数形结合思想在初中数学教学中的运用.doc

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原 创 性 声 明

本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究成果.除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果.参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.

签 名： 日 期：

本论文使用授权说明

本人完全了解南通大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容.
（保密的论文在解密后应遵守此规定）

学生签名： 指导教师签名： 日期：

南通大学毕业设计（论文）立题卡
课题名称
数形结合思想在初中数学教学中的运用
出题人

课题表述（简述课题的背景、目的、意义、主要内容、完成课题的条件、成果形式等）
数形结合思想方法是一种常用的数学方法，它在数学科学和其他科学中有着广泛的应用。对数形结合思想的讨论主要是如何运用它来解题，我们通常的方法是审清题意，从已知的数量关系入手，思考是否能转化为图形关系，使问题简单化，或者根据已知图形的性质转化为数量关系，使问题具体化。本课题是对数形结合思想解题能力的研究，从初中数学各部分知识分别入手，分析每一部分内容运用到数形结合的解题思路，从解题中体会运用数形结合思想解决问题的益处，提高对数形结合思想解题的认识。

课题成果形式：毕业论文
课题来源
其他
课题类别
毕业论文
该课题对学生的要求
有一定的教育教学基础、扎实的专业知识和计算机能力
系部意见

系主任签名：
年 月 日
学院意见
同意立题（　　）　
不同意立题（　　） 　　教学院长签名：
________年________月________日
注：1、此表一式三份，学院、教研室、学生档案各一份。
2、课题来源是指：1.科研，2.社会生产实际，3. 其他。
3、课题类别是指：1.毕业论文，2.毕业设计。
4、教研室意见：在组织专业指导委员会审核后，就该课题的工作量大小，难易程度及是否符合专业培养目标和要求等内容提出具体的意见和建议。
5、学院可根据专业特点，可对该表格进行适当的修改。

X X X 大 学

毕业论文任务书

题目 数形结合思想在初中数学教学中的运用

学生姓名
学 院
专 业 数学与应用数学（师范）
班 级
学 号
起讫日期 年 月 日至 年 月 日
指导教师 职称

发任务书日期 年 月 日

课题的内容和要求（研究内容、研究目标和解决的关键问题）
研究内容：1.数形结合思想的概述； 2.数形结合思想的解题运用。
研究目标：1.查阅资料，寻找一些的有关数形结合的数学题型，将它们按照不同部分的知识进行分类，并进行解题思路的分析；
2.讨论数形结合思想的运用。
解决的关键问题：在解决数学问题时，如何灵活巧妙地运用数形结合来解题。
课题的研究方法和技术路线
研究方法：
1.结合所学的教育学知识，在理解的基础上对数形结合思想进行阐述。
2.根据初中数学的内容，对各部分的知识进行系统的整理和归纳。
3.结合实例讨论数形结合思想的运用。
技术路线：
1.查阅资料，深刻地认识和了解数形结合思想，并对数形结合思想在数学教学中的运用进行概述；
2.阐述初中数学各部知识中的数形结合思想；
3.对每部分具有代表意义的数学问题进行详细的分析。
基　础　条　件
内在条件：作为数学师范生，具有较好的解决数学问题的能力，而且具备了一定的数学教育理论知识和初步的数学教学经验。
外在条件：计算机网络便利的搜索系统提供了重要的信息资源，充分利用学校图书馆和校园网中大量的文献资料，老师的细心指导和同学们的相互讨论是完成此课题的重要保证。

