大学高等数学第一章函数(模拟题精讲).doc

第1章 函 数
§1.1 函数的概念与性质
1. 绝对值与不等式（，）
（1）；
（2）（调和平均值几何平均值算术平均值）
一般地，
（3）；
2. 函数概念与性质
对变量的每一个确定值，变量按某确定规则，都有且只有一确定值与之对应，则称变量是变量的函数，记为，。
注意：定义域和对应规则是函数相等的两要素。
（1）无关性
（2）单调性
；
（3）奇偶性
注意：函数的奇偶性是相对于对称区间而言，若定义域关于原点不对称，则不是奇/偶函数。
（4）周期性 若，，则称为的周期。
（5）有界性 若，，，则称在上有界。
常用有界函数：，，；
，，；，，
3. 复合函数
设的定义域为，的值域为，且（空集），则称为的复合函数。
4. 反函数 设
注意：正反函数的图形对称于直线；严格单调函数必有反函数；
；
5. 初等函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合而成的，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。
基本初等函数：幂函数（为实数）；指数函数（，）；对数函数（，）；三角函数，，，，，；反三角函数，，，.
６. 分段函数与幂指函数
分段函数一般不属于初等函数，因为一般在其定义域内不能用一个解析式表示；
幂指函数一般不属于初等函数，因为它无法用初等函数复合而成；但若规定，则，是初等函数。
§1.2 典型例题解析
例3 已知不等式，用区间表示不等式的解集
分析 解此不等式应先去掉绝对值符号，由于，分别为，的零值点，于是将区间划分为，，，再考虑各小区间的取值范围及端点，最后综合得出结论。
解法1

解法2
1. 函数定义域的求法
解题思路
（1）分式的分母，对数的真数，偶次方根下的表达式，反正弦、反余弦号内的表达式绝对值；
（2）复合函数的定义域简单函数的定义域所构成的不等式组的解集。
例4 求下列函数的定义域
（1）；
解
（2）已知的定义域是，试求 的定义域
解 的定义域：
的定义域： ；
的定义域：
当，时，定义域为空集；当，时，定义域为；故取交集定义域为
2. 函数解析式的求法
解题思路
（1）将已知变量凑成与内的中间变量一致的形式，利用函数的无关特性求解；
（2）对内作变量代换，再利用无关特性与原方程联立求解。
（3）由的表达式求的一般方法是令，从中解出，将其代入中可得
例5 求下列函数解析式
（2）已知，, 求；
解 令代入原式得 ，则

（3）已知,求；
解法1

令，则
解法2 将换成，得，和原式相加得

令，则
例6 求下列函数解析式
（1）已知，的定义域为，且，求
解 令，，，且，则
（）
（2）已知，求
解 令， ，则

3. 利用定义确定函数的有关特性
解题思路
（1）若，则为奇函数；
（2）若是的周期，则的周期为；若，分别是以，为周期的函数，则的周期为，的最小公倍数。
（3）将函数取绝对值，由不等式的缩放法或求函数的最值确定函数的有界性；
（4）若，且，，则可确定单增性。
例7 设，求，的奇偶性
解 设，
由于，分别令，，得

即为奇函数，故为偶函数。
例8 设在上有定义，证明：可表示为一个奇函数与一个偶函数的和，且表示法唯一
分析 若，，则有，
，由此引入辅助函数
证 设，

故为偶函数，为奇函数，且

唯一性：设另有偶函数及奇函数使得，则

解得，，即表示法唯一。
例9 证明下列函数为周期函数，并求其最小正周期
（1）
解法1 由于的周期为，故所求周期为
解法2 ，
（2）
解
例11 设在上有定义，证明：
（1）若的图形关于直线对称，则；
（2）若的图形关于直线，对称，则是周期的偶函数。
分析（1）若的图形关于直线对称点为与，则
，
反之，若，则关于直线对称
证（1）必要性：，有，则

充分性：若，有，则

（2）由题设知，，则

故是以2为周期的偶函数
例12 判断下列函数的有界性
（1）
解 由，有，则

例13 设（），证明：
（1）若是的单减函数，则；
（2）若是的单减函数，则；
（3）（）
证（1）由题设知，
， ，，
由于单减，有，，则

（2）由于单减，有，，则
，
（3）令，，，则

例14 求下列函数的反函数
分析：求分段函数的反函数，要注意的不同取值范围对应原来函数的值域
（2）
解 当时，的值域为

当时， 的值域为

故
例15 在底为，高为的三角形中内接一矩形，将矩形面积表示为其底的函数。
解 设矩形高为，由三角形相似关系得，，则

例16 某商场以每件元的价格出售某种商品，若顾客一次购买件以上，则超出件的商品以每件元的价格出售，试将一次成交的销售收入表示成销售量的函数。
解

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