导数中的任意性与存在性问题探究.doc
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1、(完整word)导数中的任意性与存在性问题探究 函数中任意性和存在性问题探究 高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点,下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究一、相关结论:结论1:;【如图一】结论2:;【如图二】结论3:;【如图三】结论4:;【如图四】结论5:的值域和的值域交集不为空;【如图五】例题1:已知两个函数;(1) 若对,都有成立,求实数的取值范围;(2) 若,使得成立,求实数的取值范围;(3) 若对,都有成立,求实数的取值范围;解:(1)设,(1)中的问题可转化为:时,恒成立,即.;当变化时,的变化情况列表如下:3(3,1)1(1,2)2(2,3)3(x)+00+h
2、(x)k45增函数极大值减函数极小值增函数k9因为,所以,由上表可知,故k-450,得k45,即k45,+)。小结:对于闭区间I,不等式f(x)k对xI时恒成立f(x)maxk对xI时恒成立f(x)mink, xI. 此题常见的错误解法:由f(x)maxg(x)min解出k的取值范围。这种解法的错误在于条件“f(x)maxg(x)min”只是原题的充分不必要条件,不是充要条件,即不等价.(2)根据题意可知,(2)中的问题等价于h(x)= g(x)f(x) 0在x3,3时有解,故h(x)max0.由(1)可知h(x)max= k+7,因此k+70,即k-7,+).(3)根据题意可知,(3)中的问
3、题等价于f(x)maxg(x)min,x3,3.由二次函数的图像和性质可得, x3,3时, f(x)max=120k.仿照(1),利用导数的方法可求得x-3,3时, g(x)min=21.由120k21得k141,即k141,+).说明:这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量.从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“x”恒成立,还是“x”使之成立,同时还要看清不等式两边是同一个变量,还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜。例题2:(2010年山东理科22) 已知函数;(1) 当时,讨论的单调性;(2)设,当时,若对,,使,求
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