高数答案(下)习题册答案第六版下册同济大学数学系编.doc
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1、高数答案(下)习题册答案 第六版 下册 同济大学数学系 编第八章 多元函数的微分法及其应用 1 多元函数概念一、设f(x,y)=x2+y2,j(x,y)=x2-y2,求:fj(x,y),y2. 答案:f(j(x,y),y2)=(x2-y2)2+y4=x4-2x2y2+2y4 二、求下列函数的定义域:x2(1-y)221、f(x,y)= (x,y)|y+x1; 221-x-yy2、z=arcsin (x,y)|yx,x0; x三、求下列极限:x2siny 1、lim (0) 2(x,y)(0,0)2x+y2、y(1+)3x (e6) (x,y)(,2)xlimx2y四、证明极限 lim不存在.
2、2(x,y)(0,0)4x+y证明:当沿着x轴趋于(0,0)时,极限为零,当沿着y=x趋于(0,0)时,极限为 二者不相等,所以极限不存在 21, 21,(x,y)(0,0)xysin22五、证明函数f(x,y)= 在整个xoy面上连续。 x+y0,(x,y)=(0,0)证明:当(x,y)(0,0)时,f(x,y)为初等函数,连续。当(x,y)=(0,0)时,1xysi=0=f(0,0),所以函数在(0,0)也连续。所以函数 (x,ylim)(0,0)22x+y在整个xoy面上连续。六、设z=x+y2+f(x+y)且当y=0时z=x2,求f(x)及z的表达式. 解:f(x)=x2-x,z=x2
3、+2y2+2xy-y 2 偏导数yzz=xy+z 1、设z=xy+xex ,验证 x+yxyzyzzz=y+ex-ex,=x+ex,x+y=xy+xy+xex=xy+z 证明:xxyxyyyyyz=x2+y21p2、求空间曲线G:在点(,1)处切线与y轴正向夹角() 1y=2242x23、设f(x,y)=xy+(y-1)arcsin, 求fx(x,1) ( 1) y4、设u=x, 求zzyuuu , , yxzzzuzu1yuzy-1=-2xylnx =xlnx =x 解: ,yzyxyy2u2u2u2+= 5、设u=x+y+z,证明 : x2y2z2u6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连
4、续?是否可导(偏导)?说明理由 222122xsin,x+y022f(x,y)= x+y220,x+y010-0 limf(x,y)=0=f(0,0) 连续; fx(0,0)=lim fy(0,0)=limsi2 不存在,=0 x0y0x0y-0xy07、设函数 f(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在,求 limx0f(a+x,b)-f(a-x,b) x(2fx(a,b)) 3 全微分1、单选题(1)二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的_ (A) 必要条件而非充分条件 (B)充分条件而非必要条件(C)充分必要条件(2)对于二元函数f(x,y),下列有关偏导数与全微
5、分关系中正确的是_(A) 偏导数不连续,则全微分必不存在(C)全微分存在,则偏导数必连续 (D)全微分存在,而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分:yyy11)z=ex dz=ex(-2dx+dy) xx22 2)z=sin(xy) 解:dz=cos(xy)(y2dx+2xydy)yz-11y 3)u=x 解:du=xdx+xzlnxdy-2xzlnxdz zzzyzyyy3、设z=ycos(x-2y), 求dz(0,)4p解:dz=-ysin(x-2y)dx+(cos(x-2y)+2ysin(x-2y)dy dz|(0,p4)=p4dx-p2dy4、设f(x,y,z)=z1(-2dx-4d
6、y+5dz) 求: df(1,2,1)2225x+y122(x+y)sin5、讨论函数f(x,y)=x2+y20,(x,y)(0,0)(x,y)=(0,0)在(0,0)点处 的连续性 、偏导数、 可微性 1(x2+y2)sin=0=f(0,0) 所以f(x,y)在(0,0)点处连续。 解:(x,ylim)(0,0)22x+y fx(0,0)=f(Dx,0)-f(0,0)f(0,Dy)-f(0,0)=0,fy(0,0)=lim=0 (x,y)(0,0)(x,y)(0,0)DxDyf(Dx,Dy)-00,所以可微。 22(Dx)+(Dy)lim4 多元复合函数的求导法则dzvt1、 设z=u,u=
