高一数学必修四平面向量知识与题型归类.doc

高一数学必修四《平面向量》基础知识与题型归类（1）
一．向量有关概念：
1、向量的概念：既有大小又有方向的量，
2、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向不确定；
3、①单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量；
②的单位向量：与同方向且长度等于1的向量，记作并且；
③与共线的单位向量：与方向相同或相反且长度等于1的向量，可表示为。
4、相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量；
5、平行向量（也叫共线向量）：向量的基线平行或重合，称为向量共线或平行，记作：∥；
即共线的向量方向相同或相反；规定：零向量和任意向量平行。
6、相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。
二．向量的表示方法：
1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；
2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；
3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三．向量的运算：
1．几何运算：
（1）向量加法运算：
①三角形法则的特点：首尾相连．

②平行四边形法则的特点：共起点．
（2）向量的减法：三角形法则的特点：共起点，方向指向被减向量

2、向量的数乘运算：
实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：
①
②当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，
3、向量的坐标运算：设，则：
①向量的加减法运算：，。
②实数与向量的积：。
③若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
④向量的模：
四．平面向量的数量积：
1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作，称为向量，的夹角，记作，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。
2．平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
3．在方向上的正射影的数量为，它是一个实数，但不一定大于0。
4．向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：
①；
②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；
③。
④为锐角＞0，且不同向，； 为钝角＜0，且不反向；
高一数学必修四《平面向量》基础知识与题型归类（2）
5、平面向量数量积的坐标运算：
设两个非零向量，，则
①．
②若，则，或．
③设，，则．
④设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．
五．向量的运算律：
1．交换律：，，；
2．结合律：，；
3．分配律：，。
提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；
（2）向量的“乘法”不满足结合律，即。
六、向量共线与垂直的条件
①平行向量基本定理：若，反之，若（其中是唯一的实数）
②向量共线的坐标表示：设两个向量，，
③三点共线：不重合的三点共线
存在实数使得且.
④向量垂直的条件：.
七、平面向量的基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使。其中不共线向量叫做一组基底，记作。
八、向量中一些常用的结论：
（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
（2），特别地，前面等号成立的条件是同向或有；后面等号成立的条件是反向或有
（3）在中，
①重心：中线的交点且重心将中线分成2：1两段； 外心：中垂线的交点；
垂心：高线的交点； 内心：角平分线的交点。
②为的重心；
③为的垂心；
④;
⑤若向量=,则点P的轨迹一定过的内心；

高一数学必修四《平面向量》基础知识与题型归类（3）
经典题型：
一、 基本概念
判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）若与不共线，则与都不是零向量。
（5）若A、B、C、D四点构成平行四边形，则。
（6）若，则A、B、C、D四点构成平行四边形。
（7）若，则。 （8）若，则。
（9）若，则 （10）
（11）若，则。 （12）若，则。
（13）若，则或 （14）若，则。
（15）
二、向量的运算
1、化简：①___；②____；③_____
2、若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为____
3、若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为___
4、若点是的外心，且，则的内角为____
5、若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为_______
三、向量的夹角与数量积
1、△ABC中，，，，则_________
2、已知，与的夹角为，则等于____
3、已知平面向量满足且，则的夹角为
4、已知是两个非零向量，且，则的夹角为____
5、 设非零向量、、满足，则
6、已知的夹角，则向量在向量上的正射影的数量为
7、已知，，且，则向量在向量上的正射影的数量为______
8、已知与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_________
9、如图，等边△中，，求．

10、如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，求的值．

高一数学必修四《平面向量》基础知识与题型归类（4）
四、向量共线与垂直
1、若向量，当＝_____时与共线且方向相同
2、已知不共线，，如果∥，那么k= ,与的方向关系是
3、∥，
4、设，则k＝_____时，A,B,C共线
5、以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是________
6、平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足,其中且,则点的轨迹方程是____________
7、若，求
①的单位向量；
②与共线的单位向量；
③与垂直的单位向量。

8、已知=（1，2），=（-3，2），①若k+2与2-4共线，求实数k的值；②若k+2与2-4垂直，求实数k的值

五、向量的模
1、 设向量，满足及，则的值为
2、 设向量，满足
3、已知向量两两之间的夹角为60°，其模长都为1，则= .
4、已知向量的最大值为
5、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，
六、平面向量基本定理的应用问题
1、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
A. B. C. D.
2、
(A) (B) (C) (D)
3、已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____
4、已知中，点在边上，且，，则的值是________
5、如图,在△中,,是上的一点,若,求实数的值 ．
6、如图中，,,，若，求

高一数学必修四《平面向量》基础知识与题型归类（5）
七、平面向量与三角函数的综合
1、已知，A、B、C在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为、、。
(I)若，求角的值；
(II)当时，求的值。

2、已知的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量，平面向量 若请判断的形状.