高一数学必修一函数复习.doc

函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
例1．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是(　　)
A．　B． C． D．
例2．某物体一天中的温度是时间t的函数：，时间单位是小时，温度单位为℃，表示12:00，其后的取值为正，则上午8时的温度为(　　)
A．8℃ B．112℃ C．58℃ D．18℃
例3．函数的图象与直线的交点个数有(　　)
A．必有一个 B．一个或两个 C．至多一个 D．可能两个以上

2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(5)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
例3．函数y＝＋的定义域是
A．（-1，1） B．[0，1] C．[-1，1] D．（-，-1）（1，+）
例4．函数y＝＋的定义域是(用区间表示)________．
例5.求函数y＝x＋的定义域．
例6.已知函数(1)求 (2)求(3)若,求x的值.

3. 相同函数的判断方法：（满足以下两个条件）
①定义域一致 (化简前)
②表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；
例7.下列各题中两个函数是否表示同一函数?
(1) , ( ) （2）, ( )
（3）, ( )（4）, ( )

4．值域： 先考虑其定义域
（1）图像观察法（掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等的图像，利用函数单调性）
（2）基本不等式
（3）换元法
（4）判别式法
例8.下列函数中值域是(0,+)的是
A． 　　　B． C． D．
例9.求下列函数的值域:
(1) (2) (3)

5. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)均在C上 .
(2) 画法
描点法
图象变换法：常用变换方法有三种：平移变换 伸缩变换 对称变换
例10.函数的图象经过点(1,1),则函数的图象过点

6．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．

7．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

8．分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
例11．已知f(x)＝则f(f(f(－4)))＝(　　)
A．－4 B．4 C．3 D．－3
例12. 已知函数,
(1)试比较与的大小.
(2)若,求的值.

例13. 画出下列函数的图象,并写出值域.
(1) (2) (3)

9．复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

函数的性质
1．函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间。
（2）减函数
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间。
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
（3） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。
（4）函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
任取x1，x2∈D，且x1<x2；
作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)导数法
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性相关，规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间写成其并集.
例1.函数f(x)=ax2-(5a-2)x-4在上是增函数, 则a的取值范围是______________.
例2.判断函数在在上的单调性,并用定义证明.
例3.已知函数是定义在上的增函数,且,求的取值范围.

2．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。
（2）奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)= -f(x)，那么f(x)叫做奇函数。
注：如果奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；
奇函数的图象关于原点对称．
（4）函数奇偶性判定方法：
(A)定义法
首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
求出f(-x)，与f(x)进行比较；
作结论：若f(-x) = f(x)，则f(x)是偶函数；若f(-x) = -f(x)，则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再根据定义判定。
(B)借助函数的图象判定 .
例4．判断下列函数的奇偶性
①； ②；
③； ④。

3、函数的解析表达式
（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：凑配法、待定系数法、换元法、构造法
例10. 已知,则
A．　　　 B． 　 　C．　　　 D．
例11.定义域为R的函数f(x)满足，则＝(　　)
A．－2x＋1 B．2x－ C．2x－1 D．－2x＋
例12. 已知是二次函数,,求.

4、函数最大（小）值
（1）一般的，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足
（a）对于任意的都有；
（b）存在，使得
那么称M为的最大值。
（2）求函数最值的方法
利用二次函数的性质（配方法）
利用图象求函数的最大（小）值
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
1. 当时,函数的值域为
A. B. C. D.
2. 函数在区间上的最大值和最小值分别是
A. B. C. D.
3.函数的值域是
A. B. C. D.
4. 的值域是
A. B. C. D.
5. 若,则代数式的最小值是
A. B. C.2 D.0

函数的概念
一、选择题
1．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是(　　)
A．　B． C． D．
2．某物体一天中的温度是时间t的函数：，时间单位是小时，温度单位为℃，表示12:00，其后的取值为正，则上午8时的温度为(　　)
A．8℃ B．112℃ C．58℃ D．18℃
3． 函数y＝＋的定义域是
A．（-1，1） B．[0，1] C．[-1，1] D．（-，-1）（1，+）
4．函数的图象与直线的交点个数有(　　)
A．必有一个 B．一个或两个 C．至多一个 D．可能两个以上
5．函数的定义域为R，则实数的取值范围是(　　)
A． R B． C． D．
二、填空题
6．某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数，则y＝________，其定义域为________．
7．函数y＝＋的定义域是(用区间表示)________．
三、 解答题
8.求函数y＝x＋的定义域．
9.已知函数的定义域为[0，1]，求函数的定义域(其中).
10.已知函数(1)求 (2)求(3)若,求x的值.
函数相等、函数的值域
1. 下列各题中两个函数是否表示同一函数?
(2) , ( ) （2）, ( )
（3）, ( )（4）, ( )
2. 下列函数中值域是(0,+)的是
A．　　　B． C． D．
3. 设函数,则
A．0　　　B． C． D．
4. 已知满足,且,则
5. 已知函数 (1)计算与 (2)计算与
(3)计算
6. 求下列函数的值域:
(2) (2) (3)

7. 求函数的定义域和值域.(提示:设)

函数的表示法
1.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图四个图形中较符合该学生走法的是(　　)

2. 已知,则
A．　　　 B． 　 　C．　　　 D．
3.已知函数f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(0)＝0，则f(4)的值是(　　)
A．5　　　 B．－5 　 　C．12　　　 D．20
4. 已知是一次函数,若,,则的解析式为
A．　　 B． 　C．　 D．
5．定义域为R的函数f(x)满足，则＝(　　)
A．－2x＋1 B．2x－ C．2x－1 D．－2x＋
6.若,,则的值是
A．1　　　 B．15 　 　C．4　　　D．30
7.函数的图象经过点(1,1),则函数的图象过点
8.已知是二次函数,,求.

