福建省莆田第一中学2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题.doc

福建省莆田第一中学2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题

福建省莆田第一中学2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题

年级：
姓名：

11

福建省莆田第一中学2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题
人教A版（2019）必修第一册+第二册部分
一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知P是边长为2的正方形ABCD的边BC中点，则的值是（　　）
A．2 B． C．3 D．4
2．已知单位向量的夹角为60°，与垂直，则k的值为（　　）
A． B． C． D．2
3．设，是不共线的两个平面向量，已知，，若A，B，C三点共线，则k＝（　　）
A．﹣6 B．﹣2 C．2 D． 6
4．下列命题正确的是（　　）
A．•＝0⇔＝或＝ B．
C． D．
5．如图所示，用两种方案将一块顶角为120°，腰长为2的等腰三角形钢板OAB裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为S1，S2，周长分别为l1，l2，则（　　）
A．S1＝S2，l1＜l2 B．S1＝S2，l1＞l2
C．S1＜S2，l1＝l2 D．S1＞S2，l1＝l2
6．若函数（）的部分图象如图，则（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
7．设函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），其图象的一条对称轴在区间（）内，且f（x）的最小正周期大于π，则ω的取值范围为（　　）
A．（0，） B．（） C．（1，2） D．（0，2）
8．已知函数，函数﹣2a+2（a＞0），若存在x1、x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二．选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．下列各式中，值为的是（　　）
A．2sin15°cos15° B．2sin215°﹣1 C． D．
10．若函数f（x）＝tan2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，那么下列说法正确的是（　　）
A．函数g（x）的定义域为
B．函数g（x）在单调递增
C．函数g（x）图象的对称中心为，k∈Z
D．函数g（x）≤1的一个充分条件是
11．已知曲线C1：y＝cosx，C2：，则下面结论正确的是（　　）
A．把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到曲线C2
B．把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到曲线C2
C．把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
D．把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
12．如图，一个水轮的半径为6m，水轮轴心O距离水面的高度为3m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时的起始（图中点P0）开始计时，记f（t）为点P距离水面的高度关于时间t（s）的函数，则下列结论正确的是（　　）
A．f（3）＝9 B．f（1）＝f（7）
C．若f（t）≥6，则t∈[2+12k，5+12k]（k∈N）
D．不论t为何值，f（t）+f（t+4）+f（t+8）是定值
三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．设，为单位向量，且|+|＝，则|﹣|＝　 　．
14．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则＝　 　．
15．若，则＝　 　．
16．已知函数在上的零点分别为，（），则　 　．
四．解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）设向量，满足||＝||＝1及|3﹣2|＝
（1）求，夹角的大小；
（2）求|3+|的值．

18．（本小题满分12分）已知函数．
（2）求的单调递增区间；
（2）若是第二象限角，，求的值．

19．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）只能同时满足下列三个条件中的两个：
①图象上一个最低点为M（，﹣2）；
②函数f（x）的图象可由y＝sin（x﹣）的图象平移得到；
③若对任意x∈R，f （x1）≤f（x）≤f（x2）恒成立，且|x1﹣x2|的最小值为．
（1）请写出这两个条件序号，并求出f（x）的解析式；
（2）求方程f（x）﹣1＝0在区间[﹣π，π]上所有解的和．
20．（本小题满分12分）已知＝cos（α+β），其中α，β为锐角．
（1）求证：tanβ＝；
（2）求tanβ的最大值．

21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝asinx-cos2x+1（a∈R）．
（1）当a＝1且时，求f（x）的值域；
（2）若存在实数x∈[0，π]使得|f（x）|≥a2成立，求实数a的取值范围．

22．（本小题满分12分）如图1，某小区中有条长为50米，宽为6.5米的道路ABCD，在路的一侧可以停放汽车，已知小型汽车的停车位是一个2.5米宽，5米长的矩形，如GHPQ，这样该段道路可以划出10个车位，随着小区居民汽车拥有量的增加，停车难成为普遍现象．经过各方协商，小区物业拟压缩绿化，拓宽道路，改变车位方向增加停车位，如图2，改建后的通行宽度保持不变，即G到AD的距离不变．
（1）绿化被压缩的宽度BE与停车位的角度∠HPE有关，记d＝BE，∠HPE＝θ，为停车方便，要求30°＜θ＜60°，写出d关于θ的函数表达式d（θ）；
（2）沿用（1）的条件和记号，实际施工时，BE＝3米，问改造后的停车位增加了多少个？

