2020-2021学年高中数学-第三章-三角恒等变换单元素养评价新人教A版必修4.doc

2020-2021学年高中数学 第三章 三角恒等变换单元素养评价新人教A版必修4

2020-2021学年高中数学 第三章 三角恒等变换单元素养评价新人教A版必修4

年级：
姓名：

单元素养评价(三)
(第三章)
(120分钟　150分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.函数y=2cos2+1的最小正周期是 (　　)
A.4π　 B.2π　 C.π　 D.
【解析】选B.因为y=2cos2+1=+2=cos x+2,所以函数的最小正周期T=2π.
2.(2020·长春高一检测)已知sin α=,cos α=,则tan等于 (　　)
A.2- B.2+
C.-2 　 D.±(-2)
【解析】选C.因为sin α=,cos α=,
所以tan ===-2.
3.若3sin x-cos x=2sin(x+φ),φ∈(-π,π),则φ等于 (　　)
A.- B. C. D.-
【解析】选A.3sin x-cos x=2
=2sin.又φ∈(-π,π),所以φ=-.
4.(2020·绍兴高一检测)已知角α的顶点在坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合,将α的终边按顺时针方向旋转后经过点(3,4),则tan α= (　　)
A.-7 B.- C. D.7
【解析】选A.根据题意tan=,
tan==,所以tan α=-7.
5.(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选B.令f(x)=2sin x-sin 2x
=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0,
则sin x=0或cos x=1,
又x∈[0,2π],
所以x=0,π,2π,共三个零点.
6.若α∈(0,π),且cos α+sin α=-,则cos 2α= (　　)
A. B.- C.- D.
【解析】选A.因为cos α+sin α=-,α∈(0,π),
所以sin 2α=-,cos α<0,且α∈,
所以2α∈,所以cos 2α==.
7.= (　　)
A. B.- C.-1 D.1
【解析】选B.原式==-
=-=-=-.
8.(2020·珠海高一检测)在△ABC中,已知tan=sin C,则△ABC的形状为 (　　)
A.正三角形　　　 B.等腰三角形
C.直角三角形　　 D.等腰直角三角形
【解析】选C.在△ABC中,tan=sin C
=sin(A+B)=2sincos,所以2cos2=1,所以cos(A+B)=0,从而A+B=,即△ABC为直角三角形.
9.已知0<β<α<,点P(1,4)为角α的终边上一点,且sin αsin+
cos αcos=,则角β= (　　)
A. B.　 C.　 D.
【解析】选D.因为P(1,4),所以|OP|=7(O为坐标原点),
所以sin α=,cos α=.又sin αcos β-cos αsin β=,所以sin(α-β)=.因为0<β<α<,所以0<α-β<,
所以cos(α-β)=,所以sin β=sin[α-(α-β)]
=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)
=×-×=.因为0<β<,所以β=.
10.已知0<α<<β<π,又sin α=,cos(α+β)=-,则sin β等于(　　)
A.0 B.0或 C. D.±
【解析】选C.因为0<α<<β<π且sin α=,cos(α+β)=-,所以cos α=,<α+β<π,所以sin(α+β)=±,当sin(α+β)=时,sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×-×=;
当sin(α+β)=-时,sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sin α=-×-×=0.
又β∈,所以sin β>0,故sin β=.
11.(2020·广州高一检测)已知函数f(x)=sin,若方程f(x)=的解为x1,x2(0<x1<x2<π),则sin(x1-x2)= (　　)
A.- B.- C.- D.-
【解题指南】由已知可得x2=-x1,结合x1<x2求出x1的范围,再由sin(x1-x2)=sin=-cos求解即可.
【解析】选D.因为方程f(x)=的解为x1,x2(0<x1<x2<π),所以=,所以x2=-x1,所以sin(x1-x2)=sin=-cos.
因为x1<x2,x2=-x1,
所以0<x1<,所以2x1-∈,
所以由f(x1)=sin=,
得cos=,所以sin(x1-x2)=-.
12.已知不等式f(x)=3sincos+cos2--m≤0对于任意的-≤x≤恒成立,则实数m的取值范围是 (　　)
A.m≥ B.m≤
C.m≤- D.-≤m≤
【解析】选A.f(x)=3sincos+cos2--m=sin+cos-m,
=sin-m≤0,
所以m≥sin,
因为-≤x≤,所以-≤+≤,
所以-≤sin≤,所以m≥.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.若函数f(x)=sin 2x+2cos2x+m在区间上的最大值为6,则m=　　　　. 
【解析】f(x)=sin 2x+2cos2x+m=sin 2x+1+cos 2x+m=2sin+m+1,因为0≤x≤,所以≤2x+≤.所以当2x+=,即x=时,f(x)max=2+m+1=6,所以m=3.
答案:3
14.tan+tan+tan·tan+θ的值是　　　　. 
【解析】因为tan=tan
==,
所以=tan+tan+
tan-θtan.
答案:
15.(2020·临汾高一检测)若sin α+2cos α=-(0<α<π),则cos=　　　　. 
【解析】由sin α+2cos α=-(0<α<π)可知,α为钝角,又sin2α+cos2α=1,可得sin α=,cos α=-,所以sin 2α=2sin αcos α=-,
cos 2α=cos2α-sin2α=-,
所以cos=cos 2αcos -sin 2αsin=.
答案:
16.关于函数f(x)=cos+cos,则下列命题:
①y=f(x)的最大值为;
②y=f(x)的最小正周期是π;
③y=f(x)在区间上是减函数;
④将函数y=cos 2x的图象向右平移个单位后,将与已知函数的图象重合.
其中正确命题的序号是　　　　. 
【解析】f(x)=cos+cos=cos+sin
=cos-sin=

