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--弹性力学与有限元分析试题及参考答案.doc
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1、弹性力学与有限元分析试题及参考答案四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。(1),;(2),;其中,A,B,C,D,E,F为常数。解:应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件:(1)在区域内的平衡微分方程;(2)在区域内的相容方程;(3)在边界上的应力边界条件;(4)对于多连体的位移单值条件。(1)此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程,必须A=-F,D=-E。此外还应满足应力边界条件。(2)为了满足相容方程,其系数必须满足A+B=0;为了满足平衡微分方程,其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的,
2、因此,此组应力分量不可能存在。2、已知应力分量,体力不计,Q为常数。试利用平衡微分方程求系数C1,C2,C3。解:将所给应力分量代入平衡微分方程得即由x,y的任意性,得由此解得,3、已知应力分量,判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。解:将已知应力分量,代入平衡微分方程可知,已知应力分量,一般不满足平衡微分方程,只有体力忽略不计时才满足。按应力求解平面应力问题的相容方程:将已知应力分量,代入上式,可知满足相容方程。按应力求解平面应变问题的相容方程:将已知应力分量,代入上式,可知满足相容方程。4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。(1),;
3、(2),;(3),;其中,A,B,C,D为常数。解:应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件,即将以上应变分量代入上面的形变协调方程,可知:(1)相容。(2)(1分);这组应力分量若存在,则须满足:B=0,2A=C。(3)0=C;这组应力分量若存在,则须满足:C=0,则,(1分)。5、证明应力函数能满足相容方程,并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计,)。l/2l/2h/2h/2yxO解:将应力函数代入相容方程可知,所给应力函数能满足相容方程。由于不计体力,对应的应力分量为,对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件,上下左右四个边上的面力分别为:上边,;
4、下边,;左边,;右边,。可见,上下两边没有面力,而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此,应力函数能解决矩形板在x方向受均布拉力(b0)和均布压力(b0)的问题。6、证明应力函数能满足相容方程,并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计,)。l/2l/2h/2h/2yxO解:将应力函数代入相容方程可知,所给应力函数能满足相容方程。由于不计体力,对应的应力分量为,对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件,上下左右四个边上的面力分别为:上边,;下边,;左边,;右边,。可见,在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a,而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力
5、a。因此,应力函数能解决矩形板受均布剪力的问题。7、如图所示的矩形截面的长坚柱,密度为,在一边侧面上受均布剪力,试求应力分量。Oxybqrg 解:根据结构的特点和受力情况,可以假定纵向纤维互不挤压,即设。由此可知 将上式对y积分两次,可得如下应力函数表达式 将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得2.3 直角三角形固定在刚性基础上,受齐顶的水压力和自重作用,如图2.14所示。若按一个单元计算,水的容重,三角形平面构件容重,取泊松比=1/6,试求顶点位移和固定面上的反力。解:按逆时针编码,局部编码与整体编码相同:1-2-3建立坐标(1) 求形函数矩阵: 图(2.14)形函数: 所以: 形函数的
