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(完整word)反比例函数综合复习讲义
反比例函数
知识整理
1、反比例函数的概念
一般地，函数(k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0,所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质
当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小.
当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，随x 的增大而增大。
4、反比例函数解析式的确定
确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN,则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。
。

考点一、反比例函数的性质
【例1】已知反比例函数，当1〈x<2时，y的取值范围是 （ ）
（A）0〈y<5 (B）1〈y<2 （C)5<y<10 （D）y>10
【举一反三】
1、已知y是x的反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式　　
2、已知一次函数y1=kx+b(k<O）与反比例函数y2=(m≠O)的图象相交于A、B两点，其横坐标分别是－1和3,当y1〉y2时，实数x的取值范围是（ ）
A．x〈－l或O〈x<3 B．一1<x<O或O〈x〈3 C．一1〈x〈O或x〉3 D．O<x<3
3、函数y=mx+n与，其中m≠0，n≠0，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（ ）

A B C D
考点典例二、反比例函数图象上点的坐标特征
【例2】（2015自贡）若点（，），(，）,(,），都是反比例函数图象上的点，并且，则下列各式中正确的是( )
A． B． C． D．
【举一反三】
1、若点A(1，y1)和点B（2，y2）在反比例函数图象上，则y1与y2的大小关系是：
y1 y2(填“＞”、“＜”或“=”）．
2、如图,过点C(1,2）分别作x轴、y轴的平行线,交直线y=－x+6于A、B两点，若反比例函数（x＞0)的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是（ )
A．2≤k≤9 B. 2≤k≤8 C。 2≤k≤5 D。 5≤k≤8
3、如图，P是函数（x〉0）的图象上的一点,直线分别交x轴、y轴于点A、B，过点P分别作PM⊥x轴于点M，交AB于点E，作PN⊥y轴于点N，交AB于点F,则AF·BE的值为 。
考点典例三、反比例函数图象上点的坐标与方程的关系
【例3】已知函数的图象在第一象限的一支曲线上有一点A(a，c），点B（b，c＋1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0的两根x1，x2判断正确的是【 】
A．x1 ＋ x2 〉1，x1·x2 > 0 B．x1 ＋ x2 〈 0，x1·x2 > 0
C．0 〈 x1 ＋ x2 < 1，x1·x2 > 0 D．x1 ＋ x2与x1·x2 的符号都不确定
【举一反三】
1、（2015·湖南常德)已知A(1，）是反比例函数图象上的一点，直线AC经过点A及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点C,求C的坐标及反比例函数的解析式。

2、如图，若双曲线与边长为5的等边△AOB的边OA,AB分别相交于C，D两点，且OC=3BD，则实数k的值为 ．

3、如图，直线交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E,过点P作y轴的垂线，垂足为点N,交AB于点F.则（ )
A．8 B．6 C．4 D．

第3题图 第4题图 第5题图
4、如上图中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点B，若取1,2，3,…,20，对应的Rt△AOB的面积分别为,，…，，则＋＋…＋= ；
5、两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示,点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A,PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等； ②四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等； ④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．
其中一定正确的是 。
考点典例四、反比例函数与一次函数的交点问题
【例4】如图，一次函数y1=k1x+b的图象和反比例函数y2=的图象交于A（1,2），B（﹣2，﹣1）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（　　）

　 A．x＜1 B．x＜﹣2 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
【举一反三】
1、如图，在平面直角坐标系中,A（－3，1）,以点O为直角顶点作等腰直角三角形AOB，双曲线在第一象限内的图象经过点B，设直线AB的解析式为，当时，的取值范围是（ ）。
A． B．或 C．　 D．或

2、已知反比例函数与一次函数，其中一次函数的图象经过（a，b）、（a+1,b+k)两点。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，已知A点是上述两函数图象在第一象限内的交点，求A点的坐标；
（3）利用(2）的结果,在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请把所有符合条件的P点坐标都求出来；若不存在,请说明理由.