参　考　文　献

[1] 刘文进. 数形结合思想在初中数学教学中的应用[J].滁州师专学报,2000,2(3):86-87.
[2] 余小英.数形结合思想在初中数学教学中的应用[J].发展，2010,(03):140-144.
[3] 赵燕燕.数形结合的思想在初中数学教学中的渗透[J].教育教学论坛,2011,(09):68-71.
[4] 古和平，华志民.数形结合思想的思考与展现形式[J].成都教育学院学报,2001,(03): 72-73.
[5] 缪娟.初中科学教学中数学思想方法的应用研究[M].北京：第四届中国教育家大会，2007，11.
[6] 杨瑜.初中数学思想方法的研究与实践[硕士论文].河北师范大学,2008.
[7] 唐晓艳.初中数学教学中渗透数学思想方法的探究[硕士论文].东北师范大学,2007，10.
[8] 罗洪信.在初中数学中蕴藏着的数形结合思想[J].桂林市教育学院学报,2001,15(05):85-88
[9] 梁嘉雯.初中学生数形结合认知机制及其发展的研究[硕士论文].广州大学,2012.
[10]张宏良.浅谈数学教学中的数形结合思想[J].衡水学院学报,2005,(01):82-84.
[11]苏文能.数中构形形中找数[J].广西师范学院学报,2009,36（04）:3-6.
[12]冯艳丽.浅谈学生数形结合思想的培养[J].广西轻工业,2007,(12):129-130.

本课题必须完成的任务
本课题必须完成的任务：
对数形结合思想在初中数学教学中的运用作系统地归纳总结，结合实例对数形结合思想在解题中渗透的思路分析，充分地挖掘数学问题中的数形结合思想。
成　果　形　式
毕业论文

进度计划
起讫日期
工作内容
备 注

11月15日－12月26日
选题、查阅文献资料；发放任务书

1月5日－1月8日
发放任务书，根据任务书情况继续查阅文献资料

2月15日前
完成外文翻译

3月10日—3月20日
开题报告

3月13日—4月2日
根据开题报告情况继续查阅文献资料

4月2日－4月25日
写出论文第一稿

4月26日－5月4日
指导老师批阅论文第一稿

5月5日－5月18日
修改论文，并定稿

5月18日－5月31日
指导教师评定成绩，评阅老师评阅论文，写出评阅意见。

6月1日－6月12日
答辩

系部审核意见

系主任签名： 　 　 　 年 　月 日
学院意见

教学院长签名： 　　　 年 　月 日

注：此表为参考表格，学院可根据专业特点，对该表格进行适当的修改.

南通大学本科生毕业设计（论文）开题报告
学生姓名
xxx
学 号
xxxx
专业
数学与应用数学（师范）
课题名称
数形结合思想在初中数学教学中的运用
阅读文献
情 况
国内文献12篇
开题日期
x月x日
国外文献0篇
开题地点
xxxxx
一 文献综述与调研报告：（阐述课题研究的现状及发展趋势，本课题研究的意义和价值、参考文献）
国内外研究现状
数形结合思想方法是数学教学中的一种重要的数学方法，它具体产生的时间虽然无法确定，但主要从笛卡尔创造了平面直角坐标系后，数形结合思想才得到了突飞猛进的发展。我国著名的数学家华罗庚就说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非。”至今，国内外仍有许多学者发表了对数形结合思想的相关研究，但由于数形结合思想运用范围极其广泛，所以目前对数形结合思想的运用仍有很大的研究空间，尤其是在教学中的运用，对学生的学习起到至关重要的作用。
课题研究的目的和意义
数形结合既是一种重要的数学思想，也是一种常用的数学方法，其本质是几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质。华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”、“数形结合百般好，割裂分家万事休”，由此可以反映出“数”与“形”在客观世界中是密不可分割的。 在数学教学中，如果能让学生有意识地将数与形结合起来思考数学问题、理解数学知识，这样就可以在一定程度上降低问题的难度、加深对知识的理解与掌握，提高学生学习数学的能力。 这就需要我们努力地将数形结合的思想方法渗透到日常的数学教学中、渗透到解决问题的过程中去 ，让学生在数学解题中有意识地以“数”论“形”、以“形”究“数”，养成运用数量关系、代数形式等研究图形性质的习惯，能根据所给图形得出数、式、方程等关系。数形结合思想在中考中占有重要的地位，“数”与“形”的结合，把数量关系转化为图形问题或把图形性质问题转换为数量关系来解决数学问题，把复杂问题简单化、抽象问题具体化，使抽象思维和形象思维有机结合。在初中学科中无论是数学学科还是物理以及其他学科均有对数形结合思想的考查，而且在数学教学中要求必须掌握，在数学教学中有着重要的价值。在教学中，数形结合能激发学生的学习兴趣，拓宽学生的解题思路, 提高他们的解题能力，训练学生的直观思维与创造思维。同时还可以提高教学效果，提高学生的数学素养。

