线性代数同济大学第四版习题答案06.doc
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1、个人收集整理 勿做商业用途第六章线性空间与线性变换 1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基。 (1) 2阶矩阵的全体S1; 解 设A, B分别为二阶矩阵, 则A, BS1. 因为(A+B)S1, kAS1,所以S1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. , , , 是S1的一个基。 (2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S2; 解 设, , A, BS2. 因为 , , 所以S2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. , , 是S2的一个基。 (3) 2阶对称矩阵的全体S3。 解 设A, BS3, 则AT=A, BT=B. 因为 (A+B
2、)T=AT+BT=A+B, (A+B)S3, (kA)T=kAT=kA, kAS3,所以S3对于加法和乘数运算构成线性空间., , 是S3的一个基。 2。 验证: 与向量(0, 0, 1)T不平行的全体3维数组向量, 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间. 解 设V=与向量(0, 0, 1)T不平行的全体三维向量, 设r1=(1, 1, 0)T, r2=(-1, 0, 1)T, 则r1, r2V, 但r1+r2=(0, 0, 1)TV, 即V不是线性空间。 3. 设U是线性空间V的一个子空间, 试证: 若U与V的维数相等, 则U=V. 证明设e1, e2, , en为U的一组基, 它可扩
3、充为整个空间V的一个基, 由于dim(U)=dim(V), 从而e1, e2, , en也为V的一个基, 则: 对于xV可以表示为x=k1e1+k2e2+ +krer. 显然, xU, 故VU, 而由已知知UV, 有U=V. 4. 设Vr是n维线性空间Vn的一个子空间, a1, a2, , ar是Vr的一个基。 试证: Vn中存在元素ar+1, , an, 使a1, a2, , ar, ar+1, , an成为Vn的一个基。 证明 设rn, 则在Vn中必存在一向量ar+1Vr, 它不能被a1, a2, , ar线性表示, 将ar+1添加进来, 则a1, a2, , ar+1是线性无关的。 若r
4、+1=n, 则命题得证, 否则存在ar+2L(a1, a2, , ar+1), 则a1, a2, , ar+2线性无关, 依此类推, 可找到n个线性无关的向量a1, a2, , an, 它们是Vn的一个基。 5。 在R3中求向量a=(3, 7, 1)T在基a1=(1, 3, 5)T, a2=(6, 3, 2)T, a3=(3, 1, 0)T下的坐标。 解 设e1, e2, e3是R3的自然基, 则 (a1, a2, a3)=(e1, e2, e3)A, (e1, e2, e3)=(a1, a2, a3)A-1,其中, . 因为 , 所以向量a在基a1, a2, a3下的坐标为(33, -82,
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