6、矩阵为:(2) 刚度矩阵 可得: (3)位移列向量和右端项 由边界条件可确定: 水压力和构件厚分别为: 自重为W与支座反力: 所以:由得到下列矩阵方程组:化简得:可得:将代入下式:固定面上的反力:从而可得支座反力为:这是y的线性方程,但相容方程要求它有无数多的解(全柱内的y值都应该满足它),可见它的系数和自由项都应该等于零,即, 这两个方程要求, 代入应力函数表达式,并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后,便得对应应力分量为 以上常数可以根据边界条件确定。左边,沿y方向无面力,所以有右边,沿y方向的面力为q,所以有上边,没有水平面力,这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零,即将的表达
7、式代入,并考虑到C=0,则有而自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力,这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零,即, 将的表达式代入,则有由此可得,应力分量为, , 虽然上述结果并不严格满足上端面处(y=0)的边界条件,但按照圣维南原理,在稍远离y=0处这一结果应是适用的。8、证明:如果体力分量虽然不是常量,但却是有势的力,即体力分量可以表示为,其中V是势函数,则应力分量亦可用应力函数表示为,试导出相应的相容方程。证明:在体力为有势力的情况下,按应力求解应力边界问题时,应力分量,应当满足平衡微分方程(1分)还应满足相容方程(对于平面应力问题)(对于平面应变问题)并在边界上满足应力边界
8、条件(1分)。对于多连体,有时还必须考虑位移单值条件。首先考察平衡微分方程。将其改写为这是一个齐次微分方程组。为了求得通解,将其中第一个方程改写为根据微分方程理论,一定存在某一函数A(x,y),使得,同样,将第二个方程改写为(1分)可见也一定存在某一函数B(x,y),使得,由此得因而又一定存在某一函数,使得,代入以上各式,得应力分量,为了使上述应力分量能同量满足相容方程,应力函数必须满足一定的方程,将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程,得简写为将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程,得简写为9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用,而梁的密度为,试用纯三次的应力函数求解。Oxyarg解:纯三
9、次的应力函数为相应的应力分量表达式为, , 这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察,如果适当选择各个系数,是否能满足应力边界条件。上边,没有水平面力,所以有对上端面的任意x值都应成立,可见同时,该边界上没有竖直面力,所以有对上端面的任意x值都应成立,可见因此,应力分量可以简化为,斜面,没有面力,所以有由第一个方程,得对斜面的任意x值都应成立,这就要求由第二个方程,得对斜面的任意x值都应成立,这就要求(1分)由此解得(1分),从而应力分量为, , 设三角形悬臂梁的长为l,高为h,则。根据力的平衡,固定端对梁的约束反力沿x方向的分量为0,沿y方向的分量为。因此,所求在这部分边界上合
10、成的主矢应为零,应当合成为反力。可见,所求应力分量满足梁固定端的边界条件。10、设有楔形体如图所示,左面铅直,右面与铅直面成角,下端作为无限长,承受重力及液体压力,楔形体的密度为,液体的密度为,试求应力分量。r2gr1gayxO解:采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意一点,每一个应力分量都将由两部分组成:一部分由重力引起,应当与成正比(g是重力加速度);另一部分由液体压力引起,应当与成正比。此外,每一部分还与,x,y有关。由于应力的量纲是L-1MT-2,和的量纲是L-2MT-2,是量纲一的量,而x和y的量纲是L,因此,如果应力分量具有多项
11、式的解答,那么它们的表达式只可能是,四项的组合,而其中的A,B,C,D是量纲一的量,只与有关。这就是说,各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。其次,由应力函数与应力分量的关系式可知,应力函数比应力分量的长度量纲高二次,应该是x和y纯三次式,因此,假设相应的应力分量表达式为, , 这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察,如果适当选择各个系数,是否能满足应力边界条件。左面,作用有水平面力,所以有对左面的任意y值都应成立,可见同时,该边界上没有竖直面力,所以有对左面的任意y值都应成立,可见因此,应力分量可以简化为,斜面,没有面力,所以有由第一个方程,得对斜面的任意y值都应成立,