参考文献：
[1] 刘文进. 数形结合思想在初中数学教学中的应用[J].滁州师专学报,2000,2(3):86-87.
[2] 余小英.数形结合思想在初中数学教学中的应用[J].发展，2010,(03):140-144.
[3] 赵燕燕.数形结合的思想在初中数学教学中的渗透[J].教育教学论坛,2011,(09):68-71.
[4] 古和平，华志民.数形结合思想的思考与展现形式[J].成都教育学院学报,2001,(03): 72-73.
[5] 缪娟.初中科学教学中数学思想方法的应用研究[M].北京：第四届中国教育家大会，2007，11.
[6] 杨瑜.初中数学思想方法的研究与实践[硕士论文].河北师范大学,2008.
[7] 唐晓艳.初中数学教学中渗透数学思想方法的探究[硕士论文].东北师范大学,2007，10.
[8] 罗洪信.在初中数学中蕴藏着的数形结合思想[J].桂林市教育学院学报,2001,15(05):85-88
[9] 梁嘉雯.初中学生数形结合认知机制及其发展的研究[硕士论文].广州大学,2012.
[10]张宏良.浅谈数学教学中的数形结合思想[J].衡水学院学报,2005,(01):82-84.
[11]苏文能.数中构形形中找数[J].广西师范学院学报,2009,36（04）:3-6.
[12]冯艳丽.浅谈学生数形结合思想的培养[J].广西轻工业,2007,(12):129-130.

二 本课题的基本内容，预计解决的难题
基本内容：
数学是一门抽象的科学，数学教学既是一门科学又是一门艺术，而高效率的数学教学本身就是一种艺术的创造。本课题是对数形结合思想解题能力的研究，从初中数学各部分知识分别入手，分析每一部分内容运用到数形结合的解题思路，从解题中体会运用数形结合思想解决问题的益处，提高对数形结合思想解题的认识，以便教师能更好地充分地利用数形结合来解题，提高课堂教学效果，创造一门好的艺术！
预计解决的难题：
（1） 如何灵活熟练地利用数形结合思想解决数学问题；
（2） 如何更好地让学生灵活运用数形结合思想解决数学问题；
（3） 如何在教学中充分地挖掘数学问题中的数形结合思想。

三 课题的研究方法、技术路线
（1）结合已学数学学科教育专业知识，收集、查阅、整理有关初中数学教学与具有代表性的数形结合思想解决问题的题型等方面的资料；
（2）数形结合思想的理论概述；
（3）对数形结合思想解决相关数学问题的研究；
（4）阐述数形结合思想在初中数学各部分知识中的运用；
(5) 分析问题是怎样运用数形结合思想的；
（6）探讨数形结合思想相关解题思路的应用；
（7）撰写论文。

四 研究工作条件和基础
作为一名数学师范专业的学生，我已系统地学习过了数学教育学课程及进行了教育实习，具有较好的解决数学问题的能力，而且具备了一定的数学教育理论知识和初步的数学教学经验，并具有一定的计算机应用能力和文献检索能力。学校图书馆和校园网有比较丰富的图书期刊和资料提供学生查阅，为我的论文课题的研究提供了良好的条件。

五、进度计划
起讫日期
工作内容

3月13日—4月2日
根据开题报告情况继续查阅文献资料
4月2日－4月25日
写出论文第一稿
4月26日－5月4日
指导老师批阅论文第一稿
5月5日－5月18日
修改论文，并定稿
5月18日－5月31日
指导教师评定成绩，评阅老师评阅论文，写出评阅意见。
6月1日－6月12日
答辩
论文阶段完成日期
文献调研完成日期
4月2日
论文实验完成日期

撰写论文完成日期
5月18日
评议答辩完成日期
6月10日
指
导
教
师
评
语

晏娜同学通过阅读相关文献，已基本了解课题的研究现状，对该课题的发展趋势的分析比较恰当，对研究的意义和价值的阐述符合实际，参考文献的数量和内容合适，课题的基本内容符合任务书的要求，研究方法得当，技术路线正确可行，已具备进行本课题研究的条件，同意晏娜同学开题.