莆田第一中学2020—2021学年上学期第一学段期末试卷
参考答案
DDAC BCCA 9.CD 10.BD 11.AD 12.BD
13.1 14.4 15.2020 16.
17．（本小题满分10分）设向量，满足||＝||＝1及|3﹣2|＝
（1）求，夹角的大小；
（2）求|3+|的值．
【解答】解：（1）设与夹角为θ，由题意可得，即，
即9×1+4×1﹣12×1×1×cosθ＝7，∴．又θ∈[0，π]，∴，
∴与夹角为．
（2）＝＝＝．
18．（本小题满分12分）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若是第二象限角，，求的值．
【解答】解：（1）令，，
解得，
所以的单调递增区间为，．
（2）由题意可得，且，
即，
即，
当时，，即；
当时，，
所以，或．
19．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）只能同时满足下列三个条件中的两个：
①图象上一个最低点为M（，﹣2）；
②函数f（x）的图象可由y＝sin（x﹣）的图象平移得到；
③若对任意x∈R，f （x1）≤f（x）≤f（x2）恒成立，且|x1﹣x2|的最小值为．
（1）请写出这两个条件序号，并求出f（x）的解析式；
（2）求方程f（x）﹣1＝0在区间[﹣π，π]上所有解的和．
【解答】解：（1）由于①②相互矛盾，故不会同时成立．
由条件③可得函数的最小正周期为＝π，∴ω＝2，故②不适合，
∴函数f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）只能同时满足①③．
故A＝2，函数f（x）＝2sin（2x+）．
（2）方程f（x）﹣1＝0，即 sin（2x+）＝，故2x+＝2kπ+，或 2x+＝2kπ+，k∈Z．求得 x＝kπ，或x＝kπ+，k∈Z．
因为 x∈[﹣π，π]，所以x＝﹣π，﹣，0，，π，
故方程f（x）﹣1＝0在区间[﹣π，π]上所有解的和为﹣π﹣+0++π＝﹣．
20．（本小题满分12分）已知＝cos（α+β），其中α，β为锐角．
（1）求证：tanβ＝；
（2）求tanβ的最大值．
【解答】（1）证明：由题意可得sinβ＝sinα（cosαcosβ﹣sinαsinβ），
即sinβ（1+sin2α）＝sin2αcosβ，即tanβ＝＝．
（2）解：角α，β为锐角，且cos（α+β）sinα＝sinβ＝sin[（α+β）﹣α]，
∴cos（α+β）sinα＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα，
化简可得 tan（α+β）＝2tanα，即＝2tanα，
故有 2tanβ•tan2α﹣tanα+tanβ＝0，∴△＝1﹣8tan2β≥0，
求得﹣≤tanβ≤，β为锐角，故0＜tanβ≤．故tanβ的最大值是：．
21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝asinx-cos2x+1（a∈R）．
（1）当a＝1且时，求f（x）的值域；
（2）若存在实数x∈[0，π]使得|f（x）|≥a2成立，求实数a的取值范围．
【解答】（1）由题意可得f（x）＝sinx﹣cos2x+1＝sinx﹣（1﹣2sin2x）+1＝2sin2x+sinx
＝2﹣；
时，sinx∈[﹣1，1]，
∴sinx＝﹣时，f（x）取得最小值﹣，sinx＝1时，f（x）取得最大值3，
∴f（x）的值域为[﹣，3]；
（2）f（x）＝asinx﹣cos2x+1＝asinx+2sin2x＝2sin2x+asinx，
设t＝sinx，则t∈[0，1]，代入原函数得y＝2t2+at，
因为存在实数x使得|f（x）|≥a2成立，即存在t∈[0，1]使得|2t2+at|≥a2成立，
所以存在t∈[0，1]使得2t2+at﹣a2≥0或2t2+at+a2≤0成立，
①当a＝0时，显然成立，
②当a≠0时，由于2t2+at+a2≤0的△＝﹣7a2＜0，不等式无解，
由2t2+at﹣a2≥0得（2t﹣a）（t+a）≥0，
当a＞0时，2t2+at﹣a2≥0在非负实数上的解集是[，+∞），所以≤1，解得0＜a≤2，
当a＜0时，2t2+at﹣a2≥0在非负实数上的解集是[﹣a，+∞），所以﹣a≤1，解得﹣1≤a＜0，
综上，实数a的取值范围是[﹣1，2]．
22．（本小题满分12分）如图1，某小区中有条长为50米，宽为6.5米的道路ABCD，在路的一侧可以停放汽车，已知小型汽车的停车位是一个2.5米宽，5米长的矩形，如GHPQ，这样该段道路可以划出10个车位，随着小区居民汽车拥有量的增加，停车难成为普遍现象．经过各方协商，小区物业拟压缩绿化，拓宽道路，改变车位方向增加停车位，如图2，改建后的通行宽度保持不变，即G到AD的距离不变．
（1）绿化被压缩的宽度BE与停车位的角度∠HPE有关，记d＝BE，∠HPE＝θ，为停车方便，要求30°＜θ＜60°，写出d关于θ的函数表达式d（θ）；
（2）沿用（1）的条件和记号，实际施工时，BE＝3米，问改造后的停车位增加了多少个？

【解答】解：（1）由题意，∠HPE＝θ，HP＝2.5，
∴EP＝HP×cosθ＝2.5cosθ，HE＝2.5sinθ；
又∠HPE＝θ，得∠RHG＝∠HPE＝θ，
RH＝HG×cos∠RHG＝5cosθ，
又RH+HE＝RB+BE＝2.5+d，
得5cosθ+2.5sinθ＝d+2.5，
∴d（θ）＝5cosθ+sinθ﹣，30°＜θ＜60°；
（2）由（1）得d＝5cosθ+sinθ﹣，
∵BE＝3，∴cosθ+sinθ＝，解得sinθ＝或；
由30°＜θ＜60°，∴sinθ＝不合题意舍去；
由sinθ＝，得RG＝3，sinθ＝，cosθ＝，EP＝2；
图2改造后的停车位n个，由题意得（n﹣1）×+EP+RG≤50，
2+（n﹣1）×+3≤50，解得n≤+1；
所以n取整数为15，又图（1）车位数为50÷5＝10个，
所以改造后的停车位增加了5个．