四川省仁寿第一中学南校区2020-2021学年高二数学11月月考试题-理.doc

四川省仁寿第一中学南校区2020-2021学年高二数学11月月考试题 理

四川省仁寿第一中学南校区2020-2021学年高二数学11月月考试题 理

年级：
姓名：

- 19 -

四川省仁寿第一中学南校区2020-2021学年高二数学11月月考试题 理
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并用2B铅笔将考号准确填涂
2、作答选择题时，选出答案后用2B铅笔在答题卡对应题目选项答案信息涂黑；如需改动，
用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
相应位置上；如需改动，先划掉原答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
一、单项选择题（每题5分，共60分）
1、已知向量,则( D )
A. B.4 C. D.
2、下列说法正确的是( B )
A． 垂直于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一个平面的两条直线平行
C．平行于同一个平面的两条直线平行 D．平行于同一个直线的两个平面平行
3、如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是(　C　)

4、直线 则直线 的倾斜角 为( C )
A． B． C． D．
5、设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　A　)
A.　　 B. C. D.
（文科）若点 分别在直线 的两侧，则实数 的取值范围是( B )
A．（-2，0） B．（0,2） C．（2,5） D．（-3，2）
6、设是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若,则为异面直线; ②若,则;
③若,则; ④若,则.
则上述命题中真命题的序号为( C )
A.①② B.③④ C.②③ D.②④
7、直线过下面哪个定点（ C ）
A．（4，0） B．（0,4） C．（2,5） D．（3，2）
8、已知为球的球面上的三个点，圆为的外接圆，若圆的面积为，，则球的表面积为( D )
A. B. C. D.
9、已知向量 ,且 则一定共线的三点是( A )
A、 B、 C、 D、
(文科)在正三棱柱中,侧棱长为,底面三角形的边长为1,则与侧面所成角的大小为( A )
A. B. C. D.
10、已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数　D　
A．1 B． C．或1 D．2或1
11、动点在正方体的对角线上,过点作垂直于平面的直线,与正方体表面相交于点设则函数的图象大致是( D )
A.B.C.D.
12、在直三棱柱A1B1C1—ABC中，∠BAC=，AB=AC=AA1=1，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取范围为（ A ）
A． B． C． D．
解析：建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１为ｚ轴，则（），，，（）.所以，.因为，所以，由此推出 . 又，，从而有
（文科12）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（ B ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题5分，共20分）
13、已知a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则c＝________．
（文科）若满足约束条件则最大值是________．
14、若直线与直线关于点 对称，则直线恒过定点___________.
15、如图所示，扇形的中心角为90°，弦AB将扇形分成两个部分,这两部分各以AO为轴旋转一周，求这两部分旋转所得旋转体体积和之比为__________.
16、在四面体ABCD中,面BAC，CAD，DAB都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长为 ,过D做截面DEF交面ABC于EF,若EF//BC,且将四面体的体积二等分，则面DEF与面BCD的夹角正切值为________.
（文科16）．设m∈R，过定点A的动直线x＋1+my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|+|PB|的最大值是___ _____．
三、解答题（共70分）
17、(本小题10分) 已知直线，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
解：（1）∵直线l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，
由l1⊥l2 ，可得 1×（m﹣2）+m×3＝0，解得．
（2）由题意可知m不等于0,
由l1∥l2 可得，解得 m＝﹣1．
18、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，，面ABCD，.
(1)证明:平面PAC⊥平面PBC；
(2)求点D到平面PBC的距离.
解（1）证明：在直角梯形中，由，，得
，∴，∴，
又面，∴，，∴平面，
平面，
∴平面⊥平面；
（2）由（1）得，，，
，．
设点到平面的距离为，
则，∴，
∴点到平面的距离为．
19、(本小题12分)
已知直线经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.
(1)点A(5，0)到直线的距离为3，求直线的方程；
(2)点A(5，0)到直线的距离的最大值时，求直线的方程．
解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为
(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
所以＝3，解得λ＝或λ＝2.
所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由
解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
所以dmax＝|PA|＝.直线l的方程为3x-y-5=0
20 、(本小题12分)
已知轴对称平面五边形ADCEF（如图1），BC为对称轴，ADCD，
AD = AB =1，CD =BC = ，将此图形沿BC折叠成直二面角，
连接AF、DE得到几何体（如图2）
A
B
C
D
E
F
A
B
F
E
C
D
(1)
(2)

(1)证明：AF//平面DEC；
（2）求二面角E—AD—B的正切值。
解：（Ⅰ）以B为坐标原点，分别以射线BF、BC、BA为x轴、 y轴、z轴的正方向建立如图所示的坐标系.由已知与平面几何知识得，

