实变函数习题.doc

第一章习题2、(ii) 证明：对于22、具体构造与之间的一个完全的一一映射.解：记中的有理数点集为；中的无理数点集为 ；,作映射 所以 29、求证：中任一集合的导集是闭集.证明：若,则为闭集,否则 要证明为闭集 为的聚点 中含有的无穷多个点也中含有的无穷多个点 从而为闭集30、(i)设是任意的两个集合,若,则.证明：为的聚点 为的聚点 (ii)若,求证：是闭集.根据(i)式可知,则是闭集32、中任一集合的孤立点是至多可数的证明：先来证明中的孤立点是至多可数的记为中以有理数为端点的开区间全体所成的集合,则为可数集.设为中的孤立点全体,则对于任意的,则存在的一个以有理数为端点的邻域,使得对于每一个,都做出这样的一个邻域,由于每个邻域中只含有一个中的点,故对于中不同的两个点对应的邻域，也不同.令则与等价,而,则是至多可数集,从而是至多可数集,因此有限个至多可数集的直积是至多可数集.33、若不可数,则也不可数.证明：假设是至多可数集,则设为的孤立点全体,则为至多可数集因为,则为至多可数集则为至多可数集与已知矛盾.第二章习题2、求证：证明：因为,所以又因为,而,其中为两两不交的开区间因为开区间是开集,但是开集不一定是开区间,所以因此3、设是两个不相交的开集,求证：证明：,所以 6、设求证：证明：要想证明,只需要证明下面来证明,即证明：而同理可证明：10、设是可测集列,(i)求证：.证明：,左右取测度 (ii)若有,使得,求证：证明：,左右取测度 11、设可测并且,则.证明：可测 由可测可知可测 而,所以可测 从而可测;可测,而,所以可测.13、设都可测,求证：.证明：已知可测,则取集合,有 再取,有 结合上边两式便知 20、设是中测度皆为一的可测集列,求证.证明 22、设是中的可测集,满足,求证：.证明：,要证明,只需证明而 第三章习题 4、若对于任何,在可测,求证:在上可测.证明：， 因此在上可测6、求证：为使在上可测,充要条件是对于任意的有理数.证明：必要性因为在上可测,则对于,因此,对于任意的有理数 充分性对于，存在单调递增的有理数列,且则 因此在上可测8、设是可测集合上的可测函数，则对于任何开集和闭集,和是可测集合.证明：，所以 由并集定义可知, 而 10、设是可测集合上的可测函数列,求证：中使得收敛的点的全体是可测集.证明：设中使得收敛的点的全体为集合,而11、设在上可微,求证：可测.证明：因为在上可微,所以在上连续,因此在上为可测函数.所以 可测14、设是一列两两不相交的可测集,求证为使在上可测的充要条件是对于每一个在上可测.必要性: 由题设知为可测集,而在上可测,所以与均为可测集,故为可测集,所以在上可测充分性： 已知对于任意的为可测集,由可测集满足可数并的性质在集合上测 23、设在可测集上,求证：(i).证明：已知可知对于， (ii) 证明：因为所以因此(iv)当时,证明：对于的任意子列,因为所以,因此存在子列使得又因为，所以因此存在子列，使得,所以27、设是上的一列实值可测函数,若,求证：证明：因为,则反之不成立.定理3.2.2、设,为可测集合上的可测函数,是实数,当几乎处处有定义的时候,有都是可测集合上的可测函数.证明：对于；因为可测,则可测,因此可测.因此也可测.第四章习题1、设非负且，求证在上几乎处处为零.证明： 所以在上几乎处处为零2、设,求证：.证明：因为,则由积分的绝对连续性可知,对于对于当,有因为,则由极限定义可知对于上述的,存在正整数当时,有因此对于存在正整数当时,有3、设是可测集合上的几乎处处有限的可测函数列,求证：为了使得充要条件是.证明：必要性因为,所以又因为,所以根据控制收敛定理可知：充分性：因为,所以如果,则对于任意的,有而与矛盾因此,7、设存在且有限,求证:.证明：设,即 , 由局部有界定理知,存在当时, 令,则常数函数从而 在上,， ,从而因此 .