导师签名： 　 　　年 月 日
教
研
室
意
见

系主任签名： 　 　　年 月 日
学院
意见
通过开题（　　）　
开题不通过（　　）

教学院长签名： 　 　　年 月 日

注：1、学院可根据专业特点，可对该表格进行适当的修改。

X x x 大 学
毕 业 论 文

题目： 数形结合思想在初中数学教学中的运用

姓 名：　　 x x　　　　　
指导教师：　　 x x　 　　
专 业：数学与应用数学（师范）　　　　　

xx大学x学院
x年x月

南通大学毕业论文

摘 要

数形结合就是把数学问题中的“数”和“形”结合起来解决问题，是把数量关系转化为图形问题或把图形问题转为数量关系来解决数学问题，使复杂的数学问题简单化、抽象的问题具体化。在教学中，数形结合能激发学生的学习兴趣，拓宽学生的解题思路, 提高他们的解题能力，训练学生的直观思维与创造思维。同时还可以提高教学效果，提高学生数学素养。
本文研究了数形结合思想在初中数学教学中的运用， 通过对初中数学每一部分知识的研究来详细地分析数形结合在数学问题中的渗透，通过例题的分析来体会运用数形结合解题的益处，分层次地概括出运用到数形结合来解决问题的有关数学知识。

关键词：数形结合思想， 初中数学， 解决数学问题

ABSTRACT
The combination of the number with the shape means that we need to combine the ‘number’ with the ‘shape’ when we are solving some problems. It means that we can transform the relationship between the numbers to graphics issues or transform graphics issues to the relationship between the numbers, which can simplify complex issues and specify abstract issues. In the teaching, the combination of the number with the shape can help to stimulate students’ interest in learning, broaden their problem solving thinking, improve their ability of problem solving, and training their intuitive thinking as well as creative thinking. It can also enhance the effects of teaching and accomplishments of the students.
This topic mainly studies the application that the idea of the combination of the number with the shape in junior middle school mathematics teaching. Based on the research of the knowledge in every part of the junior middle school mathematics, we can analyze penetration that the combination of the number with the shape in the math problem in detail, we can experience the benefits of using the combination of the number with the shape in problem solving by using the analysis samples, and we can summarized the relevant mathematical knowledge that to solve the problem by the combination of the number with the shape hierarchically.

Keywords: The idea of combining numbers with shapes， The junior middle school mathematics， To solve mathematical problems

III

目 录

摘 要 I
ABSTRACT II
一 引 言 1
二 正 文 2
2.1 数形结合与数、代数 2
2.1.1 数与式中数形结合思想的运用 2
2.1.2 方程与不等式、函数中的数形结合思想的运用 4
2.2 空间与图形中的数形结合思想 7
2.1.1 立体图形中的数形结合 7
2.2.2 三角形中的数形结合思想 7
2.2.3 四边形中的数形结合思想 8
2.2.4 数形结合思想在圆中的渗透 10
2.3 统计与概率中的数形结合思想 13
2.4 综合与创新中的数形结合思想 14
三 结束语 16
致 谢 18

一 引 言
数形结合思想是一种重要的数学思想，同时也是一种常用的数学方法，它的实质是“数”与“形”之间的关系的相互转换，以“数”来讨论“形”的关系、以“形”来研究“数”的关系。在谈到数形结合的好处的时候，华罗庚先生曾作过这样的一首诗：“数无形时少直观，形无数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休”，从这首诗中我们可以看出“数”和“形”在客观世界中的关系是不可分割的，把“数”与“形”相结合，很多数学问题就能迎刃而解了。在平时的数学教学中，教师如果能够让学生做到有意识地将数与形结合起来思考数学问题、理解数学知识和掌握数学方法，那么在解决数学问题时就可以在一定程度上降低问题的难度，同时还能让学生加深对知识的理解与掌握，让学生学得轻松、学得快乐，增加学习兴趣，提高学生学习数学的能力。所以在平时的数学教学中，需要我们教师努力地将数形结合思想灵活地渗透到日常的数学教学中去，让我们的学生能在解决问题的过程中灵活运用数形结合思想来解决问题，并能有意识的运用数形结合思想解决问题，使学生可以达到给出一个数学问题就能联想到是否可以运用数形结合思想来解决它的境界，养成运用数形结合来解决数学问题的习惯。
学生的数学学习不需要他们死记硬背，而是需要他们通过理解来学习，在他们理解的同时还需要一些方法和技巧，而数形结合就是一种学习数学的方法，这个思想方法可以说贯穿于整个数学这一门学科中，无论是小学还是中学都有它的“影子”存在，甚至在大学都有运用它来解决问题的地方。所以对于初中生来说，掌握好数形结合思想方法非常重要，教师在教学中必须使其渗透到位，学生才能很好地掌握与运用数形结合思想，增加学生学习数学的信心与学习兴趣，提高学生的数学素养。

