2020-2021学年高中数学-模块素养评价新人教A版选修1-2.doc

2020-2021学年高中数学 模块素养评价新人教A版选修1-2

2020-2021学年高中数学 模块素养评价新人教A版选修1-2

年级：
姓名：

模块素养评价
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设i是虚数单位,若复数a-(a∈R)是纯虚数,则a的值为 (　　)
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【解析】选D.复数a-=a-=(a-3)-i为纯虚数,所以a-3=0,所以a=3.
2.下列命题:①在线性回归模型中,相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率,R2越接近于1,表示回归效果越好;②两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1;③在回归直线方程=-0.5x+2中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量平均减少0.5个单位;④对分类变量X与Y,它们的随机变量K2的观测值k来说,k越小,“X与Y有关系”的把握程度越大.其中正确命题的个数是 (　　)
A.1个　 B.2个 　 C.3个　 D.4个
【解析】选C.对于①,在回归分析模型中,相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率,R2越接近于1,表示回归效果越好,正确,因为相关指数R2越大,则残差平方和越小,模型的拟合效果越好,①正确.
对于②两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1;正确;
对于③在回归直线方程=-0.5x+2中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量平均减少0.5个单位;正确;
对于④对分类变量X与Y,它们的随机变量K2的观测值k来说,k越小,“X与Y有关系”的把握程度越大.错误,因为在对分类变量X与Y进行独立性检验时,随机变量K2的观测值k越大,则“X与Y相关”可信程度越大,故④错误.
3.甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位同学,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”已知四位同学的话只有一位是对的,则获奖的同学是 (　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【解析】选D.假设获奖的同学是甲,则甲、乙、丙、丁四位同学的话都不对,因此甲不是获奖的同学;假设获奖的同学是乙,则甲、乙、丁的话都对,因此乙也不是获奖的同学;假设获奖的同学是丙,则甲和丙的话都对,因此丙也不是获奖的同学.从前面推理可得丁为获奖的同学,此时只有乙的话是对的.
4.《九章算术》中的玉石问题:“今有玉方一寸,重七两;石方一寸,重六两.今有石方三寸,中有玉,并重十一斤(即176两),问玉、石重各几何?”其意思为:“宝玉1立方寸重7两,石料1立方寸重6两,现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体,棱长是3寸,质量是11斤(即176两),问这个正方体中的宝玉和石料各多少两?”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法,运行该程序框图,则输出的x,y分别为 (　　)

A.90,86 B.94,82
C.98,78 D.102,74
【解析】选C.执行程序:x=86,y=90,s≠27;x=90,y=86,s≠27;x=94,y=82,s≠27;x=98,y=78,s=27,故输出的x,y分别为98,78.
5.图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第1次到第14次的考试成绩依次记为A1,A2,…,A14,图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图.那么程序框图输出的结果是(　　)

A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】选D.由程序框图可知输出结果是考试成绩大于90的次数,由茎叶图可知大于90的次数有10次.
6.有下列说法:
①在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适;
②用相关指数R2来刻画回归的效果,R2值越大,说明模型的拟合效果越好;
③比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型,拟合效果越好.
④在研究气温和热茶销售杯数的关系时,若求得相关指数R2≈0.85,则表明气温解释了15%的热茶销售杯数变化.
其中正确命题的个数是 (　　)
A.1　 B.2　 C.3　 D.4
【解析】选C.对于①在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适,正确.
对于②用相关指数R2来刻画回归的效果,R2值越大,说明模型的拟合效果越好,正确.
对于③比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型,拟合效果越好,正确.
对于④在研究气温和热茶销售杯数的关系时,若求得相关指数R2≈0.85,则表明气温解释了15%的热茶销售杯数变化,错误,应该是气温解释了85%的热茶销售杯数变化.
7.为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况,抽取了部分学生作为样本,统计其喜欢的支付方式,并制作出如下等高条形图:

根据图中的信息,下列结论中不正确的是 (　　)
A.样本中的男生数量多于女生数量
B.样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量
C.样本中多数男生喜欢手机支付
D.样本中多数女生喜欢现金支付
【解析】选D.由题干中右边条形图知,男生女生喜欢手机支付的比例都高于现金支付的比例,所以男生女生都喜欢手机支付,故C对,D错,结合两个条形图可知,男生女生手机支付都比现金支付多,B对,样本中的男生数量多于女生数量,A对.
8.设x(1+i)=1+yi,其中x,y为实数,则|x+yi|= (　　)
A.1 B. C. D.2
【解析】选B.因为x(1+i)=1+yi,所以x+xi=1+yi,x=1,y=x=1,|x+yi|=|1+i|=.
9.在复平面内,复数对应的点位于第一象限,则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-1) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(1,+∞)
【解析】选D.因为复数==+i,对应的点位于第一象限,所以解得m>1.
10.下列说法中正确的是 (　　)
A.先把高三年级的2 000名学生编号:1到2 000,再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生,其编号为m,然后抽取编号为m+50,m+100,m+150…的学生,这样的抽样方法是分层抽样法
B.线性回归直线=x+一定过样本中心点(,)
C.若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的值越接近于1
D.在回归直线=0.2x+12中,当变量x增加一个单位时,平均增加1个单位
【解析】选B.A中抽样方法为系统抽样,故A错误;
B中线性回归方程=x+必过样本中心点(,),故B正确;
C:若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故C错误.
D中在回归直线=0.2x+12中,当x增加一个单位时,平均增加0.2个单位,故D错误.
11.某研究机构在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时,得到如表数据.由表中数据求得y关于x的回归方程为=0.65x+,则在这些样本点中任取一点,该点落在回归直线下方的概率为 (　　)
x
4
6
8
10
12
y
1
2
3
5
6
A.　 B.　 C.　 D.
【解析】选A.因为=8,=3.4所以3.4=0.65×8+所以=-1.8所以=0.65x-1.8故5个点中落在回归直线下方的有(6,2),(8,3),共2个,故所求概率是为.
12.根据给出的数塔猜测123 456×9+7= (　　)
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1 111
1 234×9+5=11 111
12 345×9+6=111 111
…
A.1 111 110　 B.1 111 111
C.1 111 112　 D.11 11 113
【解析】选B.由1×9+2=11;
12×9+3=111;
123×9+4=1 111;
1234×9+5=11 111;
…
归纳可得:等式右边各数位上的数字均为1,位数跟等式左边的第二个加数相同,
所以123 456×9+7=1 111 111.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则ab=________. 
【解析】因为(a+bi)2=a2-b2+2abi=3+4i,
所以所以ab=2.
答案:2
14.将正整数对作如下分组,第1组为{(1,2),(2,1)},第2组为{(1,3),(3,1)},第3组为{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},第4组为{(1,5),(2,4)(4,2)(5,1)}……则第30组第16个数对为________. 
【解析】根据归纳推理可知,每个数对中两个数字不相等,且第一组每一个数对和为3,第二组每一个数对和为4,第三组每个数对和为5,……,第30组每一个数对和为32,所以第30组第一个数对为(1,31),第二个数对为(2,30),……,第15个数对为(15,17),第16个数对为(17,15),故答案为(17,15).
答案:(17,15)
15.点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=,通过类比的方法,可求得:在空间中,点(0,1,3)到平面x+2y+3z+3=0的距离为________. 
【解析】类比可知:
点(0,1,3)到平面x+2y+3z+3=0的距离为d==.
答案:
16.观察下列等式:
+=×1×2;
+++=×2×3;
+++…+=×3×4;
+++…+=×4×5;
……
照此规律,
+++…+=________. 
【解析】每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和.
答案:n
【补偿训练】
已知=2·,=3·,=4·,….
若=8·(a,t均为正实数),类比以上等式,可推测a,t的值,则a+t=__________. 
【解析】因为=2·,
=3·,=4·,
由类比推理得:=5·,
=6·,=7·,
=8·,
所以a=8,t=63,
所以a+t=71.
答案:71
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)据有关人士预测,我国的消费正由生存型消费转向质量型消费,城镇居民的消费热点是商品住房、车、电子信息产品、新型食品、服务消费和文化消费;农村居民的消费热点是住房、家电.试设计表示消费情况的结构图.
【解析】消费情况的结构图如图所示:

18.(12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程=x+,其中=-20,=-;
(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)
【解析】(1)==8.5,
==80.
所以=-=80+20×8.5=250,
所以回归直线方程为=-20x+250.
(2)设工厂获得的利润为L元,则L=x-4=-20x2+330x-1 000=-20+361.25,
当且仅当x=8.25时,L取得最大值.
故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润.
【补偿训练】
　　　某工厂前10个月份的产量与生产费用如表:
产量
x/千件
40
42
48
55
65
80
88
100
120
140
生产费用
y/千元
150
140
160
170
150
162
185
165
190
185
(1)求线性回归方程;
(2)估计当生产200千件时的生产费用;
(3)计算x与y的相关系数.
【解析】(1)由表格数据得=77.8,=165.7,
=71 062,=277 119,xiyi=133 100,所以=
=≈0.4,
=-≈165.7-0.4×77.8=134.58,
所以线性回归方程为=134.58+0.4x.
(2)当x=200时,=134.58+0.4×200=214.58(千元)所以当生产200千件时的生产费用为214.58千元.
(3)r=
=
≈0.81.
所以x与y的相关系数约为0.81.
19.(12分)已知复数z=(m∈R,i是虚数单位).
(1)若z是纯虚数,求m的值.
(2)设是z的共轭复数,复数+2z在复平面上对应的点在第一象限,求m的取值范围.
【解析】(1)z==
=1-2m+(2m+1)i.因为z是纯虚数,
所以1-2m=0且2m+1≠0,解得m=.
(2)因为是z的共轭复数,
所以=1-2m-(2m+1)i.
所以+2z=1-2m-(2m+1)i+2[1-2m+(2m+1)i]
=3-6m+(2m+1)i.
因为复数+2z在复平面上对应的点在第一象限,
所以解得-<m<,
即实数m的取值范围为.
【补偿训练】
　已知复数z=+i(a∈R).
(1)若z∈R,求z.
(2)若z在复平面内对应的点位于第一象限,求a的取值范围.
【解析】(1)z=+i=+i=+i,
若z∈R,则=0,所以a=5,所以z=2.
(2)若z在复平面内对应的点位于第一象限,
则>0且>0,
解得0<a<5,即a的取值范围为(0,5).
20.(12分)有声书正受着越来越多人的喜爱.某有声书公司为了解用户的使用情况,随机选取了100名用户,统计出年龄分布和用户付费金额(金额为整数)情况如图.