12、这就要求由第二个方程,得对斜面的任意x值都应成立,这就要求由此解得,从而应力分量为 , , 位移边界条件 对称、固定边和简支边上支点的已知位移条件如下: 对称轴: 法线转角=0 固定边: 挠度=0 (或已知值) 边线转角=0 (或已知值) 法线转角=0 (或已知值) 简支边: 挠度=0 (或已知值) 边线转角=0 (或已知值) 计算图示四边固定方板 方板的边长为l,厚度为t,弹性模型量为E,波松比=0.3,全板承受均布法向荷载,求薄板中的挠度和内力。 单元划分: 为了说明解题方法,采用最简单的网络22,即把方板分成四个矩形单元。由于对称性,只需计算一个单元,例如,计算图中有阴影的单元,单元的节
13、点编号为,。 此时,单元的a, b是 计算节点荷载: 由前面的均布荷载计算公式得:边界条件: 边界23和34为固定边,因此节点2, 3, 4的挠度、边线和法线转角均为零。边界12和14为对称轴,因此x1 =0、y1 =0。于是,在4个节点和12个位移分量中,只有一个待求的未知量 。结构的代数方程组: 这是一个单元的计算题目,单元刚度矩阵在此处即为总刚度矩阵。引入支承条件后,在总刚度矩阵中只取第一行、列元素,在方程组右端项中只保留第一个元素。于是结构的代数方程为:同此解出 。其中 内力: 利用式(4-2-6)可求得方板中点力矩为: 由表看出,网格越密,计算结果越接近于精确答案。还可看出,位移的精
14、度一般比内力的精度高,这是因为在位移法中,位移是由基本方程直接求出的,而内力则是根据位移间接求出的。第三章 平面问题有限单元法习题答案3-2图示等腰直角三角形单元,设=1/4,记杨氏弹性模量E,厚度为t,求形函数矩阵N、应变矩阵B、应力矩阵S与单元刚度矩阵Ke。【解】: 3-3正方形薄板,受力与约束如图所示,划分为两个三角形单元,=1/4,板厚为t,求各节点位移与应力。【解】:载荷向量: 3-4三角形单元i,j,m的j,m边作用有如图所示线形分布面载荷,求结点载荷向量。【解】:面力移置公式: 其中: 所以: 载荷分布函数:积分函数:所以:3-5图示悬臂深梁,右端作用均布剪力,合力为P,取=1/
15、3,厚度为t,如图示划分四个三角形单元,求整体刚度方程。【解】: 算例2: 正方形薄板平面应力问题的求解已知图示正方形薄板,沿其对角线承受压力作用,载荷沿厚度为均匀分布,P=20kN/m。设泊松比u=0,板厚t=1m,求此薄板应力。 课本第42页3.7节计算结果如下:变形:应力:; ; 1、如图1所示等腰直角三角形单元,其厚度为,弹性模量为,泊松比;单元的边长及结点编号见图中所示。求(1) 形函数矩阵(2) 应变矩阵和应力矩阵(3) 单元刚度矩阵1、解:设图1所示的各点坐标为点1(a,0),点2(a,a),点3(0,0)于是,可得单元的面积为 ,及(1) 形函数矩阵为(7分) ; (2) 应变
16、矩阵和应力矩阵分别为(7分),; ,;(3) 单元刚度矩阵(6分)图12、图2(a)所示为正方形薄板,其板厚度为,四边受到均匀荷载的作用,荷载集度为,同时在方向相应的两顶点处分别承受大小为且沿板厚度方向均匀分布的荷载作用。设薄板材料的弹性模量为,泊松比。试求(1) 利用对称性,取图(b)所示结构作为研究对象,并将其划分为4个面积大小相等、形状相同的直角三角形单元。给出可供有限元分析的计算模型(即根据对称性条件,在图(b)中添加适当的约束和荷载,并进行单元编号和结点编号)。(2) 设单元结点的局部编号分别为、,为使每个单元刚度矩阵相同,试在图(b)中正确标出每个单元的合理局部编号;并求单元刚度矩
17、阵。(3) 计算等效结点荷载。(4) 应用适当的位移约束之后,给出可供求解的整体平衡方程(不需要求解)。(a)(b)图22、解:(1) 对称性及计算模型正确(5分)(2) 正确标出每个单元的合理局部编号(3分)(3) 求单元刚度矩阵(4分)(4) 计算等效结点荷载(3分)(5) 应用适当的位移约束之后,给出可供求解的整体平衡方程(不需要求解)。(5分)对称对称 如图3.11所示的平面三角形单元,厚度t=1cm,弹性模量E=2.0*105mpa,泊松比=0.3,试求插值函数矩阵N,应变矩阵B,应力矩阵S,单元刚度矩阵Ke。解:此三角形单元可得:2=(10-2)*4=32,故有a1=1/32*(8
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