7、sint,v=e,求 dtdzet-1tete+lnsint(sint)et 解:=cost.(sint)dtzz2x-3y,,求, 2、 设z=(x+y)xyz2x-3y-1=(2x-3y)x(+y)-3x(+y2x-)3ylnx+( y), yzzyn+2y=nz 3、 设z=xf(2),f 可微,证明xxyx2z2z2z224、 设z=f(x-y,2xy),其中f具有二阶连续偏导数,求, 22xyyxz解:=2xf1+2yf2 , x2zz=2x(f11(-2y)+f122x)+2f2+2y(f21(-2y)+f222x) =-2yf1+2xf2 , xyy=2f1-4xyf11+4(x
8、-y)f12+4xyf22222z2z22 ,=-2f1+4y2f11-8xyf12+4x2f22 =2f+4xf+8xyf+4yf111122222yx2zyx5、 设z=f(xy,)+g(),其中f具有二阶连续偏导数、g具有二阶连续导数,求xyxyzy1解:=f1y-2f2+g ,xxy2z11y11x=f1+y(f11x+f12)-2f2-2(f12x+f22)-2g-3gxyxxxxyydu6、 设u=F(x,y,z),z=f(x,y),y=j(x),求dxdu=F1+F2j(x)+F3(fx+fyj(x)。 解:dxu=x-2y2z2z2z2z-2=0 化为 =0, 7、设z=z(u
9、,v),且变换 可把方程62+v=x+ayxyuvyx其中z具有二阶连续偏导数,求常数a的值 (a=3)2z2z2z2uzzzzzz=2+2 证明:=-2+a =+2uvyuvxuvxuv22z2z2z2z2u2u=42-4a+a =-22+(a-2)+a22uvxyuvyuv2uv22z2u+(6+a-a)2=0 a=3 得:(10+5a)uvv2z2z8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数,f(1,1)=1,f1/(1,1)=a,f2/(1,1)=b 又,j(x)=fx,fx,f(x,x) 求 j(1).和j/(1) (1) ,(a+ab+ab2+b3) 5 隐函数的求导公式dy1、
10、设ylny=x+y,求dxdy1=解:令F(x,y)=ylny-x-y,Fx=-1,Fy=lny, dxlnyz2222、 设z=z(x,y)由方程x+y+z=yf()确定,其中f可微,证明yzz(x2-y2-z2)+2xy=2xzxy2zxy+z3、 设z=z(x,y)由方程=e所确定,其中f可微,求xyz2zzzzzz =-=,=-, 3xyxx(1+z)y1+zx(1+z)x2+y2+z2=1dyxdzdydz4、 设,求, ( ,=-=0) 22dxydxdxdxz=x+yzz5、 设z=z(x,y)由方程F(xy,y+z,xz)=0所确定,F可微,求, xyFyFxF1y+zF3zF
11、1x+F2z解:令F(x,y,z)=F(xy,y+z,xz) ,则 =-=-,=-=-xFzyFF2+xF3F2+xF3z6、设z=f(x,y)由方程z+x+y-ez+x+y=0所确定,求dz (dz=-dx-dy)7、设z=z(x,y)由方程 3xy+xcos(yz)-z3=y所确定,求zz, , yx()z3xy.yln3+cosyzzx.3xyln3-xzsin(yz)-1= , xy3z2+xysinyz()3z2+xysin(yz) 6 微分法在几何中的应用1、 求螺旋线x=2cost,y=2sint,z=3t 在对应于t=p4处的切线及法平面方程解:切线方程为=z-3p 3法平面方
12、程-2(x-2)+2(y-2)+3(z-3p)=0 4x2+y2+z2=502、 求曲线 在(3,4,5)处的切线及法平面方程 222z=x+yx-3y-4z-5 解:切线方程为 ,法平面方程:4x-3y=0 =4-302223、 求曲面2x+3y+z=9在(1,-1,2)处的切平面及法线方程解:切平面方程为2(x-1)-3(y+1)+2(z-2)=0x-1y+1z-2 及法线方程 =2-324、 设f(u,v)可微,证明由方程f(ax-bz,ay-bz)=0所确定的曲面在任一点处的切平面与一定向量平行证明:令F(x,y,z)=f(ax-bz,ay-bz),则Fx=f1a,Fy=f2a,Fz=
