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物理解题中的递推公式
商洛中学 杨玉良
分析一些同类特殊事例，确切判断出它们所共有的因果联系和特征，作出一般结论。这种由特殊推出一般的推理方法叫归纳推理。物理学中许多普遍概念和规律都主要是用归纳推理得出的。归纳推理是解决物体与物体发生多次作用后的情况，即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。常用它来研究运动规律已知，在一定条件下连续进行的、具有共同规律而具体数量特征不同的多阶段运动问题。它具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论；再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解；或导出联系相邻两次作用的递推关系式，再把结论推广，后结合数学知识求解。
 1、如图所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=60°的位置自由释放，下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。

【分析】因绝缘球与金属球每次碰撞后，其速率将减小，从而使其偏离竖直方向的最大角度在减小。而每次两球碰撞后，绝缘球的速率是有规律性的变化，要求解本题题设条件下的碰撞次数，关键在于归纳出绝缘球在每次碰撞后的速率变化规律。
【解】方法1．根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。设小球m的摆线长度为l，绝缘球第一次碰撞前的速度为v0，碰撞后绝缘球与金属球的速度分别为v1、V1，设速度向左为正，小球m在下落过程中与M相碰之前满足机械能守恒：

　　，    ①

　　m和M碰撞过程满足：mv0=MV1+mv1 ，   ②

　　，   ③

　　联立②、③得：，

　　由于v1<0，说明绝缘球被反弹，而后绝缘球又以反弹速度的大小和金属球M发生碰撞，设第二次碰撞后绝缘球与金属球的速度分别为v2、V2，满足：

　　m|v1|=MV2+mv2 ，④

　　，  ⑤

　　由④、⑤解得：，

整理得：
同理第三次碰撞后绝缘球的速率v3为：，

　　由以上归纳推理得到第n次碰撞后绝缘球的速率为vn，

　　所以：，⑥

　　经过第n次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°，则

　　，⑦

　　联立①、⑥、⑦代入数据解得，（0．81）n=0．586，

　　当n=3时，碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。

　　方法2．导出联系相邻两次作用的递推关系式，再把结论推广，后结合数学知识求解。

　　设在第n次碰撞前绝缘球的速度为vn-1，碰撞后绝缘球、金属球的速度分别为vn和Vn-1，由于碰撞过程中动量守恒，碰撞前后动能相等，则

　　mvn-1=MVn+mvn ，

　　，

　　解得，
 由以上归纳推理得到第n次碰撞后绝缘球的速率为vn，，
 再利用方法1的求解可得到结论。

2、某兴趣小组设计了一种实验装置，用来研究碰撞问题，其模型如题25图所示。用完全相同的轻绳将N个大小相同、质量不等的小球并列悬挂于一水平杆、球间有微小间隔，从左到右，球的编号依次为1、2、3……N，球的质量依次递减，每球质量与其相邻左球质量之比为k（k＜1。将1号球向左拉起，然后由静止释放，使其与2号球碰撞，2号球再与3号球碰撞……所有碰撞皆为无机械能损失的正碰。（不计空气阻力，忽略绳的伸长，g取10 m/s2）
（1）设与n+1号球碰撞前，n号球的速度为vn，求n+1号球碰撞后的速度。
（2）若N＝5，在1号球向左拉高h的情况下，要使5号球碰撞后升高16k（16 h小于绳长）问k值为多少？
解：（1）设n号球质量为m，n+1，碰撞后的速度分别为取水平向右为正方向，据题意有n号球与n+1号球碰撞前的速度分别为vn、0、mn+1
根据动量守恒，有 ①
根据机械能守恒，有= ②
由①、②得
设n+1号球与n+2号球碰前的速度为En+1
据题意有 vn－1=
得 vn－1== ③
（2）设1号球摆至最低点时的速度为v1，由机械能守恒定律有
④
v1= ⑤
同理可求，5号球碰后瞬间的速度
⑥
由③式得 ⑦
N=n=5时， v5= ⑧
由⑤、⑥、⑧三式得
k= ⑨
（3）设绳长为l，每个球在最低点时，细绳对球的拉力为F，由牛顿第二定律有
⑩
则 ⑾
⑾式中Ekn为n号球在最低点的动能
由题意1号球的重力最大，又由机械能守恒可知1号球在最低点碰前的动能也最大，根据⑾式可判断在1号球碰前瞬间悬挂1号球细绳的张力最大，故悬挂1号球的绳最容易断。
3、如图所示,一排人站在沿x轴的水平轨道旁,原点O两侧的人的序号都记为n(n=1,2,3…).每人只有一个沙袋,x>0一侧的每个沙袋质量为m=14千克,x<0一侧的每个沙袋质量m′=10千克.一质量为M=48千克的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行.不计轨道阻力.当车每经过一人身旁时,此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面扔到车上,u的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍.(n是此人的序号数)
(1)空车出发后,车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行?
(2)车上最终有大小沙袋共多少个?　　　　　　　　　　　　　　　
解:(1)在小车朝正x方向滑行的过程中,第(n-1)个沙袋扔到车上后的车速为vn-1,第n个沙袋扔到车上后的车速为vn,由动量守恒定律有

