中山大学信息光学习题课后标准答案--习题234章作业.doc

习题2
2.1 把下列函数表示成指数傅里叶级数，并画出频谱。
(1) (2)
2.2 证明下列傅里叶变换关系式：
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(5) ; (6) 。
2.3 求和的傅里叶变换。
2.4 求下列函数的傅里叶逆变换，画出函数及其逆变换式的图形。

2.5 证明下列傅里叶变换定理：
(1) 在所在连续的点上；
(2) 。
2.6 证明下列傅里叶-贝塞尔变换关系式：
(1) 若，则;
(2) 若时，而在其他地方为零，则 ;
(3) 若，则 ;
(4)
2.7 设在极坐标中可分离变量。证明若，则：

其中为阶汉克尔变换：。而空间频率中的极坐标。(提示：)
2.8 计算下列各式的一维卷积。
(1) (2)
(3) (4)
2.9 试用卷积定理计算下列各式。
(1) (2)
2.10 用宽度为的狭缝，对平面上强度分布

扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出强度分布。
2.11 利用梳状函数与矩形函数的卷积表示光栅的透过率。假定缝宽为，光栅常数为，缝数为。
2.12 计算下面函数的相关。
(1) ★ (2) ★
2.13 应用傅里叶定理求下面积分。
(1) (2)
2.14 求函数和的一阶和二阶导数。
2.15 试求下图所示函数的一维自相关。

2.16 试计算函数的一阶矩。
2.17 证明实函数的自相关是实的偶函数，即：。
2.18 求下列广义函数的傅里叶变换。
(1) (2) (3)
2.19 求下列函数的傅里叶逆变换，并画出函数及其逆变换式的图形。
(1) (2)
2.20 表达式

定义了一个周期函数，它在方向上的周期为，它在方向上的周期为。
(a) 证明的傅里叶变换可以写为：

其中是的傅里叶变换。
(b) 当时，画出函数的图形，并求出对应的傅里叶变换。
习题3
3.1 设在一线性系统上加一个正弦输入：，在什么充分条件下，输出是一个空间频率与输入相同的实数值正弦函数？用系统适当的特征表示出输出的振幅和相位。
3.2 证明零阶贝塞尔函数是任何具有圆对称脉冲响应的线性不变系统的本征函数。对应的本征值是什么？
3.3 傅里叶系统算符可以看成是函数到其他变换式的变换，因此它满足本章把提出的关系系统的定义。试问：
(a) 这个系统是线性的吗？
(b) 你是否具体给出一个表征这个系统的传递函数？如果能够，它是什么？如果不能，为什么不能？
3.4 某一成像系统的输入是复数值的物场分布，其空间频率含量是无限的，而系统的输出是像场分布。可以假定成像系统是一个线性的空间不变换低通滤波器，其传递函数在频域上的区间，之外恒等于零。证明，存在一个由点源的方形阵列所构成的“等效”物体，它与真实物体产生完全一样的像，并且等产供效物体的场分布可写成：

3.5 定义：
,
分别为原函数及其频谱函数的“等效面积”和“等效带宽”，试证明：

上式表明函数的“等效面积”和“等效带宽”成反比，称为傅里叶变换反比定理，亦称面积计算定理。
3.6 已知线性不变系统的输入为：。系统的传递函数为。当和时，求系统的输出，并画出函数及其频谱。
3.7 对一个线性不变系统，脉冲响应为：

用频率域方法对下列的每一个输入，求其输出(必要时，可取合理近似)：
(1) (2)
(3) (4)
3.8 给定正实常数和实常数和，求证：
(1) 若，则
(2) 若，则
(3) 若，则
(4) 若，则
3.9 若限带函数的傅里叶变换在带宽之外恒为零，(1) 如果，证明：
(2) 如果，上面的等式还成立吗？
3.10 给定一个线性系统，输入为有限延伸的矩形波：

若系统脉冲响应：。求系统的输出，并绘出传递函数、脉冲响应、输出及其频谱的图形。
3.11 给定一线性不变系统，输入函数为有限延伸的三角波

对下列传递函数利用图解方法确定系统的输出：
(1) (2)
3.12 若对函数：抽样，求允许的最大抽样间隔。
3.13 证明在频率平面上一个半径为的圆之外没有非零的频谱分量的函数，遵从下述抽样定
理：

习 题 4
4.1 尺寸为的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上透射光场的角谱。
4.2 采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布：
(1) (2)
4.3 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为：

式中，为光栅的周期，。观察平面与光栅相距。当分别取下述值时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。
(1) (2) (3)
4.4 参看下图，用向点会聚的单色球面波照明孔径。点位于孔径后面距离为的观察平面上，坐标为。假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面上强度分布是以点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。

4.5 方向余弦为，振幅为的倾斜单色平面波照明一个半径为的圆孔。观察平面位于夫琅禾费区，也孔径相距为。求衍射图样的强度分布。
4.6 环形孔径的外径为，内径为。其透射率可以表示为：

用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求距离为的观察屏上夫琅禾费衍射图样的强度分布。
4.7 下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。它们的半径都为，中心距离为。采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求出相距孔径为的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布并画出沿方向截面图。

4.8 参看下图，边长为的正方形孔径内再放置一个边长为的正方形掩模，其中心落在点。采用单位振幅的单色平面波垂直照射，求出与它相距为的观察平面上夫琅禾费射图样的光场分布。画出时，孔径频谱在方向上的截面图。

4.9 下图所示孔径由两个相同的矩孔构成，它们的宽度为，长度为，中心相距。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。假定及，画出沿和方向上强度分布的截面图。

4.10 下图所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可以用阶跃函数表示，即：

采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为的观察平面上夫琅禾费衍射图样的复振幅分布。画出沿方向的振幅分布曲线。

4.11 下图所示为宽度为的单狭缝，它的两半部分之间通过相位介质引入位相差。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为的观察平面上夫琅禾费衍射图样强度分布。画出沿方向的截面图。
4.12 线光栅的缝宽为，光栅常数为，光栅整体孔径是边长的正方形。试对下述条件，分别确定和之间的关系：
(1) 光栅的夫琅禾费衍射图样中缺少偶数级。
(2) 光栅的夫琅禾费衍射图样中第三级为极小。
4.13 衍射屏由两个错开的网络构成，其透过率可以表示为：

采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。画出沿方向的截面图。
4.14 如下图所示为透射式锯齿形位相光栅。其折射率为，齿宽为，齿形角为，光栅的整体孔径为边长为的正方形。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距光栅为的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。若使用衍射图样中某个一级谱幅值最大，角应如何选择？

4.15 衍射零是由个圆孔构成的方形列阵，它们的半径都为，其中心在方向间距为，在方向间距为，采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。
4.16 在透明玻璃板上有大量()无规则分布的不透明小圆颗粒，它们的半径都是。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。

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