有声书公司将付费高于20元的用户定义为“爱付费用户”,将年龄在30岁及以下的用户定义为“年轻用户”.已知抽取的样本中有的“年轻用户”是“爱付费用户”.
(1)完成下面的2×2列联表,并据此资料,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为用户“爱付费”与其为“年轻用户”有关?

爱付费用户
不爱付费用户
总计
年轻用户

非年轻用户

总计

(2)若公司采用分层抽样方法从“爱付费用户”中随机选取5人,再从这5人中随机抽取2人进行访谈,求抽取的2人恰好都是“年轻用户”的概率.
P
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2=.
【解析】(1)根据题意可得2×2列联表如表:

爱付费用户
不爱付费用户
总计
年轻用户
24
40
64
非年轻用户
6
30
36
总计
30
70
100
由表中数据可得K2的观测值k=≈4.76>3.841,
所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“爱付费用户”和“年轻用户”有关.
(2)由分层抽样可知,抽取的5人中有4人为“年轻用户”,记为A1,A2,A3,A4,1人为“非年轻用户”,记为B.
则从这5人中随机抽取2人的基本事件有:,,, ,,,,,,,共10个基本事件.
其中满足抽取的2人均是“年轻用户”的事件有:,,, ,,,共6个.
所以从中抽取2人恰好都是“年轻用户”的概率为P==.
21.(12分)设函数f(x)=x3+,x∈.
证明:(1)f(x)≥1-x+x2.(2)<f(x)≤.
【证明】(1)方法一(综合法):1-x+x2-x3=(1-x)+x2(1-x)
=(1-x)(1+x2)==,
又x∈,所以≤,即1-x+x2-x3≤,所以f(x)≥1-x+x2.
方法二(分析法):要证f(x)≥1-x+x2,x∈,即证x3+≥1-x+x2,只需证x3-x2+x-1+≥0,即证x2(x-1)+(x-1)+≥0即(x-1)(x2+1)+≥0,再证(x+1)(x-1)(x2+1)+1≥0,即证(x2-1)(x2+1)+1≥0,即x4≥0,由x∈知,x4≥0,综上,f(x)≥1-x+x2.
(2)方法一:由x∈得x3≤x,所以f(x)=x3+≤x+-+=+≤,
所以f(x)≤,由(1)得f(x)≥1-x+x2=+≥,又f=>,
所以f>,综上,<f(x)≤.
方法二:①由(1)得f(x)≥1-x+x2=+≥,又f=>,所以f(x)>;②由x∈得x3≤x,所以f(x)=x3+≤x+=(x+1)+-1,
令t=x+1,g(t)=t+-1,t∈,则g'(t)=1-≥0,
t∈,所以g(t)在上是增函数,g(t)≤g(2)=,所以f(x)≤,综上<f(x)≤.
22.(12分)设同时满足条件:①≥bn+1;②bn≤M(n∈N*,M是常数)的无穷数列{bn}叫做P数列.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=(an-1)(a为常数,且a≠0,a≠1).
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=+1,若数列{bn}为等比数列,求a的值;并证明数列为P数列.
【解析】(1)当n=1时,a1=S1=(a1-1),
所以a1=a.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an-an-1),
整理得=a,
即数列{an}是以a为首项、a为公比的等比数列,
所以an=a·an-1=an.
(2)由(1)知,
bn=+1=,(*)
因为数列{bn}是等比数列,所以=b1b3,
故=3·,
解得a=,
再将a=代入(*)式,得bn=3n.
由于=>==,
满足条件①;
又由于=≤,
故存在M≥满足条件②.
故数列为P数列.