2018-2019学年人教A版高中数学必修二:直线、平面垂直的性质(知识讲解+例题演练).doc
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1、直线、平面垂直的性质【学习目标】1掌握直线与平面垂直的性质定理,并能解决有关问题;2掌握两个平面垂直的性质定理,并能解决有关问题;3能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题【要点梳理】要点一、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言:一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言:图形语言:2.性质定理文字语言:垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言:图形语言:3直线与平面垂直的其他性质(1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面。(2)若于,则。(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。(4)如果一条直线垂直于两个
2、平行平面中的一个,则它必垂直于另一个平面。要点诠释:线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽,通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化。要点二、平面与平面垂直的性质1性质定理文字语言:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言:图形语言:要点诠释:面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法,在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到。这种线面垂直与面面垂直间的相互转化,是我们立体几何中求解(证)问题的重要思想方法。2平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内。要点三、垂直关系的综合转
3、化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的,能够相互转化,转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理,具体的转化关系如下图所示: 在解决问题时,可以从条件入手,分析已有的垂直关系,早从结论探求所需的关系,从而架起条件与结论的桥梁 垂直间的关系可按下面的口诀记忆: 线面垂直的关键,定义来证最常见, 判定定理也常用,它的意义要记清 平面之内两直线,两线交于一个点, 面外还有一条线,垂直两线是条件 面面垂直要证好,原有图中去寻找, 若是这样还不好,辅助线面是个宝 先作交线的垂线,面面转为线和面, 再证一步线和线,面面垂直即可见 借助辅助线和面,加的时候不能乱, 以某性质为基础,不能主观凭臆断, 判断
4、线和面垂直,线垂面中两交线 两线垂直同一面,相互平行共伸展, 两面垂直同一线,一面平行另一面 要让面和面垂直,面过另面一垂线, 面面垂直成直角,线面垂直记心间【典型例题】类型一:直线与平面垂直的性质例1设a,b为异面直线,AB是它们的公垂线(与两异面直线都垂直且相交的直线)。(1)若a,b都平行于平面,求证:AB;(2)若a,b分别垂直于平面,且,求证:ABc。【思路点拨】(1)依据直线和平面垂直的判定定理证明AB,可先证明线与线的平行。(2)由于此时垂直的关系较多,因此可以考虑利用线面垂直的性质证明ABc。证明:(1)如图(1),在内任取一点P,设直线a与点P确定的平面与平面的交线为a,设直
5、线b与点P确定的平面与平面的交线为b。a,b,aa,bb。又AB,ABb,ABa,ABb,AB。(2)如图,过B作BB,则ABBB。又ABb,AB垂直于由b和BB确定的平面。b,bc,BB,BBc。c也垂直于由BB和b确定的平面。故cAB。【总结升华】由第(2)问的证明可以看出,利用线面垂直的性质证明线与线的平行,其关键是构造平面,使所证线皆与该平面垂直。如题中,通过作出辅助线BB,构造出平面,即由相交直线b与BB确定的平面,然后借助于题目中的其他垂直关系证明。举一反三:【变式1】 设,m是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是( )A若m,m,则 B若,m,则mC若,m,则m D若,
6、m,则m【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面。例2如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点(1)证明:AECD;(2)证明:PD平面ABE 【思路点拨】(1)由PA底面ABCD,可得 CDPA,又CDAC,故CD面PAC,从而证得CDAE;(2)由等腰三角形的底边中线的性质可得AEPC,由()知CDAE,从而AE面PCD,AEPD,再由 ABPD 可得 PD面ABE。【解析】(1)证明:在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,CD平面ABCD,CDPA又CDAC,PAAC=A,C
7、D面PAC,AE面PAC,故CDAE(2)证明:由PA=AB=BC,ABC=60,可得PA=AC,E是PC的中点,AEPC,由(1)知CDAE,从而AE面PCD,故AEPD由(1)知,AECD,且PCCD=C,所以AE平面PCD而PD平面PCD,AEPDPA底面ABCD,PD在底面ABCD内的射影是AD,ABAD,ABPD又ABAE=A,PD面ABE【总结升华】直线与平面垂直的性质定理(以及补充性质)是线线、线面垂直以及线面、面面平行相互转化的桥梁,因此必须熟练掌握这些定理,并能灵活地运用它们举一反三:【变式1】如图,三角形ABCD中,ABED是边长为1的正方形,平面ABED底面ABC,若G、
8、F分别是EC、BD的中点。 (1)求证:GF底面ABC;(2)求证:AC平面EBC;(3)求几何体ADEBC的体积V。【答案】(1)(2)证明详见解析;(3)【证明】(1)证法一:取BE的中点H,连接HF、GH,(如图) G、F分别是EC和BD的中点HGBC,HFDE,又ADEB为正方形,DEAB,从而HFABHF平面ABC,HG平面ABC,HFHG=H,平面HGF平面ABCGF平面ABC证法二:取BC的中点M,AB的中点N,连接GM、FN、MN(如图) G、F分别是EC和BD的中点GMBE,且,NFDA,且,又ADEB为正方形 BEAD,BE=ADGMNF且GM=NFMNFG为平行四边形GF
9、MN,又MN平面ABC,GF平面ABC证法三:连接AE,ADEB为正方形,AEBD=F,且F是AE中点,GFAC,又AC平面ABC,GF平面ABC(2)ADEB为正方形,EBAB,GF平面ABC又平面ABED平面ABC,BE平面ABCBEAC又CA2+CB2=AB2ACBC,BCBE=B,AC平面BCE(3)连接CN,因为AC=BC,CNAB,又平面ABED平面ABC,CN平面ABC,CN平面ABED。三角形ABC是等腰直角三角形,CABED是四棱锥,类型二:平面与平面垂直的性质例3如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面。【解析】已知:,求证:。证法1:如图(左),
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