高三数学第二轮专题复习系列(1)--集合与简易逻辑.doc

高三数学第二轮专题复习系列(1)-- 集合与简易逻辑
一、【重点知识结构】
集合
集合的基本概念
集合与集合的关系
集合的应用
集合及元素
集合分类及表示
子集、包含与相等
交集、并集、补集
解含绝对值符号、一元二次、简单分式不等式

简易逻辑性
命题
逻辑联结词
简单命题与复合命题
四种命题及其关系
充分必要条件

二、【高考要求】
1. 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的述语和符号，能正确地表示一些较简单的集合.
2. 理解|ax+b|<c,|ax+b|>c(c>0)型不等式的概念，并掌握它们的解法.了解二次函数、一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系，掌握一元二次不等式及简单分式不等式的解法.
3. 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义和判定.
4. 学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力.
三、【高考热点分析】
集合与简易逻辑是高中数学的重要基础知识，是高考的必考内容.本章知识的高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用、判断命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.
四、【高考复习建议】
概念多是本章内容的一大特点，一是要抓好基本概念的过关，一些重点知识（如子、交、并、补集及充要条件等）要深刻理解和掌握；二是各种数学思想和数学方法在本章题型中都有较好体现，特别是数形结合思想，要善于运用韦氏图、数轴、函数图象帮助分析和理解集合问题.
五、【例　　题】
【例1】 设，求集合A与B之间的关系。
解：由，得A=

∴A=B
【例2】 已知集合A=，集合B=，若BA，求实数p的取值范围。
解：若B=Φ时，
若B≠Φ时，则
综上得知：时，BA。

【例3】 已知集合，集合B=。如果，
试求实数a的值。
解：注意集合A、B的几何意义，先看集合B；
当a=1时，B=Φ，A∩B=Φ
当a=－1时，集合B为直线y=－15，A∩B=Φ
当a≠±1时，集合A：，，只有才满足条件。
故；解得：a=－5或a=
∴a=1或a=或a=－1或a=－5。
【例4】 若集合A=，B=，且，求实数x。
解：由题设知，∴，故或
即或或，但当时，不满足集合A的条件。
∴实数x的值为或。
【例5】 已知集合A=，B=，若，求实数m的值。
解：不难求出A=，由，又，
①若，即，则
②若，即，，
∴
故由①②知：m的取值范围是
注：不要忽略空集是任何集合的子集。
【例6】 已知集合A={}，B=，C=，
若与同时成立，求实数a的值。
解：易求得B=，C=，由知A与B的交集为非空集。
故2，3两数中至少有一适合方程
又，∴，即得，a=5或a=－2
当a=5时，A=，于是，故a=5舍去。
当a=－2时，A=，于是，∴a=－2。

