高中数学复合函数测验题.doc
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1、第一篇、复合函数问题一、复合函数定义:设y=f(u)的定义域为A,u=g(x)的值域为B,若AB,则y关于x函数的y=fg(x)叫做函数f与g的复合函数,u叫中间量.二、复合函数定义域问题:(一)例题剖析:(1)、已知的定义域,求的定义域思路:设函数的定义域为D,即,所以的作用范围为D,又f对作用,作用范围不变,所以,解得,E为的定义域。例1.设函数的定义域为(0,1),则函数的定义域为_。解析:函数的定义域为(0,1)即,所以的作用范围为(0,1)又f对lnx作用,作用范围不变,所以解得,故函数的定义域为(1,e)例2. 若函数,则函数的定义域为_。解析:由,知即f的作用范围为,又f对f(x
2、)作用所以,即中x应满足(2)、已知的定义域,求的定义域思路:设的定义域为D,即,由此得,所以f的作用范围为E,又f对x作用,作用范围不变,所以为的定义域。例3. 已知的定义域为,则函数的定义域为_。解析:的定义域为,即,由此得即函数的定义域为例4. 已知,则函数的定义域为_。解析:先求f的作用范围,由,知的定义域为(3)、已知的定义域,求的定义域思路:设的定义域为D,即,由此得,的作用范围为E,又f对作用,作用范围不变,所以,解得,F为的定义域。例5. 若函数的定义域为,则的定义域为_。解析:的定义域为,即,由此得的作用范围为又f对作用,所以,解得即的定义域为(二)同步练习:1、已知函数的定
3、义域为,求函数的定义域。答案:2、已知函数的定义域为,求的定义域。答案:3、已知函数的定义域为,求的定义域。答案:三、复合函数单调性问题(1)引理证明已知函数.若在区间)上是减函数,其值域为(c,d),又函数在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数在区间)上是增函数.证明:在区间)内任取两个数,使因为在区间)上是减函数,所以,记, 即因为函数在区间(c,d)上是减函数,所以,即,故函数在区间)上是增函数.(2)复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表:增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或
4、“同增异减”.(3)、复合函数的单调性判断步骤: 确定函数的定义域; 将复合函数分解成两个简单函数:与。 分别确定分解成的两个函数的单调性; 若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数,或都是减函数),则复合后的函数为增函数; 若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数,而另一个是减函数),则复合后的函数为减函数。(4)例题演练例1、 求函数的单调区间,并用单调定义给予证明解:定义域 。单调减区间是 设 则 = 又底数 即 在上是减函数同理可证:在上是增函数例2、讨论函数的单调性.解由得函数的定义域为则当时,若,为增函数,为增函数.若,为减函数.为减函数。当时,若,则为减函数
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