二 正 文
初中生的年龄特征是他们的在情感方面上反应不稳定，容易缺少自我克制的能力；在感知方面上，他们的精细性不够、灵敏性比较高，随年龄的增长，他们的抽象逻辑思维逐渐提高，但是在思维中的具体形象成分还是占比较重要的作用。同时，初中生的注意力、记忆力有了一定的提高，在情感方面丰富而外露，比较容易偏激，不是很稳定，在体验上变得深刻，在自我控制能力上得到了一定的发展，社会内容方面变得丰富，对于国家、民族的兴衰在内心上有着比较强烈的关注，在他们的意志方面上，对于活动的主动性和自觉性有了提高，但是他们的好胜心比较强，在行为方面具有盲目性；他们能自觉评价别人与自己的品质特征。与成年人相比较，在评价别人和自己的品质的能力方面还是不是很高的。根据这些特点可以看出他们在学习方面不是很稳定，除了需要学校和家庭的监督外，还需要自我控制，如果学习的内容太难就不易于学生的发展，所以教学中需要渗透一定的方法来提高学习效率。对于数学的学习，由于它的高度抽象性，所以就更需要数学方法的渗透了，数形结合思想方法就是其中之一，如果学好它可以使学生养成用数形结合分析问题的意识，增强学生对问题解决的灵活性,提高他们分析问题、解决问题的能力。

2.1 数形结合与数、代数
这一部分的内容主要有数与式、方程与不等式、函数及其图像。
2.1.1 数与式中数形结合思想的运用
在这一部分的内容中数形结合思想主要渗透在实数与数轴、因式分解与其几何图形中。
数轴是用“形”来研究“数”的有力工具，充分地了解数轴的结构和应用特点很重要，运用数轴我们可以进行数的大小的比较，即正确地运用数轴上的点来表示出相应的数后，应用“数轴上的点表示数，左边的数总小于右边的数”进行比较，这样就比较容易区分正数与负数之间的关系。

例1：实数在数轴上的点的位置如图1所示，则下列选项中对的判断正确的是（ ）

0
1
n
m
图 1

例2：这四个数中最大的是（ ）

分析：这两个题考查的是数轴上的点的坐标特征及实数的运算，利用数轴的性质很容易知道，从而；都小于，而是大于，且在数轴的右边，以为中点，都在左边，右边的数总大于左边的数，从而为最大的数，这样判断起来就方便多了。

例3：如图2所示，在下列各实数中，数轴上点可能表示的是（ ）

A
-3
-2
0
2
3
-1
1
图2

的算术平方根 的立方根
、的算术平方根 、的立方根

分析：A在与之间，根据数的性质很容易判断A可能为的立方根。
因式分解是把一个多项式化为几个整式积的形式，如：
如果要使学生在教学中更容易理解知识，教师可以借助几何图形：给出一张纸，如图3中右边的形状，要求学生在不浪费纸张的情况下剪拼成左边形状的图形，同时画出图形，求两个图形的面积并表示出来。