【例7】 ，，A∪B=A，求a的取值构成的集合。
解：∵A∪B=A，∴，当时，∴-4<a<4，
，当1∈B时，将x=1代入B中方程得a=4，此时B={1}，当2∈B时，将x=2代入B中方程得a=5，此时，a=5舍去，∴-4<a≤4。
【例8】 已知，且A∪B=A，求实数a组成的集合C。
解：由A={1，2}，由A∪B=A，即，只需a×1-2=0，a=2或a×2-2=0，a=1。
另外显然有当a=0时， 也符合。所以C={0，1，2}。
【例9】 某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：
（1）只乘电车的人数；（2）不乘电车的人数；（3）乘车的人数；
（4）不乘车的人数；（5）只乘一种车的人数。
解：本题是已知全集中元素的个数，求各部分元素的个数，可用图解法。设只乘电车的人数为x人，不乘电车的人数为y人，乘车的人数为z人，不乘车的人数为u人，只乘一种车的人数为v人
如图所示（1）x=66人，（2）y=36人，（3）z=98人，（4）u=22人，（5）v=80人。
【例10】 （2004届湖北省黄冈中学高三数学综合训练题）已知M是关于的不等式的解集，且M中的一个元素是0，求实数的取值范围，并用表示出该不等式的解集.
解：原不等式即，
由适合不等式故得，所以，或.
若，则，∴，
此时不等式的解集是；
若，由，∴，
此时不等式的解集是.
【例11】 （2004届杭州二中高三数学综合测试题）已知，设命题，命题.试寻求使得都是真命题的的集合.
解：设，
依题意，求使得都是真命题的的集合即是求集合，
∵
∴若时，则有，
而，所以，
即当时使都是真命题的；
当时易得使都是真命题的；
若，则有，
此时使得都是真命题的．
综合略.
【例12】 （2004届湖北省黄冈中学综合测试题）已知条件和条件，请选取适当的实数的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.
分析：本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的，也能先猜后证，所找到的实数只需满足，且1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研究性学习的教学方向.
解：已知条件即，或，∴，或，
已知条件即，∴，或；
令，则即，或，此时必有成立，反之不然.
故可以选取的一个实数是，A为，B为，对应的命题是若则，
由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.
【例13】 已知；¬是¬的必要不充分条件，求实数的取值范围.
解：由得，
由，得，
∴¬即，或，而¬即，或；
由¬是¬的必要不充分条件，知¬¬，
设A=，B=，
则有A，故且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，
解得，此即为“¬是¬的必要不充分条件”时实数的取值范围.
【例14】 （2004届全国大联考高三第四次联考试题）已知函数，其中.
（1）判断函数的增减性；
（2）（文）若命题为真命题，求实数的取值范围.
（2）（理）若命题为真命题，求实数的取值范围.
解：（1）∵，∴，
即，∴函数是增函数；
（2）（文）即，必有，
当，，不等式化为，
∴，这显然成立，此时；
当时，，不等式化为，
∴，故，此时；
综上所述知，使命题为真命题的的取值范围是.
（2）（理）即，必有，
当时，，不等式化为，
∴，故，∴，此时；
当时，，不等式化为，
∴，这显然成立，此时；
当时，，不等式化为，
∴，故，此时；
综上所述知，使命题为真命题的的取值范围是.
六、【专题练习】
一、选择题
1．已知I为全集，集合M、NÌI，若MÈN=M，则有：（D）
A．MÍ() B．MÊ() C． D．
2．若非空集合A、B适合关系AÌB，I是全集，下列集合为空集的是：（D）
A． B． C． D．
3．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={0，2，4，8}，那么A∩B子集的个数是：（C）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
4．满足｛a｝X｛a,b,c｝的集合X的个数有 （ B ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
5．已知集合I、P、Q适合I=PQ=｛1，2，3，4，5｝，PQ=｛1，2｝则（PQ）（）
为（ C ）
（A）｛1，2，3｝ （B）｛2，3，4｝ （C）｛3，4，5｝ （D）｛1，4，5｝
6．已知I为全集·集合M，N是I的子集MN=N，则 （ B ）
（A） （B） （C）M() （D）M()
7．设P=｛x| x≥-2｝,Q=｛x | x≥3｝，则PQ等于 （ D ）
（A）Æ （B）R （C）P （D）Q
8．设集合E=｛n|n=2k , kZ｝，F=｛n|n=4k , kZ｝，则E、F的关系是 （ B ）
（A）EF （B）EF （C）E=F （D）EF=Æ
9．已知集合M=，N={ x || x -1|≤2}，则MN等于 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
10．已知集合I=R，集合M={ x | x =，nN}，P={ x | x =，nN}，则M与P的关系是 （ B ）
（A）MP=Æ （B）P=Æ （C）M=Æ （D）=Æ
11．已知集合A={y|y=, x R},B={y|y= x R},则AB等于 （ C ）
（A）{2，4} （B）{（2，4），（4，16）}
（C）{ y|y ≥0} （D）{ x| x<0}
12．设全集I=R，集合P=，集合Q={ x | x+4>0}，则 （ D ）
（A）PQ=Æ （B）PQ=R
（C）Q= （D）={-4}
二、解答题
1、设A=，B=；若AB，求实数a的取值范围。
解：由图象法解得：
当a>0时，；
当a≤0时，
∴要使得AB，必须且只须，解得

2、已知A=，B=。若AB，求实数a的取值范围。
解：易得，由得
⑴当3a+1>2，即时，
要使AB，必须，
⑵当3a+1=2，即时，；要使AB，a=1
当3a+1<2，即时，
⑶要使AB，必须
综上知：或
3、已知集合A=，B=，且，求实数
m的值。
解：，，由得：
4、已知集合A=，B=；若
，求实数a的取值范围。
解：B=，由得：
因为，所以A=。
由得： 或
所以
5、已知集合，同时满足
①，②，其中p、q均为不等于零的实数，求p、q的值。
解：条件①是说集合A、B有相同的元素，条件②是说-2∈A但，A、B是两个方程的解集，方程和的根的关系的确定是该题的突破口。
设，则，否则将有q=0与题设矛盾。于是由，两边同除以，得，
知，故集合A、B中的元素互为倒数。
由①知存在，使得，且，得或。
由②知A={1，-2}或A={-1，-2}。
若A={1，-2}，则，
有
同理，若A={-1，-2}，则，得p=3，q=2。
综上，p=1，q=-2或p=3，q=2。

6、已知关于x的不等式，的解集依次为A、B，且。求实数a的取值范围。
解：，B={x|（x-2）[x-（3a+1）]≤0}
∵
①当3a+1≥2时，B={x|2≤x≤3a+1}
∴3a+1<2a或，∴
②当3a+1<2时，B={x|3a+1≤x≤2}
∴2a>2或，∴
7、已知集合，若，且，求实数a。
解：∵A∪B=A，∴。
∵A={1，2}，∴或B={1}或B={2}或B={1，2}。
若，则由△<0知，不存在实数a使原方程有解；
若B={1}，则由△=0得，a=2，此时1是方程的根；
若B={2}，则由△=0得，a=2，此时2不是方程的根，
∴不存在实数a使原方程有解；
若B={1，2}，则由△>0，得a∈R，且a≠2，
此时将x=1代入方程得a∈R，将x=2代入方程得a=3。
综上所述，实数a的值为2或3。