9.若,求一次函数的解析式.

分段函数与映射
1．已知f(x)＝则f(f(f(－4)))＝(　　)
A．－4 B．4 C．3 D．－3
2已知函数,
(1)试比较与的大小.
(2)若,求的值.

3. 画出下列函数的图象,并写出值域.
(2) (2) (3)
函数的单调性
1.在区间（0，+∞）上不是增函数的是 （ ）
A.y=2x-1 B.y=3x2-1 C.y= D.y=2x2+x+1
2.设函数是（-∞，+∞）上的减函数，若a∈R, 则 （ ）
A. B. C. D.
3.函数y=4x2-mx+5在区间上是增函数，在区间上是减函数，则m=________;
4.根据图象写出函数y=f(x)的单调区间：增区间 ；减区间：
y

-3 0 -1 3 x

5.函数f(x)=ax2-(5a-2)x-4在上是增函数, 则a的取值范围是______________.
6.判断函数在在上的单调性,并用定义证明.
7.已知函数是定义在上的增函数,且,求的取值范围.
函数的最大（小）值与值域
3. 当时,函数的值域为
A. B. C. D.
4. 函数在区间上的最大值和最小值分别是
A. B. C. D.
3.函数的值域是
A. B. C. D.
6. 的值域是
A. B. C. D.
7. 若,则代数式的最小值是
A. B. C.2 D.0
8. 函数的定义域为,且在区间上递减,在区间上递增,且,则函数的最小值是 ,最大值是
9. 函数的最小值为
10. 已知函数在区间上有最大值3,最小值2,求的取值范围.

函数的奇偶性
1．下面说法正确的选项 （ ）
A．函数的单调区间可以是函数的定义域
B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间
C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称
D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象
2．函数是
A．偶函数 B．奇函数 C．既奇且偶函数 D．非奇非偶函数
3．函数，是 （ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．与有关
4．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有 （ ）
A．最大值 B．最小值 C ．没有最大值 D． 没有最小值
5．如果函数是奇函数,且,则必有
A． B． C ． D．
6．函数在R上为奇函数，且，则当， .
7．（12分）判断下列函数的奇偶性
①； ②；

③； ④。

8．（12分）已知，，求.

单元测试
1． 设集合P=,Q=,由以下列对应f中不能构成A到B的映射的是 （ ）A． B． C． D．
2．下列四个函数: (1)y=x+1; (2)y=x+1; (3)y=x2-1; (4)y=,其中定义域与值域相同的是（ ） A．(1)(2) B．(1)(2)(3) C．2)(3) D．(2)(3)(4)
3．已知函数,若,则的值为（ ）
A．10 B． -10 C．-14 D．无法确定
4．设函数，则的值为（ ）
A．a B．b C．a、b中较小的数 D．a、b中较大的数
5．已知函数y=x2-2x+3在[0,a](a>0)上最大值是3,最小值是2,则实数a的取值范围是（ ）
A．0<a<1 B．0<a2 C．a2 D． 0a2
6．函数是R上的偶函数，且在（-∞，上是减函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
　　A．a≤2　　　 　B．a≤-2或a≥2 C．a≥-2　　　　　D．-2≤a≤2
7．奇函数的定义域为，且对任意正实数，恒有，则 A． B． C． D．
8．已知函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x0时，f(x)=x2-2x,则f(x)在时的解析式是（ ）
A． f(x)=x2-2x B． f(x)=x2+2x C． f(x)= -x2+2x D． f(x)= -x2-2x
9．已知二次函数y=f(x)的图象对称轴是,它在[a,b]上的值域是 [f(b),f(a)],则（ ）
A． B． C． D．
10．如果奇函数y=f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，则在区间[-7,-3]上（ ）
A．增函数且有最小值-5　 B． 增函数且有最大值-5
C．减函数且有最小值-5 D．减函数且有最大值-5
13．已知函数，则　　　　　　　　．
14． 设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)，则g(x)= ．
15．定义域为上的函数f(x)是奇函数，则a= ．
16．设，则 　 　．
17．作出函数的图象，并利用图象回答下列问题：
(1)函数在R上的单调区间； (2)函数在[0,4]上的值域．
18．定义在R上的函数f(x)满足：如果对任意x1，x2∈R，都有f()≤［f(x1)+f(x2)］，则称函数f(x)是R上的凹函数.已知函数f(x)＝ax2+x(a∈R且a≠0)，求证：当a＞0时，函数f(x)是凹函数；
19．定义在(－1，1)上的函数f(x)满足：对任意x、y∈(－1，1)都有f(x)+f(y)=f()．
(1)求证： f(x)是奇函数；(2)当x∈(－1，0)时，有f(x)＞0，求证：f(x)在(－1，1)上是单调递减函数；
20．函数f(x)定义域D，若存在x0∈D，使f(x0)=x0成立，则称 (x0，y0)是函数f(x)的图象上的“稳定点”．
(1)若函数f(x)=的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，试求实数a的取值范围；
(2)已知定义在实数集R上的奇函数f(x)存在有限个“稳定点”，求证：f(x)必有奇数个“稳定点”．
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