b
b
a
a-b

b
a

a

图3

根据图形的面积公式，,即有左=右，这样既可以有利于帮助学生理解，又有利于学生的对知识的记忆和掌握，从而提高课堂教学效果，达到预期的教学目标。
2.1.2 方程与不等式、函数中的数形结合思想的运用
这一部分的内容主要有函数与方程、数轴与不等式（组）、函数及其图象。
数轴与不等式之间的关系同数轴与实数之间的关系类似，都是以“形”来研究“数”，把数在数轴上充分体现出来。利用数轴来研究不等式，不仅给数学教学上带来了方便，而且让学生对所学的数学知识加深了理解，使学生的学习更加轻松。例如，在解几个不等式组时，每个不等式的解都用不等式表示出来了，但是由于不等式比较多，求解集就比较麻烦，容易出错，如果把每一个不等式解都表示在数轴上，观察它们在数轴上的公共部分，即为解集，这样就可以很容易地确定了解集而不至于弄错，既缩短了解题的时间，又可以让学生加深对知识的理解与掌握，而不至于让学生由于复杂而放弃解题，同时通过这样的成功感可以增加学生学习数学的兴趣，例如求几个不等式的公共解集时，每一个不等式都有其对于的解集，最后判断公共解集容易出错，如果在数轴上表示出来，就变得一目了然了，学生学起来也不累。
函数及其图象是以平面直角坐标系为基础来展开的，通常是根据函数表达式、性质画出图形，根据坐标上的图形来判断函数的性质、表达式，把函数问题转化为图形问题，把图形问题转化为函数问题。函数与图形的结合运用，在一定程度上大大降低了数学问题的难度，使问题变得直观化、形象化，有利于教学活动的开展与学生对数学知识的掌握和理解。

例4：已知函数和函数图象的交点是在轴的负半轴上，那么的值是(　　　).

分析：已知了函数，我们可以根据函数的性质来可以画出图形，如图4所示：

o

（)
图4

再结合图形与函数本身的性质就可以很容易地求得m的值，即有，，而，则
方程与函数主要是利用函数的图象来研究方程的，通过函数的图象来判断方程是否有根、有什么样的性质，或者根据图象列出方程，使问题简单化。

例5:已知方程有个根，求实数的取值范围 。
分析：方程可看着是求函数有四个根的情形，这时可以画出一元二次方程的图象：
图5
1
2
3
1
2
3
4
y=m

根据图形很容易可以看出，直线与二次函数有四个交点时即为四个根，在四个交点的图像范围中即为的取值范围。

例6：设 , 证明:
分析：
大部分学生想到的就是把左边展开得 ，后面怎么做就不知道了，只告诉了的范围，感觉没有继续做下去的思路了，如果这时候能把思维转化，利用图形来做就比较容易了。
首先我们可以发现的范围是在与之间，所以可以建立边长为的等边三角形，而则表示每边上所取点与三角形顶点的距离，如图6所示，在三角形的边上取点，使得，则
C
B
A
D
E
F
图6

且有，即

从而

这种类型题如果只用“数”的思维方式来解决的话，可能没有头绪，但当转化为图形问题时就变得显而易见了，通过这样的方法让学生感受到了解决问题的成就感，有信心去学习数学，接触数学。
2.2 空间与图形中的数形结合思想
空间与图形这一部分主要包括平面图形与立体图形、平面图形的位置关系、三角形、四边形与圆等内容，它们是围绕着“形”来展开的，通过对“形”的认识来研究“数”， 或者用“数”来探讨“形”，大大地降低了问题的难度，提高学生的数学素养，增强他们的数学思维能力。
2.1.1 立体图形中的数形结合
在生活中常见的立体图形有圆锥、正方体、棱柱、长方体、球和棱锥，如果需要求出图形的面积或体积的话，就需要从图形来出发了，利用图形的性质得出数量的关系，再根据公式求出表面积或体积，可以说数与形是相互的，如给出一个图形的三视图，首先需要判断出它是什么样的图形，再根据图形本身的性质和数列出关系式；或者给出一组数据，首先要根据数据判断是什么图形，再根据图形的性质来解决问题，否则只有一组数的话很难解决问题的。