13、-bf1-bf2,=(f1a,f2a,-bf1-bf2)(b,b,a)=0 ,所以在(x0,y0,z0)处的切平面与定向量(b,b,a)平行。5、 证明曲面x和为a 223+y23+z23上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方=a(a0)232-32-32-3证明:令F(x,y,z)=x+y+z-a,则Fx=x,Fy=y,Fz=z,333在任一点(x0,y0,z0)处的切平面方程为x0 在在三个坐标轴上的截距分别为x0证明曲面z13231323232323111-13(x-x0)+y0(y-y0)+z0(z-z0)=01323-13-13a,y0a,z0a,在三个坐标轴上的截距的平方和
14、为a223y=xf()上任意一点M(x0,y0,z0),(x00)处的切平面都通过原点x7、设F(x,y,z)具有连续偏导数,且对任意实数t, 总有F(tx,ty,tz)=tkF(x,y,z) k为自然数,试证:曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点 证明 :F(tx,ty,tz)=tkF(x,y,z) 两边对t 求导,并令t=1 xFx+yFy+zFz=kF(x,y,z)设是曲面上任意一点,则过这点的切平面为:Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0 此平面过原点(0,0,0) 7 方向导数与梯度
15、1、 设函数f(x,y)=x2-xy+y2, 1)求该函数在点(1,3)处的梯度。2)在点(1,3)处沿着方向l的方向导数,并求方向导数达到最大和最小的方向(1f,3)=-+5j 解:梯度为 grad到最小值的方向为-=(1,-5)。 2、 求函数ufl(1,3)=-cosq+5sinq , 方向导数达到最大值的方向为=(-1,5),方向导数达=xy2+yz2+zx2在(1,2,-1)处沿方向角为a=600b=900g=1500的方ul=1+向导数,并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。3,该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向 (1,2,-1)2ugradu(1,2,
16、-1)=2+5j-3,此时最大值为 38 (1,2,-1)=l解:方向导数 为3、 求函数u=xy2z3在(1,1,-1)处沿曲线x=t,y=t2,z=t3在(1,1,1)处的切线正方向(对应于t增大的方向)的方向导数。uuu=y2z3,=2xyz3,=3xy2z2,=(1,2,3),该函数在点(1,1,-1)处的方 xyzu4向导数为, (1,1,-1)=l2224、求函数u=ln(y+z+x)在(1,1,-1)处的梯度。u2xu2yu2z=2,=,=解:, 22222222xx+y+zyx+y+zzx+y+z解:gradu(1,1,-1)=222+j- 333 8 多元函数的极值及求法1、
17、求函数f(x,y)=3x2+3y2-2x-2y+2的极值。11 答案:(,)极小值点 332求函数f(x,y)=x2+y2-2lnx-18lny的极值答案:极小值f(1,3)=10-18ln33. 函数f(x,y)=2x2+ax+xy2+2y在点(1,1)处取得极值,求常数a (-5)4、求函数z=x2+y2+1在条件x+y-3=0下的条件极值解:F(x,y,l)=x2+y2+1+l(x+y-3)Fx=02211 ,极小值为 (,)F=0332y5、 欲造一个无盖的长方体容器,已知底部造价为3元/平方,侧面造价均为1元/平方,现想用36元造一个容积最大的容器,求它的尺寸。(长和宽2米,高3米)
18、6、 在球面x2+y2+z2=5r2(x0,y0,z0)上求一点,使函数f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz 达到极大值,并求此时的极大值。利用此极大值证a+b+c5明a,b,c 有abc327() 52222证明:令L=lnx+lny+3lnz+l(x+y+z-5r) LLL=0,=0,=0,x2+y2+z2=5r2解得驻点x=y=r,z=r。所以函数令xyzf(x,y,z)=lnx+lny+3lnz在x=y=r,z=3r处达到极大值。极大值为ln(3r5)。x2+y2+z25即xyz3rxy(z)27(r)=27(),令5a+b+c5x2=a,y2=b,z2=c,得abc327()。
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