小车反向运动的条件是vn-1>0,vn<0,即
M-nm>0                                  ②
M-(n+1)m<0                              ③
代入数字,得

n应为整数,故n=3,即车上堆积3个沙袋后车就反向滑行。
(2)车自反向滑行直到接近x<0一侧第1人所在位置时,车速保持不变,而车的质量为M+3m.若在朝负x方向滑行过程中,第(n-1)个沙袋扔到车上后车速为vn-1′,第n个沙袋扔到车上后车速为vn′,现取在图中向左的方向(负x方向)为速度vn′、vn-1′的正方向,则由动量守恒定律有

车不再向左滑行的条件是
vn-1′>0,vn′≤0
即                            M+3m-nm′>0         ⑤
                          M+3m-(n+1)m′≤0    ⑥

n=8时,车停止滑行,即在x<0一侧第8个沙袋扔到车上后车就停住.故车上最终共有大小沙袋3+8=11个.
4．一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为的受斯基摩狗站在该雪橇上，狗向雪橇的正后方跳下一步，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇，狗与雪橇始终沿一条直线运动。若狗跳离雪橇时雪橇的速为V，则此时狗相对于地面的速度为V+（其中为狗相对于雪橇的速度，V+为代数和，若以雪橇运动的方向为正方向，则V为正值，为负值）。设狗总以速度追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计，已知的大小为5m/s, 的大小为4m/s,M=30kg, =10kg。
（1）求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小。
（2）求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数。
（供使用担不一定用到的对数值lg2=0.301, lg3=0.477）
解：（1）设雪橇运动的方向为正方向。狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度为V1，根据动量守恒定律，有
狗第1次跳上雪橇时，雪橇与狗的共同速度满足

可解得
将=－4m/s,=5m/s, M=30kg, m=10kg代入，得
=2m/s
（2）解法（一）
设雪橇运动的方向为正方向。狗第（次跳下雪橇后雪橇的速度为，则狗第（次跳上雪橇后的速度满足

这样，狗次跳下雪橇后，雪橇的速度为满足

解得

狗追不上雪橇的条件是
可化为
最后可求得
代入数据，得
狗最多能跳上雪橇3次
雪橇最终的速度大小为
解法（二）：
设雪橇运动的方向为正方向。狗第次跳下雪橇后，雪橇的速度为，狗的速度为；狗第次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度为，由动量守恒定律可得
第一次跳下雪橇：

