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(完整word)导数中的任意性与存在性问题探究
函数中任意性和存在性问题探究

高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点,下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究
一、相关结论：
结论1:；【如图一】
结论2:；【如图二】
结论3：；【如图三】
结论4：;【如图四】
结论5：的值域和的值域交集不为空；【如图五】

例题1：已知两个函数；
(1) 若对,都有成立，求实数的取值范围;
(2) 若,使得成立，求实数的取值范围；
(3) 若对,都有成立，求实数的取值范围;
解：（1）设,（1）中的问题可转化为：时，恒成立，即.
；
当变化时，的变化情况列表如下：

—3
（—3,—1）
—1
（—1，2）
2
（2,3)
3
（x）

+
0
－
0
+

h（x）
k—45
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
k—9
因为，所以，由上表可知,故k-45≥0，得k≥45，即k∈[45,+∞)。
小结：①对于闭区间I，不等式f（x）〈k对x∈I时恒成立[f(x）］max<k, x∈I；不等式f（x）>k对x∈I时恒成立[f（x)]min〉k, x∈I.
②此题常见的错误解法：由［f（x)］max≤[g(x）］min解出k的取值范围。这种解法的错误在于条件“[f(x)］max≤[g（x)]min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价.
（2）根据题意可知，（2）中的问题等价于h（x）= g(x)－f（x） ≥0在x∈[—3，3］时有解,故［h（x）]max≥0.
由（1）可知［h(x)］max= k+7,因此k+7≥0,即k∈[-7，+∞).
(3）根据题意可知，（3）中的问题等价于［f（x)]max≤［g（x）］min，x∈[—3,3].
由二次函数的图像和性质可得, x∈［—3，3］时, [f(x)]max=120－k.
仿照（1)，利用导数的方法可求得x∈[-3，3]时, [g(x）］min=－21.
由120－k≥－21得k≥141,即k∈[141,+∞).
说明:这里的x1，x2是两个互不影响的独立变量.
从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“x”恒成立，还是“x”使之成立,同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量，然后再根据不同的情况采取不同的等价条件，千万不要稀里糊涂的去猜。。
例题2:(2010年山东理科22） 已知函数;
(1) 当时，讨论的单调性;
（2)设，当时，若对,，使，求实数的取值范围；
解:（1)(解答过程略去，只给出结论）
当a≤0时,函数f(x）在(0,1）上单调递减,在(1，+∞）上单调递增；
当a=时，函数f(x)在(0，+∞）上单调递减;
当0〈a〈时，函数在（0，1）上单调递减,在上单调递增，在(上单调递减；
（2）函数的定义域为（0，+∞），
（x)=－a+=－，a=时，由(x）=0可得x1=1，x2=3.
因为a=∈（0,），x2=3（0,2），结合（1)可知函数f（x）在（0，1）上单调递减，在(1，2）上单调递增,所以f(x) 在（0,2）上的最小值为f(1）= －。
由于“对x1∈（0,2)，x2∈[1，2],使f（x1) ≥g（x2)"等价于“g（x)在［1,2］上的最小值不大于f（x） 在（0，2）上的最小值f（1）= －"。 （※)又g(x）=（x－b)2+4－b2, x∈［1，2],所以
① 当b<1时，因为［g（x)]min=g(1）=5－2b>0，此时与（※）矛盾；
② 当b∈［1，2]时， 因为[g(x)］min=4－b2≥0，同样与（※）矛盾;
③ 当b∈（2，+∞）时，因为[g（x)］min=g（2)=8－4b.
解不等式8－4b≤－,可得b≥.综上，b的取值范围是［,+∞).
二、相关类型题：
　〈一〉、型；
　　形如型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“在上恒成立，则在x∈D上恒成立，则"。许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型。
例1 ：已知二次函数,若时，恒有，求实数a的取值范围。
　　解：，∴；即;
　　当时，不等式显然成立,　　∴a∈R.
　　当时，由得：，而
∴。　　又∵,∴，
综上得a的范围是。
〈二〉、型
例2 已知函数，若对，都有成立,则的最小值为____。
　　解 ∵对任意x∈R，不等式恒成立，
　　∴分别是的最小值和最大值。
　　对于函数，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π，即半个周期.
　　又函数的周期为4，∴的最小值为2。
　　〈三〉、.型
例3： （2005湖北）在这四个函数中，当时,使恒成立的函数的个数是(　　)
　　 A。0　　　　　　B。1　　　　　　C.2　　　　　　D.3
　　解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件的函数，应是凸函数的性质，画草图即知符合题意;选C
　　〈四〉、.型
例4 已知函数定义域为，，若,时，都有,若对所有，恒成立，求实数取值范围。
　　解：任取，则，由已知,又，∴f，即在上为增函数。
　　∵,∴，恒有；
　　∴要使对所有，恒成立，即要恒成立，
　　故恒成立，令，只须且，
　　解得或或。
　　评注： 形如不等式或恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.
　　<五〉、.型：
例5： 已知，，若当时，)恒成立，求实数t的取值范围。
　　解:在恒成立，即在恒成立在上的最大值小于或等于零.
　　令，，∵
　　∴,即在［0，1]上单调递减，F(0）是最大值。
　　∴,即.
　　〈六〉、型
例6：已知函数,若对任意,都有,求的范围.
　　解：因为对任意的，都有成立，
　　∴，∵，令得x＞3或x＜-1；得；∴在为增函数，在为减函数。
　　∵,∴.∴，∴.
　　<七〉、(为常数）型；
例7 ：已知函数，则对任意（）都有
恒成立,当且仅当=____，=____时取等号.
　　解：因为恒成立，
　　由，易求得，,∴.
〈八〉、型
例9： 已知函数，对于时总有成立，求实数的范围.

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