，
∴，∴，∴AF∥DE，
又
∥…………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得四点共面，，设平面，，则，不妨令，故，由已知易得平面ABCD的一个法向量为，
∴，∴二面角E-AD-B的正切值为.…………………………12分
（文科）20 、(本小题12分)
如图所示，四棱锥的底面是边长为的正方形，四条侧棱长均为.点分别是棱上共面的四点，平面平面，平面；
(1)证明：；
(2)若，求四边形的面积。(18 )

21、 (本小题12分)
如图，已知梯形ABCD中，，，，四边形为矩形，，平面平面ABCD．

（1）求证：DF∥平面ABE；
（3）若点P在线段EF上，且直线AP与平面BEF所成角的正弦值为，求线段AP的长．
【详解】（1）如下图所示，设，取的中点，连接、，

四边形为矩形，，为的中点，
为的中点，且，
，，且，
所以，四边形为平行四边形，则，即，
平面，平面，平面；
（2）四边形为矩形，则，平面平面，平面平面，平面，平面，
取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、，
点在线段上，设，
，
由题意得，
整理得，，解得，此时，则.

（文科）己知O为坐标原点，倾斜角为的直线与x，y轴的正半轴分别相交于点A，B，△AOB的面积为8．
（I ）求直线的方程；
（II）直线，点P在上，求|PA|+|PB|的最小值．
解：（I）由题意可得：直线l的斜率k=tan=﹣，设直线l的方程为：y=﹣x+b．
可得直线l与坐标轴的正半轴交点为A，B（0，b），其中b＞0．
∴S△OAB=b×b=8，解得b=4．
∴直线l的方程为：y=﹣x+4．
（II）由（I）可得：A（4，0），B（0，4）．
设点A关于直线l′的对称点A′（m，n），
解得∴A′（2，﹣2）．
∵|PA|+|PB|=|PA′|+|PB′|，
∴当A′，B，P三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值．
∴（|PA|+|PB|）min=|A′B|=4．

22、（本小题12分）
一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形. 正视图
侧视图
俯视图

（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1? 如何组拼？试证明你的结论；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值.
答案及解析：
4.解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条
侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD是边长为6的
正方形，高为CC1=6，故所求体积是
------------------------4分
（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，
故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，
其拼法如图2所示. ------------------------6分
证明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的

A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
图2

正方形，于是
故所拼图形成立.---8分
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
E
H
x
y
z
G
图3
（Ⅲ）方法一：设B1E，BC的延长线交于点G，
连结GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，
连结HB1，则B1H⊥AG，故∠B1HB为平面AB1E与
平面ABC所成二面角或其补角的平面角. --------10分
在Rt△ABG中，，则
，，
，故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.---14分
方法二：以C为原点，CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系（如图3），∵正方体棱长为6，则E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.
设向量n=（x，y，z），满足n⊥，n⊥，
于是，解得. --------------------12分
取z=2，得n=（2，-1，2）. 又（0，0，6），
故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为. ----------------14分

(文科) 如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝，AB＝1，CD＝3，M为PC上一点，且MC＝2PM， AD＝2，PD＝3.
(1)证明：BM∥平面PAD；
(2)求直线DM与平面PBC所成角的正弦值；
(3)求三棱锥M-PBA的体积。
22.答案(1)证明：如上图，过点M作ME∥CD，交PD于点E，连接AE.
因为AB∥CD，故AB∥EM.
又因为MC＝2PM，CD＝3，且△PEM∽△PDC，
故＝＝，解得EM＝1.
由已知AB＝1，得EM綊AB，故四边形ABME为平行四边形，因此BM∥AE，
又AE⊂平面PAD，BM⊄平面PAD，
所以BM∥平面PAD.
(2)连接BD，由已知AD＝2，AB＝1，∠BAD＝，
可得DB2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos∠BAD＝3，即DB＝.
因为DB2＋AB2＝AD2，故△ABD为直角三角形，且∠ABD＝.
因为AB∥CD，故∠BDC＝∠ABD＝.
因为DC＝3，故BC＝＝2.
由PD⊥底面ABCD，得PD⊥DB，PD⊥DC，
故PB＝＝2，PC＝＝3，
则BC＝PB，故△PBC为等腰三角形，
其面积为S△PBC＝·PC·＝×3× ＝.
设点D到平面PBC的距离为h，则三V三棱锥D－PBC＝·S△PBC·h＝h.
而直角三角形BDC的面积为S△BDC＝·DC·DB＝×3×＝，
三棱锥P－BDC的体积为V三棱锥P－BDC＝·S△BCD·PD＝××3＝.因为V三棱锥D－PBC＝V三棱锥P－BDC，即h＝，故h＝.所以点D到平面PBC的距离为.