=cos=cos,
所以y=f(x)的最大值为,最小正周期为π,故①、②正确.
又当x∈时,2x-∈[0,π],
所以y=f(x)在上是减函数,故③正确.
由④得y=cos 2=cos,故④正确.
答案:①②③④
三、解答题(共70分)
17.(10分)(1)求值:.
(2)已知sin θ+2cos θ=0,求的值.
【解析】(1)原式=
===2+.
(2)由sin θ+2cos θ=0,得sin θ=-2cos θ,
又cos θ≠0,则tan θ=-2,
所以=
===.
18.(12分)已知sinsin=,且α∈,求tan 4α的值.
【解析】因为sin=sin
=cos,则已知条件可化为
sincos=,
即sin=,
所以sin=,所以cos 2α=.
因为α∈,所以2α∈(π,2π),
从而sin 2α=-=-,
所以tan 2α==-2,
故tan 4α==-=.
19.(12分)(2020·晋中高一检测)设向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈.
(1)若|a|=|b|,求x的值.
(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.
【解析】(1)由|a|2=(sin x)2+(sin x)2=4sin2x,
|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1及|a|=|b|,得4sin2x=1.
又x∈,从而sin x=,所以x=.
(2)f(x)=a·b=sin x·cos x+sin2x
=sin 2x-cos 2x+
=sin+,又x∈,
所以当x=时,sin取得最大值为1,所以f(x)的最大值为.
20.(12分)已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-.
(1)若0<α<,且sin α=,求f(α)的值.
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
【解析】方法一:(1)因为0<α<,sin α=,
所以cos α=.所以f(α)=×-=.
(2)因为f(x)=sin xcos x+cos2x-
=sin 2x+-
=sin 2x+cos 2x=sin,所以T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
方法二:f(x)=sin xcos x+cos2x-
=sin 2x+-
=sin 2x+cos 2x=sin.
(1)因为0<α<,sin α=,所以α=.
从而f(α)=sin=sin =.
(2)T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
21. (12分)如图所示,已知α的终边所在直线上的一点P的坐标为(-3,4),β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q的纵坐标为.

(1)求tan(2α-β)的值.
(2)若<α<π,0<β<,求α+β.
【解析】(1)由三角函数的定义知tan α=-,
所以tan 2α==.又由三角函数线知sin β=.因为β为第一象限角,所以tan β=,所以tan(2α-β)==.
(2)因为cos α=-,<α<π,0<β<,所以<α+β<.因为sin(α+β)=
sin αcos β+cos αsin β=×-×=.又因为<α+β<,
所以α+β=.
22.(12分)如图,四边形ABCD是边长为10的正方形,以点A为圆心,9为半径画弧,分别交AB、AD于点E,
F,P为上一动点,过点P分别作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分别为M,N,求矩形PMCN的面积的最小值.

【解析】

连接PA,设∠PAE=θ
,如图所示.
设矩形PMCN的面积为S,延长NP交AB于点H,
则PM=HB=AB-AH=10-9cos θ,
PN=HN-HP=10-9sin θ.
所以S=PM·PN
=(10-9cos θ)(10-9sin θ)
=100-90sin θ-90cos θ+81sin θcos θ.
设sin θ+cos θ=t.
则S=100-90t+(t2-1)=t2-90t+
=+.
因为θ∈,
所以t=sin θ+cos θ=sin∈[1,],
所以当t=时,Smin=,
故矩形PMCN的面积的最小值为.