3、如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4,n）在边AB上,反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．
（1）求反比例函数的解析式和n的值；
（2)若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．

考点典例五、反比例函数的图象和k的几何意义
【例5】（2015凉山州）以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线经过点D,则正方形ABCD的面积是（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13
【举一反三】
1、如图，A．B是双曲线上的两点,过A点作AC⊥x轴,交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点,则k的值为（ ）
A． B． C．3 D．4

2、如图,正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数的图象上．若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记剩余部分的面积为S．则当S=m(m为常数，且0<m<4)时,则点R的坐标是 。（用含m的代数式表示）
3、如图,若点M是x轴正半轴上的任意一点，过点M作PQ∥y轴,分
别交函数（x＞0）和（x＞0）的图象于点P和Q，连接OP、
OQ,则下列结论正确的是( ）
A.∠POQ不可能等于900 B。
C.这两个函数的图象一定关于x轴对称 D. △POQ的面积是

G
4、如图,点A(x1，y1）、B（x2，y2）都在双曲线上，且，；分别过点A、B向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F,AC与BF相交于G点，四边形FOCG的面积为2,五边形AEODB的面积为14,那么双曲线的解析式为 ．
课后练习
一、选择题
1。 已知反比例函数的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2,y2），若y1＞y2，则x1﹣x2的值是（　　）
　 A． 正数 B． 负数 C． 非正数 D． 不能确定
2。 (2015.河北省,第10题，3分)一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册）与它的使用时间x(年）成反比例关系,当x＝2时,y＝20。则y与x的函数图象大致是（ ）
A。　　B。C.　　　　D.
3.．(2015·湖北武汉，9题，3分）在反比例函数图象上有两点A(，)、B（，），＜0＜，＜，则m的取值范围是（ ）
A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤
4.(2015·黑龙江绥化)如图，反比例函数y=(x＜0)的图象经过点P ,则k的值为（ ）
A。 －6 B. －5 C。 6 D。 5

5．（2015。宁夏，第8题,3分）函数与（）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）

6.（2015·辽宁葫芦岛）(3分）如图,一次函数与反比例函数(）的图象交于点A，与y轴交于点M，与x轴交于点N，且AM：MN=1：2，则k= ．

7。（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）如图，点A是反比例函数图象上一点,过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为 ．

8。（2015。山东临沂第14题，3分）在平面直角坐标系中，直线y =－x＋2与反比例函数的图象有唯一公共点. 若直线与反比例函数的图象有2个公共点，则b的取值范围是( ）

(A) b﹥2. (B） －2﹤b﹤2。 （C) b﹥2或b﹤－2. （D) b﹤－2。
二、填空题
9。已知双曲线经过点（﹣2，1），则k的值等于 ▲ ．
10。（2015。河南省，第11题，3分）如图，直线y=kx与双曲线交于点A（1，a）,则k= 。

11． (2015.陕西省，第13题,3分)如图，在平面直角坐标系中,过点M（—3，2）分别作轴、轴的垂线与反比例函数的图象交于A、B两点，则四边形MAOB的面积为______________.

12。(2015.山东济南，第20题，3分）如图,等边三角形AOB的顶点A的坐标为（﹣4,0），顶点B在反比例函数（x＜0）的图象上，则k= ．

13。(2015.山东日照,第16题,4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数y=(k≠0，x＞0）的图象过点B，E．若AB=2,则k的值为　　．

三、解答题
14.如图，在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C,与反比例函数在第一象限内的图象交于点B(m，n)，连结OB．若S△AOB=6，S△BOC=2．
(1)求一次函数的表达式；
（2）求反比例函数的表达式．

15。(2015·辽宁大连）如图,在平面坐标系中，∠AOB=90°，AB∥x轴，OB=2，双曲线y=经过点B。将△AOB绕点B逆时针旋转,使点O的对应点D落在X轴的正半轴上.若AB的对应线段CB恰好经过点O.
（1） 点B的坐标和双曲线的解析式.
（2） 判断点C是否在双曲线上，并说明理由.

16.（2015·辽宁沈阳)如图,已知一次函数与反比例函数的图象相交于点A（4，n）,与x轴相交于点B．
（1）填空:n的值为 ,k的值为 ；
（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标;
（3）考察反比函数的图象，当时，请直接写出自变量x的取值范围．

17。（2015·湖北衡阳，25题，分)(本小题满分8分）
某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物深度（微克/毫升）与服药时间小时之间的函数关系如图所示（当时,与成反比）．
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段与之间的函数关系式;
(2)问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？

8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。
9、障碍与失败，是通往成功最稳靠的踏脚石,肯研究、利用它们,便能从失败中培养出成功.
10、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。