山西省太原市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题-理.doc

山西省太原市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理

山西省太原市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理

年级：
姓名：

10

山西省太原市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理
考试时间：上午8：00—9：30
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分．
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题“若，则”的否命题是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．已知抛物线的焦点为，则p=
A．4 B．2 C．1 D．
3．已知空间两点，，则线段的中点坐标是
A． B．
C． D．
4．已知，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．双曲的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为
A． B．2 C． D．
6．已知平面的一个法向量为，，且，则下列结论正确的是
A． B．，垂足为A
C．，但不垂直 D．
7．已知命题，的否定是真命题，那么实数a的取值范围是
A． B． C． D．
8．已知，，则的最小值是
A．1 B． C． D．
9．从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的左焦点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点．若（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
10．设正方体的棱长为a，与相交于点O，则
A． B．
C． D．
11．已知曲线，则下列结论正确的是
①当时，曲线E表示双曲线．焦点在x轴上；
②当时，曲线E表示以原点为圆心，半径为1的圆；
③当时，曲线E围成图形的面积的最小值为π．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
12．已知，，，（），那么点M到平面的距离为
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）
13．命题“存在实数，使得2“大于3”用符号语言可表示为__________．
14．已知双曲线的离心率为，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为________．
15．已知抛物线的焦点为F，M是C上一点，FM的延长线交x轴于点N．若M为的中点，则=__________．
16．如图，在三棱锥中，平面，为等腰直角三角形，，点D在上，且，则与平面所成角的正弦值为

三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题8分）
已知命题；．
（1）若，写出命题“若P则q”的逆否命题，并判断真假；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．（本小题10分）
如图，三棱柱的所有棱长都相等，，点H为的重心，的延长线交于点N，连接．设，，

（1）用a，b，c表；
（2）证明：
19．（本小题10分）
已知抛物线，斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，与抛物线C交于A、B两点，且．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若点在抛物线C上，证明点P关于直线的对称点Q也在抛物线C上．
20．（本小题10分）说明：请考生在（A），（B）两个小题中任选一题作答．
（A）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，．
（1）设点M为的中点，求异面直线，所成角的余弦值；
（2）求二面角的大小．
（B）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，设点M为的中点．
（1）若四棱锥的体积为2，求异面直线，所成角的余弦值；
（2）若二面角的余弦值为，求的长．

21．（本小题10分）说明：请考生在（A），（B）两个小题中任选一题作答．
（A）已知圆，点P为圆O上的动点，轴，垂足为D，若，设点M的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设直线与曲线E交于A，B两点，点N为曲线上不同于A，B的一点，求面积的最大值．
（B）已知圆，点P为圆O上的动点，轴，垂足为D，若，设点M的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）直线与曲线E交于A，B两点，N为曲线E上任意一点，且，证明：为定值．
2020—2021学年第一学期高二年级期末考试数学理科
参考答案与评分建议
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
A
D
D
C
B
C
C
B
A
二、填空题
13．， 14． 15．3 16．
三、解答题
17．（1）当时，，
逆否命题为：若或，则．
它是一个真命题．
（2）因为p是q的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集，
所以{，且等号不能同时取到，
解得，所以有实数a的取值范围为．
18．（1）因为为正三角形，点M为的重心，所以N为的中点，
所以，，
所以．
（2）设三棱柱的棱长为m，
则，
所以．
19．（1）由已知，设直线l为
代入，得．
显然，设，，则，
则由抛物线的定义，得，解得，
则有抛物线C的方程为．
（2）因为在抛物线C上，所以有．
设点P关于直线的对称点的坐标为
则，解得，
又因为，所以点Q在抛物线C上．
20．A（1）由已知，，，
如图，以A为原点建立空间直角坐标系．
则，，，，，
则，，
则，
所以异面直线，所成角的余弦值为．

（2）设平面的一个法向量为，由，，
得，可取；
设平面的一个法向量为，由，，
得，可取
则，
所以二面角的大小为．
B（1）由已知，，，
如图，以A为原点建立空间直角坐标系．
则，，，，
又，得，则，
则，，
则，
所以异面直线，所成角的余弦值为．

（2）设，平面的一个法向量为，由，，
得，可取；
设平面即平面一个法向量为，由，
得，可取．
则有，解得．
所以．
21．A（1）设点M的坐标为，点P的坐标为，则，．
所以有，，因为点P在圆上，所以
则有，即，
所以曲线E的方程为．
（2）由，有，
显然，设，，
则，，
则有|．
设与直线l平行的直线与曲线E相切，
则由，有，
由解得舍去）
则直线l，之间的距离，
所以面积的最大值为．
B（1）设点M的坐标为，点P的坐标为，则有，，
所以有，因为点P在圆上，所以．
则有，即，
所以曲线E的方程为．
（2）由，有，
显然，设，，
则，，
设，则，又点N在曲线E上，则
，
又

，
，
则，
所以为定值．