BFD＝116°
二、填空题
9.（2015•丹东）如图，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，则∠3=　 ．

10. (宁波外校一模)如图所示，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB等于________．

11. (吉安)如图所示，AB∥CD，MN交AB、CD于E、F，EG和FG分别是∠BEN和∠MFD的平分线，那么EG与FG的位置关系是 ．

12．如图，一块梯形玻璃的下半部分打碎了，若∠A＝125°，∠D＝107°，则打碎部分的两个角的度数分别为 .

13. 如图所示，已知AB∥CD，∠BAE＝3∠ECF，∠ECF＝28°，则∠E的度数 ．

14. 已知，如图∠1＝∠2，∠C＝∠D，则∠A ∠F（填“＞”“＝”“＜”）．

15．如图所示，直线AD、BE、CF相交于一点O，∠BOC的同位角有________，∠OED的同旁内角有________，∠ABO的内错角有________，由∠OED＝∠BOC得________∥________，由∠OED＝∠ABO得________∥________，由AB∥DE，CF∥DE可得AB________CF．

16. 如图，AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为 ．
γ
A
B
C
D
α
β

三、解答题
17．如图所示，直线AB、MN分别与直线PQ相交于O、S，射线OG⊥PQ，且OG将∠BOQ分成1:5两部分，∠PSN比它的同位角的2倍小60°，求∠PSN的度数．

18. 已知，如图AB∥EF，∠ABC＝∠DEF,试判断BC和DE的位置关系，并说明理由．

19.（2015秋•黄岛区期末）如图，已知CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1=∠2，
求证：FG∥BC．

20.河的两岸成平行线，A,B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短.确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G.在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于D.在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC就是造桥的位置．试说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．

【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】B；
【解析】因为AB⊥CD，所以∠1+∠2＝90°，因此∠1与∠2的关系是互为余角．
2. 【答案】A；
【解析】首先根据题意对各选项画出示意图，观察图形，根据同位角相等，两直线平行，即可得出答案.
3. 【答案】D；
【解析】∵∠2=∠3=70°，
∴AB∥CD，
∴∠BGP=∠GPC，
∵∠GPC=80°，
∴∠BGP=80°，
∴∠BGM=180°﹣∠BGP=100°，
∵GH平分∠MGB，
∴∠1=∠BGM=50°，故选D．
4. 【答案】D；
【解析】三线八角中，角平分线互相平行的两角是同位角或内错角，互相垂直的两角是同旁内角.
5. 【答案】B；
【解析】反向延长射线a交c于点M，则∠2＝90°－（180°－130°）＝40°.
6.【答案】B；
7.【答案】B；
【解析】，∠EAB＝75°－25°＝50°.
8.【答案】B.
二、填空题
9. 【答案】110°；
【解析】∵∠2=∠MEN，∠1=∠2=40°，
∴∠1=∠MEN，
∴AB∥CD，
∴∠3+∠BMN=180°，
∵MN平分∠EMB，
∴∠BMN=，
∴∠3=180°﹣70°=110°．
10.【答案】90°；
【解析】过点C作CD∥AE，由AE∥BF，知CD∥AE∥BF，则有∠ACD＝∠EAC＝
50°，∠BCD＝∠CBF＝40°，从而有∠ACB＝∠ACD十∠BCD＝50°+40°＝90°．

11.【答案】垂直；
【解析】
解：EG⊥FG，理由如下：

∵ AB∥CD，∴ ∠BEN+∠MFD＝180°．
∵ EG和FG分别是∠BEN和∠MFD的平分线，
∴ ∠GEN+∠GFM＝(∠BEN+∠MFD)＝×180°＝90°．
∴ ∠EGF＝180°-∠GEN-∠GFM＝90°．
∴ EG⊥FG．
12．【答案】55°，73°；
【解析】如图，将原图补全，根据平行线的性质可得答案.
.
13.【答案】56°；
【解析】过点F作FG∥EC，交AC于G，
∴ ∠ECF＝∠CFG，

∵ AB∥CD，∴ ∠BAE＝∠AFC．
又∵ ∠BAE＝3∠ECF，∠ECF＝28°，
∴ ∠BAE＝3×28°＝84°．
∴ ∠CFG＝28°，∠AFC＝84°．
∴ ∠AFG＝∠AFC-∠CFG＝56°．
又 FG∥EC，∴ ∠AFG＝∠E．
∴ ∠E＝56°．
14.【答案】＝；
【解析】平行线的判定与性质及对顶角的性质的应用．
15.【答案】∠AFO、∠OED，∠EOD、∠EOC、∠OBC、∠EDO、∠EDC，
∠COB、∠DEB、∠DOB， OC、DE， DE、AB，∥；
【解析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角的识别和平行线的判定和性质．
16.【答案】α+β-γ=180°；
【解析】通过做平行线或构造三角形得解．
三、解答题
17.【解析】
解：因为OG⊥PQ(已知)，
所以∠GOQ＝90°(垂直定义)，
因为∠BOG:∠GOQ＝1:5(已知)，
所以∠BOG＝18°，所以∠BOQ＝108°．
因为∠POB+∠BOQ＝180°(补角定义)，
所以∠POB＝180°-∠BOQ＝180°-108°＝72°．
因为∠PSN＝2∠POB-60°(已知)，
所以∠PSN＝2×72°-60°＝84°．
点拨：此题的关键是找出要求的∠PSN与题中的各已知量的关系．
18.【解析】
解：如图，连接BE，因为AB∥EF，所以∠ABE＝∠BEF（两直线平行，内错角相等）．

又因为∠ABC＝∠DEF，
所以∠ABE－∠ABC＝∠BEF－∠DEF，即∠CBE＝∠BED．
所以BC∥DE（内错角相等，两直线平行）．
19.【解析】
证明：∵CF⊥AB，ED⊥AB，
∴DE∥FC（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠1=∠BCF（两直线平行，同位角相等）；
又∵∠2=∠1（已知），
∴∠BCF=∠2（等量代换），
∴FG∥BC（内错角相等，两直线平行）．
20.【解析】
解：利用图形平移的性质及连接两点的线中，线段最短，可知：
.
而CD的长度又是平行线PQ与MN之间的距离，所以AC+CD+DB最短.