例7：一个几何图形的上、下表面是圆，半径分别为2、5，高为10，求该图形的表面积。
分析：从数据中可以看出该图形是一个圆台，由圆台的性质知圆台展开后的平面图形是梯形，根据梯形的面积公式和圆的面积公式很容易就可以求出该图形的表面积。如果只根据已知的数据求图形的表面积有点困难，因为我们不知道它是什么样图形，无法运用相应的公式来求，只有知道了是什么样的图形才能根据相应的公式来解决问题。
2.2.2 三角形中的数形结合思想
这一部分运用到数形结合思想的题型主要是解直角三角形、等腰三角形、等边三角形的问题中，常借助于图形的直观性来确定已知元素、未知元素，并发现其关系，使问题得到顺利解决。如在直角三角形中，角所对应的直角边的长等于斜边的一半、每个角为的三角形为等边三角形（边相等），根据所给图形的性质可以得出对应的数量关系，还可以由数量的关系得出图形的性质。一般情况下，对于这些性质与判定学生在解题时往往是能熟练得运用的，直观易懂，这就是数形结合思想的魅力。

例8：已知在等腰三角形中，,边上的中线将此三角形的分为两部分，周长为和，则三角形的底边的取值为（ ）

分析：根据题目中的三角形形状，可以知道为三角形的两腰，而中线把三角形分为两个部分，但是我们不知道哪部分大哪部分小，故应该有两种情况，一种是三角形的面积为，三角形的面积为，另一种是三角形的面积为，三角形的面积为，从而解出的底边长不一样，即有两个值。
这个题既利用了以“形”究“数”，又利用到了以“数”论“形”，思路清晰，从而问题变得简单明了，易于学生的学习和知识的提升与应用。
2.2.3 四边形中的数形结合思想
四边形主要有平行四边形、梯形，数形结合思想在该部分的渗透主要是在图形与性质方面，通常是根据给定的数量关系来判断四边形的形状或者是根据给定的四边形来判断它具有什么样性质，比如说，在对平行四边形与梯形的性质和判定之间的研究就是一种数形结合，边或角相等是“数”，而四边形的形状则是“形”，从而在解决四边形相关问题时“数”与“形”往往是结合在一起的。

例9：如图7，在矩形中，对角线相交于,角度，,则的长为（ ）

O
A
B
C
D
图7

分析：看到该题目时，首先就要联系到矩形具有什么样的性质，根据这些性质和已知数才能更进一步地解决问题，如矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且相等，从而则,由勾股定理可得，这是由“形”得出“数”。

例10：如图8所示，矩形中，在上各取点，使求五边形面积的最小值。
A
M
N
B
C
D
图8

分析：由于矩形的面积是确定的，结合图形知，矩形可以看作是由三角形和五边形组成，要使的面积最小，则只有三角形的面积最大即可，再由矩形的面积减去三角形最大的面积，就可以得到五边形最小的面积。在解决这样的问题的过程中，是把问题转化成了代数问题，使问题变得简单易懂。

A
B
C
D
1
2
图9
例11：如图9所示，有一块形四边形的草地，测得米，度，度，求出这块四边形的地的面积。

分析：观察图形可以看出，该图形可以看作是由两个三角形构成，再根据题目中给出的“数”可以得出三角形为等腰直角三角形，三角形为等腰三角形，即以“数”论“形”，再根据三角形自身的性质求出相应的面积，从而得出四边形的面积为两个三角形面积之和，由三角形的面积公式容易求出两个三角形的面积，最后得出这块地的面积。

例12：已知了平行四边形的周长为，,求（ ）

分析：该题既有以“数”论“形”，又有以“形”探“数”，由周长为，为确定平行四边形的形状大小，再由平行四边形的性质确定各边的长度分别为，则。数与形相结合，思路清晰易懂，该题较好地巩固了基础知识，同时也是对基础知识的进一步提升。
2.2.4 数形结合思想在圆中的渗透
圆这一部分运用到数形结合思想的比较多，如在数量关系来解决图形问题中：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系等，通过运用图形，形象地表示出数的关系，使问题变得直观化。

例13：如图10所示，是圆的直径，是圆上的两点，且，,如果将四边形分成两个面积相等的三角形，试确定出四边形是什么样的图形。
A
B
C
D
O
图10

分析：由知到的高与到的高相等，又由于三角形与三角形的面积相等，若分别以、为三角形的底边，则,又因为,所以四边形应为菱形。
该题借助圆的性质和已知条件来判断图形的形状，既有“形”又有“数”，充分地利用了数形结合，把问题简单化。

例14：如图11所示，为圆的直径，弦，垂足为点，连接，若,