第一次跳上雪橇：

第二次跳下雪橇：

第二次跳上雪橇：

第三次跳下雪橇：

第三次跳上雪橇：

第四次跳下雪橇：

此时雪橇的速度已大于狗追赶的速度，狗将不可能追上雪橇。因此，狗最多能跳上雪橇3次，雪橇最终速度大小为5.626m/s。
5、在用铀 235作燃料的核反应堆中，铀 235核吸收一个动能约为0.025的热中子（慢中子）后，可发生裂变反应，放出能量和2～3个快中子，而快中子不利于铀235的裂变．为了能使裂变反应继续下去，需要将反应中放出的快中子减速。有一种减速的方法是使用石墨（碳12）作减速剂．设中子与碳原子的碰撞是对心弹性碰撞，问一个动能为的快中子需要与静止的碳原子碰撞多少次，才能减速成为0.025的热中子？
解：设中子和碳核的质量分别为和，碰撞前中子的速度为，碰撞后中子和碳核的速度分别为和，因为碰撞是弹性碰撞，所以在碰撞前后，动量和机械能均守恒，又因、和沿同一直线，故有
（1）
（2）
解上两式得
（3）
因代入（3）式得
（4）
负号表示的方向与方向相反，即与碳核碰撞后中子被反弹．因此，经过一次碰撞后中子的能量为

于是
（5）
经过2，3，…，次碰撞后，中子的能量依次为，，，…，，有

……
（6）
因此 （7）
已知
代入（7）式即得
（8）
故初能量的快中子经过近54次碰撞后，才成为能量为0.025 的热中子。

6、一质量为m的小滑块A沿斜坡由静止开始下滑，与一质量为km的静止在水平地面上的小滑块B发生正碰撞，如图所示．设碰撞是弹性的，且一切摩擦均不计．为使二者能且只能发生两次碰撞，则k的值应满足什么条件?
7、（20分）一倾角为θ＝45°的斜血固定于地面，斜面顶端离地面的高度h0＝1m，斜面底端有一垂直于斜而的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量m＝0.09kg的小物块（视为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.2。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重力加速度g＝10 m/s2。在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？
解析：
解法一：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v。
由功能关系得
①
以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量
②
设碰撞后小物块所能达到的最大高度为h’，则
③
同理，有
④
⑤
式中，v’为小物块再次到达斜面底端时的速度，I’为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量。由①②③④⑤式得
⑥
式中 ⑦
由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为
⑧
总冲量为
⑨
由 ⑩
得 ⑾
代入数据得 N·s ⑿
解法二：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，小物块受到重力，斜面对它的摩擦力和支持力，小物块向下运动的加速度为a，依牛顿第二定律得
①
设小物块与挡板碰撞前的速度为v，则
②
以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量为
③
由①②③式得
④
设小物块碰撞后沿斜面向上运动的加速度大小为a’， 依牛顿第二定律有
⑤
小物块沿斜面向上运动的最大高度为
⑥
由②⑤⑥式得 ⑦
式中 ⑧
同理，小物块再次与挡板碰撞所获得的冲量
⑨
由④⑦⑨式得 ⑩
由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为
⑾
总冲量为 ⑿
由 ⒀
得 ⒁
代入数据得 N·s ⒂
8、如图所示，一轻绳吊着粗细均匀的棒，棒下端离地面高Ｈ，上端套着一个细环。棒和环的质量均为m，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg（k>1）。断开轻绳，棒和环自由下落。假设棒足够长，与地面发生碰撞时，触地时间极短，无动能损失。棒在整个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计。求：
（1）棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中，环的加速度。
（2）从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程Ｓ。
（3）从断开轻绳到棒和环都静止，摩擦力对环及棒做的总功Ｗ。
（1）设棒第一次上升过程中，环的加速度为a环
环受合力 F环=kmg－mg
由牛顿第二定律 F环=ma环
由①②得 a环=（k-1）g，方向竖直向上
（2）设以地面为零势能面，向上为正方向，棒第一次落地的速度大小为v1
由机械能守恒
解得
设棒弹起后的加速度a棒
由牛顿第二定律 a棒=–（k+1）g
棒第一次弹起的最大高度
解得
棒运动的路程 S=H+2H1=
（3）解法一
棒第一次弹起经过t1时间，与环达到相同速度v’1
环的速度 v’1=-v1+a环t1
棒的速度v’1=v1+a棒t1
环的位移
棒的位移
解得
棒环一起下落至地

解得
同理，环第二次相对棒的位移

环相对棒的总位移
X=x1+x2+……+xn+……
W=kmgx
得
解法二
设环相对棒滑动距离为l
根据能量守恒 mgH+mg（H+l）=kmgl
摩擦力对棒及环做的总功
W=-kmgl
解得

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